振动模式

0
Q

d321Y a2 1

kaJ
0
2J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1(ka)

2

E0e jt


a
2
X 33
E0e
jt


a
2
X 33
1

2d321Y
(1


)
T 33
1

kaJ0
J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1(ka)
AkJ0 (ka)
J1(ka) a
d31 (1 )E0

0
即得
A
(1 )d31E0
1
kJ1(ka) J1(ka)
（5-43）
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19
将（5-43）式代入到（5-41）式即得满足自由 边界条件的解为
u1 (r,
t)

(1 )d31E 0e jt J1 (kr )
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4
又因电极面是等位面，故有（Ez/r）=0。选X、
E为自变量，并注意到弹性柔顺常数s11=s22以及 压电常数d31=d32，于是薄圆片压电振子的压电 方程组为：
xr s1E1X r s1E2 X d31Ez x s1E2 X r s1E1X d31Ez
r
/r)

AJ
1
(
c
a
)
AJ1 ( c a)
0
a
0
AJ1 ( c a)
0

AJ
1
(
c
a
)
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22
将（5-43）式代入到（5-42）式即得沿r方 向的伸缩应力为
Xr

Yd31
1

kJ
0
(
kr


kJ0
(
ka
) )
1
r
1
a
J1( kr ) J1( ka )
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11
忽略X与X’的差别（即认为X=X’）。将这些结果 代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，
rdrd 2ur X r rd dr X r rd dr X rd dr
t2 r
r
r
即： 2ur X r X r X （5-39）
Ez
X

s1E1 (s1E1)2 (s1E2 )2
x

s1E2 (s1E1)2 (s1E2 )2
xr

d31 s1E1 s1E2
Ez
D3

d31 s1E1 s1E2
( xr

x
)

2d321 s1E1 s1E2
Ez


X 33
Ez
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6
实验上常用杨氏模量Y和泊松比代替弹性柔顺
代入
2ur
t 2
Y
1 2
xr r

x r


1
Y

2
1

r
xr
x
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14
薄圆片压电振子的波动方程。

2ur t 2

c2

2ur r 2
1 ur r r

ur r2

（5-40）

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30
因为薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为
k
2 p
2
1

d321
sE X 11 33
2
1

d321Y
X 33
以及
x 33


X 33
(1

k
2 p
)
将这些关系代入上式得
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31
薄圆片压电振子的等效阻抗


Dz

d31X r
d31X


X 33
Ez

（5-37）
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5
第二类压电方程组
若以（x、E）为自变量，有（5-37）式可得
Xr

s1E1 (s1E1)2 (s1E2 )2
xr

s1E2 (s1E1)2 (s1E2 )2
x

d31 s1E1 s1E2

E0e
jt
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28
于是得到电流为
I dQ jQ
dt

j
a
2
X 33
1


2d321Y
(1


)
T 33
1
kaJ
0
J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1
(ka)


16
Xr

Y
1 2 [ xr


x
]

d31Y
1
Ez

X
Y
1 2 [x


xr
]

d31Y
1
Ez

D3

d31Y
1
( xr

x )

2d321Y
1
Ez


X 33
Ez

（5-38）式
现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边
界为机械自由，则在边界上的应力Xr等于零。 即
24
沿r方向和方向的伸缩应变为:
xr

ur r

(1


)d31

kJ0 (kr) kJ0 (ka)

1 1

r

a
J1(kr)
1
E0e jt
J1(ka)

x

ur r

(1


)d31

kJ
0
1 r
J1
(kr
)
(ka) 1

X r r

Xr
r
X
将压电方程组（5-38）式代入上式，并注意到 （Ez/r）=0，即得
2ur
t 2
Y
1 2
xr r

x r


1
Y

2
1
Hale Waihona Puke Baidu
r
xr
x
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13
利用关系
xr 2ur , x 1 ur ur r r2 r r r r2
r a, 时 Xr |a 0
由（5-38）式的第一式
Xr
Y
1 2
ur r

ur r


d31Y
1
Ez


Y
1
2

Ae
jt
J1(kr) r

Ae jt
J1(kr) r
d31Y
1
Ez
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17
若电场强度分量为: E z E 0e jt

2

E0e jt


X 33
E0e
jt
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26
薄圆片压电振子的等效电阻
通过压电振子电极面的电流I为
I dQ dt
而电极面上的电荷Q为
2 a
Q 0
0 Dz rdrd
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27
积分时注意到： 即得
a
krJ0 (kr)dr aJ1(ka)
a
J1(ka)


1
E0e
jt


（5-47）
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25
电位移为:
D3

d31Y
1
[Sr

S ]

