计算机2009组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理 (2)

2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、子序列概念 b 如果 b1 , b2 ,..., bm 是一个序列，那么， i1 , bi2 ,..., bik 是一个子序列，其中， i1 i2 ik m 1 2、递增子序列概念 若满足 bi1 bi2 ... bik 3、递减子序列概念 若满足 bi1 bi2 ... bik 4、分析题干：递增或递减子序列的长度n+1
2013年7月9日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 (鸽巢原理的加强形式)
设q1 , q2 ,..., qn都是正整数， 若把q1 q2 ... qn n 1个物体放入n个盒子里， 则 或者第一个盒子里至少含有q1个物体， 或者第二个盒子里至少含有q2个物体， ....., 或者第n个盒子里至少含有qn 个物体。
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定理2.2.1的证明
(反证法)
对于i＝1，2，…，n，假设第i个盒子 里至多含有qi-1个物品，则n个盒子里 物品数的总和不超过 q1+q2+…+qn - n 这与已知条件中的 物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。 故假设不真，原结论成立。

两个整数的和可以被100整除，则二者的余数的和是100 两个整数的差可以被100整除，则二者的余数相同
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证明：对于任意一个整数，它除以100的余数 显然只能有如下100种情况， 0，1，2，3，……，99 而现在有任意给定的52个整数，我们需要构 造51个盒子，即对这100个余数进行分组， 共51组： {0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，……， {49，51}，{50}
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式 §2.2 鸽巢原理的加强形式 §2.3 Ramsey定理
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§2.1 鸽巢原理的最简单形式
鸽巢原理是组合学中最简单、最基本原理 也叫抽屉原理 (又称为或重叠原理或狄利克雷原理）。
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
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例2.1.3对任意给定的52个整数， 证明：其中必存在两个整数，要么 两者的和能被100整除，要么两者 的差能被100整除。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、已知：52个整数， 2、目标：找被100整数的两个数 3、解题途径：把52个物体放到51个盒子中，需要构 造51个盒子 4、根据题干中要求的两个整数必须具备的性质构造 盒子 5、是否能够被100整除的关键在余数，那么一个整数 除以100的余数为0，1，2，…，99
解 根据定推论2.2.1，若将3×(10-1)+1=28个物体 放入3个盒子中，则至少有一个盒子中有10个物 体。显然物体就是三种水果，而盒子就是三类水 果，结论是保证已经取出10个相同种类的水果等 价于或者取出10个苹果或者取出10个橘子或者取 出10个香蕉。因此答案是至少取28个水果才能保 证已经取出10个相同种类的水果。
鸽巢原理的集合描述形式：
设有限集合A有n+1个元素，将A分划成n个不 相交子集的并，则至少有一个子集含有两个或 两个以上的元素。
定理是用群体的整体性表现出个体的某些特
性，属于从宏观到微观的理论研究成果
注意
应用时要分清物品与盒子以及物体数与盒子总数。 这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而却不 能找到具体满足要求的安排 不能被推广到只存在n个(或更少)物体的情形。
证明：由题意，设Li 是从ai 开始的递减子 序列的最大长度，Mi是从ai开始的递增子 序列的最大长度，则对于i从1到n2 + 1的 每个i的取值，都有（Li, Mi）与之对应。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
反证法。假设既不存在长度为n+1的递增子序 列，也不存在长度为n+1的递减子序列即1≤Li≤n 且 1≤Mi≤n，其中1≤i≤n2 + 1，由集合论的知识 知道集合{(Li, Mi)}的元素数为n2，根据定理 2.1.1，必然有（Li, Mi） = (Lj, Mj)（i < j），当 然Li = Lj，而且Mi = Mj。对于序列中的元素ai, aj， 分两种情况：
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品。
证明 在定理2.2.1中取q1=q2=…=qn=r即可。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 证明 由上面的不等式得 m1 + … +mn≥ (r－1)n+1， 由推论2.2.1， 存在mi，使得mi≥r。
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数 除以100的余数落入上面51组中的同一组中， 若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100 整除； 若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数 ，余数相同则它们的差能被100整除，余数不 同则它们的和能被100整除。
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备 一场锦标赛，她决定每天至少下一盘 棋，为了不能太累一周中下棋的次数 不能多于12盘。证明：她一定在此 期间的连续若干天中恰好下棋21盘。
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推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 个物体 n
m n
表示取天棚运算是大于等于 n 的最小正整数
m n
m
证明：根据
m m m 1 的定义有： n n n
（1）若ai > aj，则ai与从aj开始的最长递减子序 列合并，组成的子序列的长度Li ≥Lj+1 > Lj；这 与Li = Lj矛盾；
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（2）若ai < aj，则ai与从aj开始的最长递增子序 列合并，组成的子序列的长度Mi ≥Mj+1> Mj， 这又与Mi = Mj矛盾。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
而现在共有19列，根据定理2.1.1，无论怎样涂 色，则必有两列与图中的某一列相同，即各自 所包含的两个同色单元格的位置相同、颜色相 同。即结论成立。
例2.1.6 证明：任意n2+1 个实数a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列。
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例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每 个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择， 证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元 格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一 种颜色。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、题干提供的信息是给方格着色 2、目标：找一个由单元格构成的矩形的4个角上的 格子被涂上同一种颜色。需要翻译 3、两列中方格的涂色方案相同，即构造18个盒子放 19列涂色方案 4、解题途径：
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、题干提供的信息：一共11周 2、约束条件：

