几何综合与三角函数

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）

（1）如图1，若α＝45°，则△ECK的形状为；

（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE﹣AE＝2CK；

（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．

2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．

（1）如图①，当∠BAC＝45°时，则线段AE与线段CD的数量关系为；

（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；

（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系（用含α的三角函数表示）

3．如图1，在△ABC和△ADE中，AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝m，CE、DB交于点F，连接AF．

（1）如图2，当m＝90°时，猜想BD、CE的关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，猜想线段AF、BF、CF数量关系，并证明你的结论；

（3）直接写出AF、BF、CF数量关系（用含m的三角函数表示）．

4材料②：已知AC是∠MAN的平分线．

（1）在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；

（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在图3中：若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC＝180°，

则AB+AD＝AC（用含α的三角函数表示）．

5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；

（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；

（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）