1.3-1.5共轭元正规子群
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§1.3 共轭元与类
1. 共轭元 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
互为共轭的.
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F
BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D
D3 E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
( 7 ) 对于含转动操作的群, 转角相同而转轴可由群中
的元转成一致的，属同一类．
例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为
DCD-1 = A
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
上式说明， Rm， Rn属同一个左陪集RmSX.
第三步：根据式（1.3-10）及式（1.2-3 ) g=si ，得 i=hC=g/s 或 g/hC=s 其中，s是一个整数，是子群 SX的阶． (1.3-15)
§1.4 正规子群与商群
正规子群
1. 共轭子群 若 S 是群 G 的一个s阶子群，即
S = { E= S1, S2，…，Ss} ，
证明：
（1）满足封闭性．由群乘定义及式（ l . 4-6 ) ，应有
SAm∙SAn = S(AmAn )
( 1.4-8 )
可见商群任两个元的乘积仍为 S 的一个陪集（在此不 必区分左陪集与右陪集，因为对于正规子群，左陪集
与右陪集是相同的） .
商群
1 ．定义
群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的
群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S.
有
G / S =｛ S , SA2 ， … ， SAi} ( 1.4-7 )
元，那么它们之间的乘积满足结合律.
（3） 由于S 中有单位元， XSX-1中肯定有单位元.
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（4） 同样，由于S中每个元都有逆元，所以XSX-1的
每个元都有逆元.
2. 正规子群
对于群G中的每一个元 X，当G的子群S满足
XSX-1 = S 3. 正规子群的性质 ( l ) 群 G 的正规子群 S 是由群 G 的一个或几个完整的 （1. 4-3） 时，称子群S为群G的正规子群， 亦称为不变子群.
XC1X-1 = C1 及 XC2X-1 = C2
因此有
XSX-1 = XC1X-1 + XC2X-1 = C1 + C2 =S
所以，S 是 G 的正规子群．
( 2 ) 对于一切A∈ G ，正规子群 S 对于A 的左倍集 AS
及右陪集 SA 是一样的，即有
AS = SA
即可．
(1.4-5 )
证明：只要证明 SA 中的一个元也是 AS 中的一个元
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C
X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1
对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
例：D3群中，六个元共分三类，可表为
C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F}
类构成的．反之，凡是包含群 G 中的一个或几个完整
类的子群，都是 G 的正规子群．
证明：令Sm是S 中的任一元，当 S是 G 的正规子
群时，对于每一个X∈G ，群元XSmX-1必然也是 S 的
一个元，所以 S 包含了Sm的整个类. 反之，若子群包 含了群 G 中的一个或几个完整类，例如： S = C1 + C2 根据式（1.3-5 ) ，对一切 X∈ G 存在 （1. 4-4）
的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶）
• 有关类的定理
定理一
若η为由群中若干完整的类构成的集合，即
C1 C2 Ck
k
X是群G中的任意元，则 XηX-1 =η成立. 证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
X X
1
X (C1 C2 ) X
共轭具有传递性．若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A
与 C共轭. 因为如果存在群元 X 及 Y 满足 B = XAX-1 及 C = YBY-1 （1 . 3 - 3 ） （1 . 3 - 4 ）
则
C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1
YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭．
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
A、B、C属一类.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质
( l ) 单位元自成一类．
( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，
即不同的类中没有共同的元．
( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切
定理二 两个类的类乘有
Ci C j cijk Ck
k
（ 1 . 3 -6 ）
式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得
于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
3
B
2
A
x
1
C
( 8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = { C1, C2，…，
Cm}，C’是 C 中所有元的逆的集合，即C’ = {C1-1,
C2-1，…，Cm-1}．那么， C’也是群 G 的一个类，称
作 C 的逆类．
证明：己知 XCX-1 = C 对任一X ∈G 成立，那么 XC’X-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C’ 对任一 X∈G 成立. 所以， C ’是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现
则有 SiXSi-1 =X, SjXSj-1 =X (1.3-7)
于是
(Si Sj)X(SiSj)-1 = Si ( SjXSj)-1Si-1 = Si XSi-1 =X 子集，故SX是群 G 的子群.
