第五节 可降阶的高阶微分方程

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可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 yy y 2 0 的通解.
d p 解 设 y p, 则 y p , 代入原方程 dy dp yp p 2 0, 即 p( y dp p) 0 dy dy dp dy 由 y p 0， 可得 p C1 y, C1 y dy dx 原方程通解为 y C 2e C1 x
第五节 可降阶的高阶微分方程
y
( n)
f ( x ) 型的方程
y f ( x, y) 型的方程
y f ( y, y) 型的方程
小结
思考题
作业
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第七章
微分方程
可降阶的高阶微分方程
一Baidu Nhomakorabea y
( n)
f ( x ) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数, 且不含未知函数 y 及其 导数 y . 两边积分 再积分
2.(2)(3)(6)
先读书，再写作业
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1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
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可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
可分离变量方程
C1 x
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可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 yy y 2 0 的通解. d ( yy ) 0 解 将方程写成 dx 可分离变量方程 yy C1 故有 分离变量
ydy C1dx
y 2 C1 x C2
两边积分后得通解
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可降阶的高阶微分方程
四、小结
y f ( x) 三类可降阶的微分方程 y f ( x, y) y f ( y, y)
(n)
解法: 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
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可降阶的高阶微分方程
自修作 业
习题7-5(323页）
1.(2)(5)(7)(10)
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可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) p( y( x )) p 解法 设 y dx 2 d p dp d y d p d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y , C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
3x p p 1 x3
2
2
p的可分离变量的一阶方程
dp 3x 3 d x ln p ln( 1 x ) ln C1 3 p 1 x p C1 (1 x 3 ) 由初始条件 y x 0 4
3 知C1=4, 所以 y 4(1 x ) y的分离变量方程
特点 方程缺y.
y p( x , C1 )dx C 2
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可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3 例 解方程
y x 0 1, y x 0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x , y )型 令 y p, y p, 代入原方程, 得
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可降阶的高阶微分方程
1 y 2 例 求方程 y 的通解. 2y d p 解 设 y p, 则 y p , 代入原方程 dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程 dy 2y 2 pdp dy 2 ln(1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p
例 解方程 y
(5)
1 (4) y 0. x
解 令 p y
(4)
, 则方程变为
可分离变量方程
1 p p 0, x
由分离变量法解得 p C1 x . 于是
y( 4) C1 x,
所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x 3 C3 x 2 C4 x C5
对于不含有y、y、 、y( k 1)的n阶方程 F ( x, y ( k ) , y ( n ) ) 0
(k ) p y . 只须作变换, 令
方程就可化为 n k 阶方程
F ( x, p,, p
( n k )
)0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
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可降阶的高阶微分方程
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可降阶的高阶微分方程
注
有些高阶方程也可用类似于“凑全微分” 的方法求解.
或解 求方程 yy y 2 0 的通解
1 两端同乘不为零的因子 2 y d y y yy y 2 ( ) 0 C1 2 dx y y y
故 y C1 y
从而通解为 y C2e
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可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y x 0 1, y x 0 4
4 dy 4(1 x 3 )dx y x 4 x C2
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1
故所求解为
y x 4x 1
4
6
可降阶的高阶微分方程
y ( n1) f ( x )dx C1
y ( n 2 ) [ f ( x )dx C1 ]dx C 2 …… 接连积分n次, 得到含有n个任意常数的通解.
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可降阶的高阶微分方程
3x y e cos x 例 求解方程
解 将方程积分三次, 得 1 3x y e sin x C1 3 1 3x y e cos x C1 x C 2 9 1 3x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 27 最后得到的就是方程的通解.
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可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
dp p. 将p作为新的 解法 设 y p, y dx 则方程变为 p f ( x , p ) 未知函数，
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程. 如果其通解为 p p( x, C1 ),则由 y p( x, C1 ) 再积分一次, 可求出原方程的通解
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可降阶的高阶微分方程
2002年考研数学一, 3分
微分方程 yy y 2 0 满足条件 y x0 1, 1 2 或 y x1 y x 1 y x 0 的特解是 2 解 d ( yy ) 0 故 有 yy C1 dx 1 1 由y x 0 1, y x 0 C1 即 2 2 2 y x 1 C2 yy 可分离变量方程 2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 2