工科数学分析 1-1 定积分的概念

2011年10月
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注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的定积分存在时， [
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b]
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i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi 1 , xi ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
定积分的概念
问题引入 定积分的定义 几何意义 Darboux和与可积性准则
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一、问题引入
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
n

i 1
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n
1 i 1 f ( i )xi xi i 1 q (q 1) i 1 i i 1 q
1
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n
(q 1) n(q 1)
i 1
n
取q 2 即 q 2
n
1 n
f ( i )xi n(2
例2 利用定义计算定积分 1
2
1 dx . x
2 n 1 解 在[1,2] 中插入分点 q , q , , q ,
典型小区间为[q
i 1
, q i ] ，（i 1,2, , n ）
i i 1
小区间的长度xi q q
取 i q
i 1
q (q 1),
i 1
，（i 1,2,, n ）
设函数 f ( x)在区间 a, b 上有界， 对于 a, b
的任意分法 : x0 a x1 x2 xn b
既任意选取的 { k } k [ xk 1 , xk ] ，作积分和
S ,
f x
k 1 k
n
k
可见积分和既与函数 f ( x) 及所选择的
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（1）分割
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v ( i )t i
某时刻的速度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
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i 1 1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
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我们注意到对于区间 a, b 的任意分法 :
x0 a x1 x2 xn b 有
mk f ( k ) M k
mk f ( k ) M k
相应于 的所有的积分和与达布和满足不等式
k
称k M k mk为f 在子区间[ xk 1 , xk ]上的振幅
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做 f ( x)关于分法 的如下和式
S ( ) mk xk S () M k xk
k 1
n
n
k 1
分别称之为函数 f ( x)对于分法 的达布小和 及达布大和，统称为达布和。 我们的目的在于通过达布和来研究一般的积分和。 为此我们首先介绍一下有关达布和的一些性质。
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四、 Darboux和与可积性准则
定理1.1 （可积的必要条件） 区间[a , b]上的可积函数一定有界.
注意：有界函数未必一定可积。
例如： Dirichlet函数
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1 达布(Darboux)和及其性质
区间[a , b ]上可积.
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三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
A1
A3 A2
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
A4
a f ( x )dx A1 A2
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
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b
b
b
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
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n
1 n
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例3
设函数 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且取正值.
试证 lim n
n
1 f n
2 n f f n n
0 ln f ( x ) dx . e
1
证明
利用对数的性质得
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x )
在区间[a , b]上的定积分， 记为
积分上限
积分和
b
a f ( x )dx I lim f ( i )xi 0 i 1
被 积 函 数
被 积 表 达 式
n
积分下限
积 分 变 量
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[a , b] 积分区间
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
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nபைடு நூலகம்
二、定积分的概念
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a , b]中任意插入 在
b
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A3 A4
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几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条直线 x a , x b 之间的各部分面积的代数和．在 x 轴 上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号.




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A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
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实例2 （求变速直线运动的路程）
lim n
n
1 f n
2 n f f n n
e
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1 2 n ln lim n f f f n n n n
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在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
y
o a
x1
x i 1 i x i
x n 1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， ( i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
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曲边梯形面积的近似值为：
所以ln f ( x ) 在[0,1] 上有意义且可积 ,
i 1 1 ln f ( x )dx lim ln f 0 n i 1 n n
n
故 lim n
n
1 f n
1
2 n f f n n
0 ln f ( x ) dx . e
极限运算与对数运算换序得
e
1 2 n lim ln n f f f n n n n
1 i lim ln f n n n i 1
e

n
e
i1 ln f n n n i 1 lim

n
指数上可理解为：ln f ( x ) 在[0,1] 区间 上的一个积分和． 分割是将[0,1]n 等分
i 分点为 x i ，（i 1,2, , n ） n
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因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续，且 f ( x ) 0
A?
o
a b
x b 所围成.
x
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用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
若干个分点
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
n
把区间[a , b ]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
一点 i （ i x i ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
i 1
1 x
n
1 n
1),
1 x
2 1 lim x ( 2 1) lim ln 2, x x 1 1 x n lim n( 2 1) ln 2,
n
1
2
1 1 dx lim xi lim n( 2 1) ln 2. 0 i 1 n x i
播放
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曲边梯形如图所示， 在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
x 2 dx lim i 2 xi 0
1
0 n
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
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例1 利用定义计算定积分 0
1
x 2dx .
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2,, n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，( i 1,2,, n ) n 取 i xi ，(i 1,2,, n )

i 1
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的区间 a, b 分法 有关，又与 的取法有关 为了便于讨论积分和，我们还有必要 引进两个其它形式的和。记
M k sup
xk 1 x xk
f ( x)
k 1, 2,, n
mk inf
xk 1
f ( x) x x