(1.3-8)
上式表明， Si Sj ∈ SX . 由于SX是群G的具有封闭性的 第二步：将群 G 按子群 SX的陪集来分解，得 G = R1SX +R2 SX +…+Ri SX R2XR2-1，…，RiXRi-1 ． (1.3-9) 其中，R1=E，R2，…，Ri是陪集代表元. 作R1XR1-1，
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整
数成立，即 hC 是 g 的整数因子．
证明：分三步来证明这个定理． 第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取
S∈G，满足SXS-1 =X 的所有元的集合{ S} =SX，证明
SX是群 G 的 一个子群．设
Si , S j ∈ SX
当 S 是正规子群时，设B是SA中的元，那么，必
存在一个元Sm∈S，使B=SmA ，于是 A-1B＝A-1SmA ，
这是 A-1SA中的一个元．所以也是S中的一个元，即
A-1B ∈S，令A-1B＝Sk，则A(A-1B) ＝B=ASk是AS中的 一个元，得证．
这个性质表明，S 作为一个整体，可以与 群 G 中的任意元对易. ( 3 ) 正规子群的一个陪集与另一个陪集的乘积（包 括陪集自身相乘）必为一个陪集或者正规子群. 证明：设正规子群 S 的两个陪集是 SA 及 SB， 其中A、B是群G 的两个元，二者可以相同．这两个 陪集的乘积： SASB= SASA-1AB= S(ASA-1)AB= SSAB= SAB （1. 4-6） 群元 A 、B∈G，如果 A 、B 不在子群 S中，那么， 乘积 SAB就是一个陪集．如果(AB)∈S ，那么，乘 积就是正规子群本身．
下面将证明，全部与 X共轭的元共有i个，即
hc= i (1.3-10)
为此只要证明： ( l ) 用属于同一个陪集内的元 Rm及Rn作 X 的共轭 元，必有 RmX Rm-1= RnX Rn-1 (1.3-11) 因为，若Rm， Rn同属于左陪集 RmSX ，必有一Sg存 在，使 Rn= Rm Sg ，其中Sg ∈SX 于是 RnX Rn-1= (Rm Sg) X( Rm Sg) -1 = Rm (Sg X Sg -1 ) Rm-1 (1.3-12) 根据式(1.3-7) , Sg X Sg-1 = X ，所以，上式变成 RnX Rn-1 = RmX Rm-1 这就是式（ 1.3-11 ) .
k
1
C1 C2 Ck
XC1 X XC2 X
1
1
X X 1 , X G 成 逆定理：任何一个服从关系
立的集合η，必由若干完整的类构成．
证明：首先将η中的完整的类抽出，余下的
元的集合是ξ. 于是 XξX-1＝ξ. 考虑ξ中的某个 元R，则上式左边是 R 类的所有元，因此右边的ξ 就是一个完整的类．即η必由一些完整的类构 成．
FBF-1 = A
y
3
B
2
A
x
1
C
也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致． y
X∈G 都有
XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G
( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即： 如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。 证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E 所以，A与XAX-1有相同的阶．
X是群G中某个确定的元，则集合
（ 1. 4 -1）
{ XS1X-1, XS2X-1 ，…， XSsX-1}= XSX-1 （1. 4-2） 构成群，称为群G的共轭子群 .
证明：
（1）若XSmX-1及XSnX-1是集合XSX-1中的任意两元， 那么，由于Sm及Sn是群S中的元，(XSmX-1)(XSnX-1)=X (SmSn) X-1也是XSX-1中的一个元，满足封闭性条件. （2）若XSmX-1 ， XSnX-1及XSpX-1是XSX-1中的三个
( 2 ) 若Rm， Rn满足式（1.3-11 ) ，则Rm， Rn属同 一
个陪集．
以Rm-1左乘式（1.3-11 ）后，再以Rm右乘之，得 X= Rm-1 RnX Rn-1Rm =(Rm-1Rn) X (Rm-1Rn)-1 (1.3-13) 可见Rm-1Rn ∈SX ，所以Rn ∈RmSX (1.3-14)
1. 共轭元 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
互为共轭的.
