用“变量分离法”解几个含参问题

26上海中学数学2014年第4期

用“变量分离法"解几个含参问题

211700江苏省盱眙县实验中学姜登翠

211700江苏省盱眙中学李刚

l问题的提出

文[1]研究了几个有关函数不等式恒成立求参数值的范围问题，解决了“变量分离法”不易解决时的一般处理策略，笔者读后深受启发，并对文中涉及的三道例题作了进一步探究，在使用“变量分离法”之后，如果从高等数学角度来研究会更加方便．

7．如图10是一座建筑纪念物的底座(不能进入建筑物内)，工人师傅想测量一下在地面上形成的么A B C的度数，你能找到测量的办法吗?

B

图10

(五)小结反思

本节课你有什么收获?还有什么疑惑?

设计意图：通过对所学知识进行回顾和梳理，学生提升了归纳总结能力．

(六)作业布置

作业分为必做题和选做题．必做题是面向全体学生的题目，侧重于基础知识及其应用；选做题供学有余力的学生选做，侧重于拓展性和创新性．设计意图：布置习题分为必做题和选做题，为学生提供个性化发展的空间．通过动手做数学，学生开拓了思维空间，提高了自主探究能力，逐步养成反思总结的学习习惯．

三、思考与启示

(一)注重知识形成的“过程化”

通过创设合适的情境，学生经历了“具体一抽象一具体”的认知历程，感受到了知识的发生过程，体会了知识的形成过程，从中体悟了知识的“前世今生”，提高了学思维能力．本设计中，学生经历了对顶角的实际背景和形成过程，能够有效识别对顶角

文[1]的三道例题如下：

例1已知函数厂(z)一z2+2z+以l嗽，当￡≥1时，不等式厂(2f一1)≥2．厂(f)一3恒成立，求实数丑的取值范围．

例2设函数厂(z)一∥一1一z—nz2．(1)略；

(2)若当．r≥o时，厂(．r)≥o，求n的取值范围．

例3已知函数厂(z)一z一1n(z+口)的最小值

的关键特征．

(二)注重问题解决的“过程化”

学生经历了知识的发生发展过程后，需要进一步把新知识纳入自己的认知结构．本设计中，题组的有效创设为学生搭建了“观察一猜想一说理”的平台，这一过程深化了学生解决问题的过程．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化渗透于问题解决中，加深了学生对对顶角的概念及其性质的理解．假以时日，学生的问题解决能力一定能够从“简单模仿”的初级阶段逐步飞跃到“图式应用”的高级阶段．

(三)注重总结反思的“过程化”

一节课下来，学生的收获各有不同，但是优秀的教学设计下课程的目标达成应比较接近“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展”．探究发现数学理论(定义、性质、法则、定理等)的过程也是不断反思、不断提出问题的过程，这种反思应该始终伴随着教学活动的进行而开展．这样的教学设计帮助学生将反思孕于教学的始终，而不是课堂小结环节的五分钟．刘素梅老师在其编写的《教师反思与写作手册》中写道：“思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进．”因此，应把总结反思贯穿于整个课堂的学习过程，使数学学习过程成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，做到生本课堂，从而大幅度地提升教学效能．

参考文献

[1]胡瑁。初中数学教学中创设问题情境的策略研究[J]。上

海中学数学，2013，4．

[2]姜晓翔．“问题串”引领下的“导学式生本课堂”——由一

堂“平行四边形性质与判定”复习课说起[J]．上海中学

学，2012，12．

上海中学数学2014年第4期27

为零，其中仅>o．(1)求盘的值；(2)若对任意的．T∈[o，+。。)，有，(．r)≤志．r2成立，求实数是的最小值．文中将例1中参数日分离后联想斜率的定义解

决问题，奇思妙想．笔者认为，可以将不等式厂(2f—

r，oJ一1、J_o 1)≥2．厂(f)一3稍作变形得，(f)≤坐竺_掣，事

，o——1、—L1

实上，厂(1)一3，不等式可化为厂f兰L{上尘1≤

＼厶，丛生二要地，笔者认为命题者的本意是要研究该函数的凹凸性．对于例2和例3的解决，都因为“分离变量后很难求解”而对函数直接求导，再讨论参数的取值解决问题．但是，从学生解答这类试题的角度看，为数不少的学生会选择分离变量而不能进行到底，而变量分离的方法又是解决含参问题的常规思路，不该就此打住，而是要进一步地研究这些问题，寻找解决问题的办法．

