平面曲线积分与路径无关的条件

则
x u u( x x, y) u ( x, y ) A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )

Pd x Qd y
( x x , y ) ( x, y )
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 同理可证 u Q( x , y ), 因此有 d u P d x Q d y y
具有性质：d u = P dx + Q dy
称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.
P Q , 则 说明: 根据定理2 , 若在某区域内 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
P Q (4) 在D内, 题 y x
P Q cos y . y x
由定理2, 曲线积分

AB
(2 x sin y )dx ( x cos y )dy
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关. 为此, 取 O(0,0), B( x , y ), 取路线为图11-1中的折 . 于是有 线段 OCB
§11.4 平面曲线积分 与路径无关的条件
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定理11.2
设D 是单连通域 , 函数
在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有

L
P d x Qd y 0 .
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分

L
P d x Qd y
u( x, y)
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx Qdy
(u的求法)
上述求原函数的过程称为全微分求积(分).
( 3,3) xdy ydx xdy ydx 例 求 2 2 的一个原函数, 并计算 (1,1) 2 2 x y x y
原函数的另一种求法:
例
du e2 y dx (1 2 xe2 y )dy, 求 u
的全微分,
与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.
(iii)
是 D 内是某一函数 即 d u ( x, y ) P d x Q d y
P Q (iv) 在 D 内处处成立 . y x
证明 (i) (ii) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则
k
AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L


2
o
k
B x
例 3 计算 ( x 2 xy)dx ( x y )dy .
2 2 4 L
其中
x L 为由点O(0, 0) 到点 B(1, 1)的曲线弧 y sin . 2
解
P 2 ( x 2 xy ) 2 x y y P Q ， Q 2 y x ( x y4 ) 2 x x x 原积分与路径无关
证明 (iii)
(iv)
设存在函数 u ( x , y ) 使得 则
du P dx Qd y u P ( x , y ), x
u Q( x , y ) y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以
从而在D内每一点都有
P Q y x
证明 (iv)
(i)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D 由条件(iv), 在 D 上处处成立
故原式

1
0
23 x dx 0 (1 y )dy . 15
2 1 4
例4： 计算积分 (1 xe 2 y )dx (x 2 e 2 y y )dy, 其中C是
C
上半圆周 ( x 2)2 y 2 4 顺时针方向为正。 例5： 已知点O（0,0）及点A（1,1），且曲线积分
u( x , y ) 2t dt x cos s ds
0 0 x y
x x sin y C .
2
y
B( x , y )
C ( x ,0)
O
x
图 11 1
例2. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
移动到 由 A( 0, )
2
y
L
解: W 源自文库 d s
P Q y x
利用格林公式 , 得
Q P ( )d xd y 0 L P d x Q d y x y
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y
Pdx Qdy 0
若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函数的的全微分，
称方程 判别法:
为全微分方程 .
Q P x y
求出原函数u(x,y)，则通解为u(x,y) = C
小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关 ( 2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D 价 C ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy 命
L
k ( y dx x d y) 2 r
A L
令
2
则有
o
B x
P k ( x y ) Q 4 x y r
2
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x

2
cos , y

2
sin ( :

2
0)
W
OA

(ax cos y y 2 sin x)dx (bycosx x 2 sin y )dy 与路径无关,
试确定常数a,b ，并计算曲线积分。
全微分求积（全微分方程）
设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D 有连续偏
Q P x y
导数，且
则 Pdx Qdy 是某个函数u的全微分, 且
y y0 x
y
y0 x0
Q( x, y )d y
Q( x0 , y )d y P( x, y)d x
x0
x
例1 试应用曲线积分求 (2 x sin y )dx ( x cos y )dy 的原函数. 解 这里 P ( x , y ) 2 x sin y , Q( x , y ) x cos y , 在整个平面上成立
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y )
( x, y )
P( x, y0 )d x
或 u ( x, y )
x0 y y0
( x0 , y0 ) x
P( x, y )d x Q( x, y )d y


L1
P d x Qd y P d x Qd y L2
L2
B
L1
A
L 1 L 2
P d x Qd y
L2
(根据条件(i))
所以
P d x Qd y
证明 (ii) (iii) 在D内取定点 和任一点B( x, y ), 因曲线积分 与路径无关, 有函数
B( x, y ) C ( x x, y )