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F
BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D
D3 E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
( 7 ) 对于含转动操作的群, 转角相同而转轴可由群中
的元转成一致的，属同一类．
例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为
DCD-1 = A
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
上式说明， Rm， Rn属同一个左陪集RmSX.
第三步：根据式（1.3-10）及式（1.2-3 ) g=si ，得 i=hC=g/s 或 g/hC=s 其中，s是一个整数，是子群 SX的阶． (1.3-15)
§1.4 正规子群与商群
正规子群
1. 共轭子群 若 S 是群 G 的一个s阶子群，即
S = { E= S1, S2，…，Ss} ，
证明：
（1）满足封闭性．由群乘定义及式（ l . 4-6 ) ，应有
SAm∙SAn = S(AmAn )
( 1.4-8 )
可见商群任两个元的乘积仍为 S 的一个陪集（在此不 必区分左陪集与右陪集，因为对于正规子群，左陪集
与右陪集是相同的） .
商群
1 ．定义
群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的
群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S.
有
G / S =｛ S , SA2 ， … ， SAi} ( 1.4-7 )
元，那么它们之间的乘积满足结合律.
（3） 由于S 中有单位元， XSX-1中肯定有单位元.
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（4） 同样，由于S中每个元都有逆元，所以XSX-1的
每个元都有逆元.
2. 正规子群
对于群G中的每一个元 X，当G的子群S满足
XSX-1 = S 3. 正规子群的性质 ( l ) 群 G 的正规子群 S 是由群 G 的一个或几个完整的 （1. 4-3） 时，称子群S为群G的正规子群， 亦称为不变子群.
XC1X-1 = C1 及 XC2X-1 = C2
因此有
XSX-1 = XC1X-1 + XC2X-1 = C1 + C2 =S
所以，S 是 G 的正规子群．
( 2 ) 对于一切A∈ G ，正规子群 S 对于A 的左倍集 AS
及右陪集 SA 是一样的，即有
AS = SA
即可．
(1.4-5 )
证明：只要证明 SA 中的一个元也是 AS 中的一个元
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C
X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1
对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
例：D3群中，六个元共分三类，可表为
C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F}
类构成的．反之，凡是包含群 G 中的一个或几个完整
类的子群，都是 G 的正规子群．
证明：令Sm是S 中的任一元，当 S是 G 的正规子
群时，对于每一个X∈G ，群元XSmX-1必然也是 S 的
一个元，所以 S 包含了Sm的整个类. 反之，若子群包 含了群 G 中的一个或几个完整类，例如： S = C1 + C2 根据式（1.3-5 ) ，对一切 X∈ G 存在 （1. 4-4）
的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶）
• 有关类的定理
定理一
若η为由群中若干完整的类构成的集合，即
C1 C2 Ck
k
X是群G中的任意元，则 XηX-1 =η成立. 证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
X X
1
X (C1 C2 ) X
共轭具有传递性．若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A
与 C共轭. 因为如果存在群元 X 及 Y 满足 B = XAX-1 及 C = YBY-1 （1 . 3 - 3 ） （1 . 3 - 4 ）
则
C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1
YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭．
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
A、B、C属一类.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质
( l ) 单位元自成一类．
( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的，
即不同的类中没有共同的元．
( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切
定理二 两个类的类乘有
Ci C j cijk Ck
k
（ 1 . 3 -6 ）
式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得
于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
3
B
2
A
x
1
C
( 8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = { C1, C2，…，
Cm}，C’是 C 中所有元的逆的集合，即C’ = {C1-1,
C2-1，…，Cm-1}．那么， C’也是群 G 的一个类，称
作 C 的逆类．
证明：己知 XCX-1 = C 对任一X ∈G 成立，那么 XC’X-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C’ 对任一 X∈G 成立. 所以， C ’是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现
则有 SiXSi-1 =X, SjXSj-1 =X (1.3-7)
于是
(Si Sj)X(SiSj)-1 = Si ( SjXSj)-1Si-1 = Si XSi-1 =X 子集，故SX是群 G 的子群.
