流函数势函数-第一章.

无旋流动 流体运动
涡旋流动
Chen Haishan NIM NUIST
据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：
0
对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
V
或 V grad
无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 x, y, z, t 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表 示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
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②引入势函数的优点 流速矢描述流体运动 需要给定三个变量 含有三个变量； 刻画流体的运动情况。
V ui vj wk
而引进了势函数后：
u ,v ,w x y z
只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，
大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。
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③用势函数来描述流体运动 对于某一固定时刻
x, y, z, t =常数
为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。 上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。
由流速场与势函数的关系可知：V
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积分以上的全微分形式，可以得到：
x, y, t =常数
对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。 流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢 的方向是相吻合的。
上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等 值线。
将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函 数线。
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第六节 速度势函数和流函数
速度势函数 速度流函数 二维流动的表示
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一、速度势函数
① 定义（速度势函数的引入及存在条件）
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动；
否则，则称之为涡旋流动： V 0
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本节总结
§6速度势函数和流函数 （概念、理解）
①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；
②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
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④ 势函数的求解 u v w D 假如流体的散度为： x y z 根据势函数的定义有： 2 D
2 2 2 其中， 2 2 2 2 为三维拉普拉斯算子。 x y z
可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方 程，即可求得势函数。
根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可 知，满足无辐散条件下:
vdx udy 0
d x, y, t v x, y, t dx u x, y, t dy 0
,v 流速与该函数满足： u y x
矢量形式：
V k
曲线法向方向的单位矢量定义为：
dl n k dl 而： dl i dx j dy
A
B
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u ,v y x 引用流函数，并考虑： dl n k (dyi dxj ) / dl dl B B Q V n dl Vndl
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求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）： （1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。 （2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方 程，最终得到势函数。
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二、速度流函数
①定义及存在条件 引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为： 流体运动 无辐散流
课 后习 题
习题1-6-1 已知二维流速场为：
u ax by u (2a x ) y ① ② 2 2 v cx dy v b ( x y )
分别求势函数和流函数存在的条件。
习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动？如存在，请举例说明。
V 0
辐散流
V 0
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t u / x v / y 0
其流线方程为： dx dy 或vdx udy 0 u v
w0
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V V V
① ②
①无辐散涡旋流 ②无旋辐散流
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V V V V
V 0 V 0
V k V
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三、二维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即满足： v u x y 0 u v D x y 0

A

A
Q dy dx Q B A 或 A y x 表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该 两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
B
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
Chen Haishan NIM NUIST ②引入流函数的优点
（1）减少表征流动的变量
（2）表征流体通量 在流体中任取一条有向曲线A 流体自右侧向左侧的通量Q： B B
BΒιβλιοθήκη Baidu顺着该有向曲线
Q V n dl Vndl
A


A 流速在曲线法向方向上的分量
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（3）表征流体涡度
v u 由涡度的定义 x y ，可得到用流函数来表
示的涡度表达式：
2 2 2 2 x y
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。 同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。
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习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函 数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程) （2）等势函数线和等流函数线正交。
dx / u dy / v ； 习题1-6-4 平面流动的流线方程为： 由流函数全微分 d vdx udy ； 当取 常值时，也可以得到 dx / u dy / v 试问两式是否等价？请说明理由？
2 2 2 2 y x 2 2 x 2 y 2 D
V k
u y x v x y
上式为大气动力学中广泛采用的形式。
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流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势 面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处 ，位势梯度小，相应的流速小。
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例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 0 < 1 < 2 ）的，请判断并在图 图所示（其中， 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。