2问题的解决

导数知识是微积分的基础，与导数有关的问题向来是各个省市高考的热点，因此，在各大市的模拟考试题中也常在此处压轴．有一些问题，如果能够站在高等数学的角度来看，弄清所研究问题的高等数学背景，就会更深刻、更全面地认识这些问题，充分利用高考在教学中的指挥棒作用．笔者利用二阶导数判断函数的凹凸性及利用洛必达法则来处理以上3题．例1解析：因为厂(1)一3，不等式，(2≠一1)≥

2厂(f)一3对任意的f≥1恒成立等价于厂f垡生弓上盟1≤丛至二罢地对任意的}≥1、厶，厶

恒成立，由函数的凹凸性的定义知，函数厂(z)在[1，+∞)上为凹函数(分析知．厂(z)不是常函数)，因此厂7(。r)一2T+2+竺，从而／(z)=2一与≥o对任意

．Z．Z

的T≥1恒成立，因此口≤2．r2对任意的z≥l恒成立，得a≤2．

评注：由函数凹凸性的定义及．厂(1)一3，再结合问题呈现的形式特征，将问题的本质充分暴露，充分理解命题者的本意．

侈02解析：(1)当T—o时，得口∈R；

。r一1一一(2)当T>o时，变量分离易得倪≤L—≯，

』

不妨设g(z)一生÷』(．T>o)，则有97(，T)=￡垒二呈掣，再令^(T)一矿(z一2)+T+2，得．Z’

灰7(．r)一P‘(．r一1)+1，再次对厶7(。，r)求导得是”(?)一zP‘>o对任意的．1r>o恒成立，因此^7(．r)在(o，+。。)上单调递增，则有^7(．r)>^7(o)一o，因此97(z)>o对任意的。r>o恒成立，得g(丁)在(o，+。。)上单调递增，故g(，r)在z—o处的极限值是函数g(z)的下界，由口≤字对任意的．r>o恒成立，得日≤l i m g(z)，由洛必达法则知l i m g(T)一!切字=嘞≤≠气切等一丢，因此口≤丢．r一()．r。r—o厶r l一0Z乙￡综上所述，口≤寺．

例3解析：先求得n一1，由题意对．r进行讨论：

(1)当T=0时，是∈R；

(2)当z≠o时，有是≥尝乒一羔二掣对v．r>o恒成立．令g(z)一!■掣，则有97(．r)

2l n(z+1)一z一三一1一——————．『——』—一，再令Jf2(．t r)=2l n(z+1)一一—————————丁——————一，f于。了，l L．(，一厶儿l＼-工l上，

z一土一1，则有五，(‘r)一—鲁+专一1，事实上，显然有^7(T)在(0，+。。)上单调递减，故J f27(．r)<，!(o)= o，因此97(．r)

1达法则知姆g(T)=粤[半一嘞=奎r—O r一0．C r—O n

1111—1i鼍!兰±!∑一专，故得是≥寺．综上所述，志≥寺．

。’”

2

-“u 评注：从解决含参范围问题的常规策略——“分离变量法”出发，利用多次求导的方式再结合洛必达法则将问题解决，让笔者充分地认识到“分离变量法”仍然是解决这类问题的“通法”．

在平时的练习中若遇到以下问题，可以利用拉格朗日中值定理及拐点知识解决．

例4已知函数．厂(z)一l n(T+1)+口T，当z=0

时，函数厂(T)取到极大值．

(1)求实数反的值；(2)已知．，r。，zz∈(一l，+。。)，且丑≠z：，构造函数g(T)一丛!兰掣(z—z1)+厂(z1)，求证：对任意．r∈(、r1，z2)都有厂(，r)>g(z)，

解析：(1)易得n一一1．

(2)令，l(．r)一厂(z)一g(z)，

即磊(．r)一f(z)一』鱼1L二』鱼尘(z—z，)一，(z。)，故^7(T)一厂(T)一丛三}掣，因，(．r)

在z∈(．rI，z：)可导，由拉格朗日中值定理知必j z。∈(T。，z：)，使得丛兰立二趔一．厂，(z。)，故^，(．r)

工l^Z

一厂7(z)一厂7(z。)2可了专赢，易知^(T)在