实对称矩阵的标准形
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第九章 欧几里得空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
§8酉空间介绍
§9.6 实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题
n
为 在这组基下的矩阵，即
A (aij ) Rnn
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
或
n
( i ) a1i1 a2i 2 ani n aki k , k 1,2, , n k 1
于是
( i ), j
n
aki
k
,
j
n
aki ( k , j )
1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
R 证：设实对称矩阵A为 上对称变换 n的在标准正交
基下的矩阵，
, 是A的两个不同特征值 ，
, 分别是属于 的特,征向量．
则 ( ) A , ( ) A ,
由 ( ), , ( )
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正 交．
其重数 n1 , n2 ,必满,足nr
1,2 ,
r
; ni n
i 1
,r R,
(2) 对每个
，解齐次线性方程组
i
(i E A)X 0
求出它的一个基础解系：
i1,i 2 , ,in
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基． i
Vi
把它们按
Sch正m交i化d过t 程化成 的一组标准 Vi
证：设 A Rnn , A A, 1, 2 ,..., n 为V的一组标准
正交基．
定义V的线性变换 ：
(1,... n ) (1,... n ) A 则 即为V的对称变换．
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
1,2,
,
为V的一组标准正交基，
R 证：取 的一n组标准正交基，
1 0
0
1
0 0
,
2
1 0
,
...,
n
10
则 在基
1,下2 ,的...矩,阵n为A，即
(1, 2 ,..., n ) (1, 2,..., n ) A
x1
y1
任取
百度文库
x2
,
y2
Rn,
xn
yn
即
x11 x2 2 ... xn n (1, 2 ,..., n ) X , y11 y2 2 ... yn n (1, 2 ,..., n )Y ,
于是
( ) (1, 2,..., n ) X (1, 2,..., n ) AX , ( ) (1, 2 ,..., n )Y (1, 2,..., n ) AY , 又 1, 2 ,是...标,准n正交基，
( ), ( AX )Y ( X A)Y X AY X ( AY )
, ( )
二、对称变换
1、定义
设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
( ), , ( ), , V ,
则称 为对称变换（symmetric transformation）．
2、基本性质
（1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的：
1） 实对称矩阵可确定一个对称变换．
假设n－1时结论成立，对 设其上的对R称n变, 换
有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即 1
(1 ) 11, | 1 | 1 设子空间 L(1 ) W , 显然W是 子空间，
1
则 W也是 子空间，且 W W Rn, dimW n 1 又对 , 有W ,
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
由于 是非零复向量，必有 x1x1 x2 x2 故 0 0 . 0 R.
xn xn 0
引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上
Rn
定义一个线性变换 如下：
( ) A, Rn
则对任意 , 有 Rn ,
( ), , ( ),
或
( A ) ( A ).
（2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 任取 W , 由W是 子空间，有
( )W ,
因此 ( ), , ( ) 0
即 ( ) W , ( )W .
故 W也为 的不变子空间．
三、实对称矩阵的正交相似对角化
２、
（定理7）对
A Rn总n有, 正A交 矩阵AT,，使
TAT T 1AT diag(1,2, ,n ).
R 证：设A为 上对称n变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
对 R的n维数n用归纳法．
n=1时，结论是显然的．
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 是A0的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2
xn
满足 A 0 .