(1.3-8)
上式表明， Si Sj ∈ SX . 由于SX是群G的具有封闭性的 第二步：将群 G 按子群 SX的陪集来分解，得 G = R1SX +R2 SX +…+Ri SX R2XR2-1，…，RiXRi-1 ． (1.3-9) 其中，R1=E，R2，…，Ri是陪集代表元. 作R1XR1-1，
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整
数成立，即 hC 是 g 的整数因子．
证明：分三步来证明这个定理． 第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取
S∈G，满足SXS-1 =X 的所有元的集合{ S} =SX，证明
SX是群 G 的 一个子群．设
Si , S j ∈ SX
当 S 是正规子群时，设B是SA中的元，那么，必
存在一个元Sm∈S，使B=SmA ，于是 A-1B＝A-1SmA ，
这是 A-1SA中的一个元．所以也是S中的一个元，即
A-1B ∈S，令A-1B＝Sk，则A(A-1B) ＝B=ASk是AS中的 一个元，得证．
这个性质表明，S 作为一个整体，可以与 群 G 中的任意元对易. ( 3 ) 正规子群的一个陪集与另一个陪集的乘积（包 括陪集自身相乘）必为一个陪集或者正规子群. 证明：设正规子群 S 的两个陪集是 SA 及 SB， 其中A、B是群G 的两个元，二者可以相同．这两个 陪集的乘积： SASB= SASA-1AB= S(ASA-1)AB= SSAB= SAB （1. 4-6） 群元 A 、B∈G，如果 A 、B 不在子群 S中，那么， 乘积 SAB就是一个陪集．如果(AB)∈S ，那么，乘 积就是正规子群本身．
下面将证明，全部与 X共轭的元共有i个，即
hc= i (1.3-10)
为此只要证明： ( l ) 用属于同一个陪集内的元 Rm及Rn作 X 的共轭 元，必有 RmX Rm-1= RnX Rn-1 (1.3-11) 因为，若Rm， Rn同属于左陪集 RmSX ，必有一Sg存 在，使 Rn= Rm Sg ，其中Sg ∈SX 于是 RnX Rn-1= (Rm Sg) X( Rm Sg) -1 = Rm (Sg X Sg -1 ) Rm-1 (1.3-12) 根据式(1.3-7) , Sg X Sg-1 = X ，所以，上式变成 RnX Rn-1 = RmX Rm-1 这就是式（ 1.3-11 ) .
k
1
C1 C2 Ck
XC1 X XC2 X
1
1
X X 1 , X G 成 逆定理：任何一个服从关系
立的集合η，必由若干完整的类构成．
证明：首先将η中的完整的类抽出，余下的
元的集合是ξ. 于是 XξX-1＝ξ. 考虑ξ中的某个 元R，则上式左边是 R 类的所有元，因此右边的ξ 就是一个完整的类．即η必由一些完整的类构 成．
FBF-1 = A
y
3
B
2
A
x
1
C
也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致． y
X∈G 都有
XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G
( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即： 如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。 证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E 所以，A与XAX-1有相同的阶．
X是群G中某个确定的元，则集合
（ 1. 4 -1）
{ XS1X-1, XS2X-1 ，…， XSsX-1}= XSX-1 （1. 4-2） 构成群，称为群G的共轭子群 .
证明：
（1）若XSmX-1及XSnX-1是集合XSX-1中的任意两元， 那么，由于Sm及Sn是群S中的元，(XSmX-1)(XSnX-1)=X (SmSn) X-1也是XSX-1中的一个元，满足封闭性条件. （2）若XSmX-1 ， XSnX-1及XSpX-1是XSX-1中的三个
( 2 ) 若Rm， Rn满足式（1.3-11 ) ，则Rm， Rn属同 一
个陪集．
以Rm-1左乘式（1.3-11 ）后，再以Rm右乘之，得 X= Rm-1 RnX Rn-1Rm =(Rm-1Rn) X (Rm-1Rn)-1 (1.3-13) 可见Rm-1Rn ∈SX ，所以Rn ∈RmSX (1.3-14)