Βιβλιοθήκη Baidu
每周最多下12盘棋 每天至少下1盘棋
3、目标：连续若干天共下棋21盘 4、解题途径：构造下棋盘数的部分
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明:令b1，b2，…，b77分别为这11周中他每天 下棋的次数，并作部分和 a1=b1, a2=b1+b2, …， a77=b1+b2+…+b77.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
根据题意，有bi≥1(1≤i≤77),且 bi+bi+1+…+bi+6≤12(1≤i≤71),
所以有 1≤a1<a2<a3<…<a77≤12×11=132 (2.1.1) 考虑数列 a1,a2,…，a77，a1+21,a2+21,…，a77+21, 它们都在1与132+21=153之间，共有154项， 由定理2.1.1知，其中必有两项相等
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组合存在性定理
Ramsey定理（鸽巢原理为其最简形式） 偏序集分解定理（Dilworth定理） 相异代表系存在定理（Hall定理） 1928年英国数学家、哲学家兼经济学家Frank， Ramsey(1903-1930) 在伦敦数学会上宣读一篇 “ 论形式逻辑中的一个问题”的论文，奠定了 Ramsey理论的基础。 核心思想是：“任何一个足够大的结构中必定包含 一个给定大小的规则子结构”
2013年7月9日
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反证法。假定每个盒子里的物体都小于
，则至多是 ≤n (
m n 1 m n 1
m n
个。
个，那么n个盒子里的物体总数 =m，与m个物体矛盾。
)<n•
m n
因此原结论成立。
例2.2.1 一个袋子里装了10个苹果，11个橘 子，12个香蕉，至少取出多少个水果才能 保证已经取出10个相同种类的水果
几个例子
例2.1.1 共有12个属相，今有13个 人，则必有两人的属相相同
例2.1.2 有5双不同的袜子混在一 个抽屉里，我们至少从中选出多 少只袜子才能保证找到1双袜子？
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解 应用定理2.1.1，共有5个盒子，
每个盒子对应1双袜子。 如果选择5+1=6只袜子分别放到它所 属那双袜子的盒子中，则必有两只袜 子落入同一个盒子中，即为一双袜子 。因此我们至少从中选出6只袜子才 能保证找到1双袜子。
定理2.1.1 若把n+1个物体放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有2个或更多的物体
2013年7月9日
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证明 如果每个盒子中至多有一 个物体，那么n个盒子中至多有 n个物体，而我们共有n+1个物 体，矛盾。 故定理成立。
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
由（2.1.1）式知a1,a2,…，a77这77项互不相等 ，从而a1+21,a2+21,…，a77+21这77项也互不 相等，所以一定存在1≤i<j≤77，使得 aj=ai+21.
因此 21= aj-ai =(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) = bi+1+bi+2+…+bj. 这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 她刚好下了21盘棋。
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与简单形式的关系
上节的鸽巢原理的简单形式是这一原理的特 殊情况，即q1 = q2 = … = qn= 2，有 q1 + q2 +… +qn－n + 1 = n + 1
2013年7月9日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
定理2.2.1的推论
所以假设1≤Li≤n 且 1≤Mi≤n不成立。原结论成立。 •这个例子的结论是1935年由数学家保罗· 艾狄 胥（Erdös）和乔治· 塞克尔斯（Szekeres）首 先给出的，它还有更为有趣的表述：n2+1个人 肩并肩地站成一排，则总能选除n+1个人，让 他们向前迈出一步，所形成新一排的身高是递 增或递减的。


看每列情况，4个单元格涂3中颜色，必有两个涂同色， 且同色的方案数为（4，2）=6种， 每种颜色6种，共3种颜色，18=6*3
证明：首先对每一列而言，因为有4行， 但只有3种颜色选择。根据定理2.1.1，则 必有两个单元格的颜色相同。另外，每列 中两个单元格的不同位置组合有=6种，这 样一列中两个同色单元格的位置组合共有 18种情况，