2d321Y
1


X 33

Ez




d321Y
1

kJ
0
kJ0 (kr)(1
(ka) 1
a
)
J1(ka)
t 2 r
r
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12
Xr
Y
1 2 [ xr


x
]

d31Y
1
Ez

X

1
Y

2
[ x


xr
]

d31Y
1
Ez

D3
d31Y
1
( xr

x )
2d321Y
1
Ez


X 33
Ez

2ur
t 2
1 Z

j
a
2
X 33
lt
1

k
2 p

k
2 p
kaJ 0
J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1(ka)


j
a
2
X 33
lt
1
k
2 p
1

k
2 p
kaJ
0
J1(ka)(1 ) (ka) (1 )J1
(ka)
33
或
ra c
J
0
(
r c
a)

(1
)
J1
(
r c
a)
（5-50）
其中：r=2fr，fr=谐振频率。
其它振动模式
薄圆片压电振子的径向伸缩振动; 其它压电振子:薄圆环的径向振动,薄
球壳的径向振动,薄片的厚度伸缩振动
能陷振动模
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1
材料参数
振动模式 阻抗、导纳
等效电路
器件设计
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2
薄圆片压电振子的径向振动
对于压电常数d31=d32和弹性柔顺常数s11=s22的压 电晶体，例如钛酸钡、铌酸锂等晶体，可用它的 z切割薄圆片的径向振动。 用柱坐标（O-rz），圆片面与z轴垂直。因为是 薄圆片，所以可以近似认为垂直于圆片面方向的 应力Xz=0。
2
)

X
'
dr
sin( d
2
)
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9
薄圆片压电振子的质量元
图5-7
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10
由于dr和d都很小，故有
X
' r
(r

dr)d

X rrd

( X rr) drd
r


X rrd

X r r
rdrd

Xr r
rdrd
其中波速：
c
Y (1 2 )
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15
波动方程式的解
薄圆片压电振子的波动方程式的解为
u r (r, t) Ae jt J1 (kr ) （5-41）
其中:k=/c,J1(kr)为一阶贝塞尔函数。 First order Bessel function
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kJ
1
(ka
)

1

J1
(ka
)
(5-44)
由（5-44）式代表的波形，如图5-8所示。
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20
图 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（a）自由 圆片中的波形（b）自由圆片的伸缩情况
(a)
(b)
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21
r
-a
t=0 ur(r,0)
t=/ ur(r,
并注意到
J1 (kr) r

kJ0 (kr)

J1 (kr) r
代入到上式得：
Xr

Y
12
Ae jt

kJ
0
(
kr
)

J1( kr r
)(1
)

d 31Y
1
E0e jt
（5-42）
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18
利用边界条件r=a时，Xr|a=0，即可确定任意 常数A，由
1
E0e jt
（5-45）
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23
沿方向的伸缩应力为:
X
Yd31
1
kkJJ0 (0k(kar))11ar
J1 (kr ) J1(ka)


1
E0e
jt


（5-46）
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7
（5-38）式就是以应变和电场（x、E）为自变
量，用柱坐标表示的薄圆片压电方程组。其中 沿r方向的伸缩应变xr=（ur/r），沿方向的 伸 缩 应 变 x=ur/r+(u/)/r 。 因 为 薄 圆 片 的 径向伸缩振动具有圆对称性，所以(u/)=0。 在此情况下，沿方向的伸缩应变简化为 x=ur/r。
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3
薄圆片压电振子的压电方程组
因为薄圆片只有径向伸缩形变，所以沿r 方向 和 方 向 的 Xr0 ， X0 ， 而 切 应 力 Xr=Xrz=Xz=0 。 因为电极面就在圆片面上，所以只有沿z方向 的电场强度分量Ez0，而沿r和方向的电场强 度分量Er=E=0。

k=/c
(5-49)
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32
谐振频率和机电耦合系数
谐振时压电振子的等效阻抗Z=0，即: G=1/Z=， 这就要求
kaJ 0 (ka ) (1 )J1 (ka ) 0
即：
r c
aJ
0
(
r c
a)

(1
)J1
(
r c
a)

0
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E0e
jt
（5-48）
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29
薄圆片压电振子的等效阻抗
压电振子的等效阻抗Z为
1 I ZV
I Ezlt

I l t E 0e jt
将（5-48）式代入上式的
1 Z

j
a
2
X 33
lt
1

2d321Y
(1


)
T 33
1
J1(ka)(1 ) kaJ0 (ka) (1 )J1(ka)
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8
薄圆片压电振子的振动方程
若圆片密度为，则小的质量为（见图5-7）；若 为小块bcde沿径向的位移rddr，则小块沿径向 加速度为2ur/t2。小块的运动方程为：

rd
dr
2ur t 2


X
' r
(r

dr)d

X rrd

X dr
sin( d
常数sE11、sE12，将Y=1/sE11，=-sE12/sE11关系代 入上式得：
Xr

Y
1
2
[ xr


x
]

d31Y
1
Ez

X
Y
1 2 [x


xr
]

d31Y
1
Ez

D3

d31Y
1
( xr

x )

2d321Y
1
Ez


X 33
Ez