x1
令
x2
,
x
n
其中 为xi 的共x轭i 复数，
又由A实对称，有
A A, A A,
A A
0 (0 ) ( A ) ( A) ( A ) ( A ) ( A ) (0 ) ( 0 ) 0
k1
k1
a ji ( j , j ) a ji
i , ( j )
i,
n
akj k
n
akj ( i , k )
k 1
k1
aij ( i , i ) aij
由 是对称变换，有
(i ), j i , ( j )
即 ij ji , i, j 1,2, n,
所以A为对称矩阵．
所以
是
W
由归纳假设知
上W的对称变换．
有n－1 个特征向量 W
构成 W的一 组标准正交基．
2,3, ,n
从而 1 ,2 ,3就, 是 ,的n一组标准正R交n 基，
又都是 的R特n征向量．
即结论成立．
3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
设 A Rnn , A A
(1) 求出A的所有不同的特征值：
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
§8酉空间介绍
§9.6 实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题
n
为 在这组基下的矩阵，即
A (aij ) Rnn
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
或
n
( i ) a1i1 a2i 2 ani n aki k , k 1,2, , n k 1
于是
( i ), j
n
aki
k
,
j
n
aki ( k , j )
1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
R 证：设实对称矩阵A为 上对称变换 n的在标准正交
基下的矩阵，
, 是A的两个不同特征值 ，
, 分别是属于 的特,征向量．
则 ( ) A , ( ) A ,
由 ( ), , ( )
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正 交．
其重数 n1 , n2 ,必满,足nr
1,2 ,
r
; ni n
i 1
,r R,
(2) 对每个
，解齐次线性方程组
i
(i E A)X 0
求出它的一个基础解系：
i1,i 2 , ,in
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基． i
Vi
把它们按
Sch正m交i化d过t 程化成 的一组标准 Vi
证：设 A Rnn , A A, 1, 2 ,..., n 为V的一组标准
正交基．
定义V的线性变换 ：
(1,... n ) (1,... n ) A 则 即为V的对称变换．
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
1,2,
,
为V的一组标准正交基，
R 证：取 的一n组标准正交基，
1 0
0
1
0 0
,
2
1 0
,
...,
n
10
则 在基
1,下2 ,的...矩,阵n为A，即
(1, 2 ,..., n ) (1, 2,..., n ) A
x1
y1
任取
百度文库
x2
,
y2
Rn,
xn
yn
即
x11 x2 2 ... xn n (1, 2 ,..., n ) X , y11 y2 2 ... yn n (1, 2 ,..., n )Y ,
于是
( ) (1, 2,..., n ) X (1, 2,..., n ) AX , ( ) (1, 2 ,..., n )Y (1, 2,..., n ) AY , 又 1, 2 ,是...标,准n正交基，
( ), ( AX )Y ( X A)Y X AY X ( AY )
, ( )
二、对称变换
1、定义
设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
( ), , ( ), , V ,
则称 为对称变换（symmetric transformation）．
2、基本性质
（1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的：
1） 实对称矩阵可确定一个对称变换．
假设n－1时结论成立，对 设其上的对R称n变, 换
有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即 1
(1 ) 11, | 1 | 1 设子空间 L(1 ) W , 显然W是 子空间，
1
则 W也是 子空间，且 W W Rn, dimW n 1 又对 , 有W ,
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
由于 是非零复向量，必有 x1x1 x2 x2 故 0 0 . 0 R.
xn xn 0
引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上
Rn
定义一个线性变换 如下：
( ) A, Rn
则对任意 , 有 Rn ,
( ), , ( ),
或
( A ) ( A ).
（2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 任取 W , 由W是 子空间，有
( )W ,
因此 ( ), , ( ) 0
即 ( ) W , ( )W .
故 W也为 的不变子空间．
三、实对称矩阵的正交相似对角化
２、
（定理7）对
A Rn总n有, 正A交 矩阵AT,，使
TAT T 1AT diag(1,2, ,n ).
R 证：设A为 上对称n变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
对 R的n维数n用归纳法．
n=1时，结论是显然的．
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 是A0的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2
xn
满足 A 0 .
x1
令
x2
,
x
n
其中 为xi 的共x轭i 复数，
又由A实对称，有
A A, A A,
A A
0 (0 ) ( A ) ( A) ( A ) ( A ) ( A ) (0 ) ( 0 ) 0
k1
k1
a ji ( j , j ) a ji
i , ( j )
i,
n
akj k
n
akj ( i , k )
k 1
k1
aij ( i , i ) aij
由 是对称变换，有
(i ), j i , ( j )
即 ij ji , i, j 1,2, n,
所以A为对称矩阵．
所以
是
W
由归纳假设知
上W的对称变换．
有n－1 个特征向量 W
构成 W的一 组标准正交基．
2,3, ,n
从而 1 ,2 ,3就, 是 ,的n一组标准正R交n 基，
又都是 的R特n征向量．
即结论成立．
3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
设 A Rnn , A A
(1) 求出A的所有不同的特征值：