向量的数乘运算及几何表示

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a与b 为相反向量
a+b=0
思考3:若向量a与b同向,则向量a+b 的方向如何?若向量a与b反向,则向量 a+b的方向如何?
思考4:考察下列各图,|a+b|与|a|+
|b|的大小关系如何?|a+b|与|a|-|b|的
大小关系如何?
a
C
a

a+b b

A aB
a+b
a+b
|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取 等号;
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向量加法运算及其几何意义
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么?
2.用有向线段表示向量,向量的大小 和方向是如何反映的?什么叫零向量 和单位向量?
3.两个实数可以相加,从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层 面上,那是没有多大意义的.我们希望 两个向量也能相加,拓展向量的数学意 义,提升向量的理论价值,这就需要建 立相关的原理和法则.
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A;
bC
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD=BC=a,AB=DC=b ;
(3)则以点A为起点的对角线AC=a+b.
注意起点相同.共线向量不适用
一、走进新课
uur
uur
已知:两个力的合力为 F 其中一个力为 F1
uur
求:另一个力 F2
F F2
F1
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
a b a (b)
定义:求两个向量差的运算叫向量的减法。 rr r r
表示: a b a (b),
说明:r 1、与 b 长r 度相等、方向相反的向量,
叫做 b 的相反向量
量a+a+a和(-a)+(-a)+
(-a)?
a
aa a OA B C
a+a+a
-a -a -a
P NMO
(-a)+(-a)+(-a)
-2
思考2:向量a+a+a和(-a)+ (-a)+(-a)分别如何简化其表示 形式? a+a+a记为3a, (-a)+(-a)+(-a)记为-3a.
思考3:向量3a和-3a与向量a的大小和 方向有什么关系?
结合律吗?如何检验?
C
a+b+c
c
a+b O
B
(a+b)+c
a

A
a+(b+c)
思考7: 等于什么向量?
等于什么向量?
理论迁移
例 长江两岸之间没有大桥的地方,常常 通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长 江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)使用向量表示江水速度、船速以及船 的实际航行的速度; (2)求船实际航行速度的大小与方C向.
思考4:若向量a(a≠0)与b共线,则 一定存在实数λ,使b=λa成立吗?
思考5:综上可得向量共线定理:向量a (a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一 个实数λ,使b=λa. 若a=0,上述定 理成立吗?
思考6:若存在实数λ,使

则A、B、C三点的位置关系如何?
思考7:如图,若P为AB的中点,则
与 、 的关系如何?
2.若λa=0,则可能有λ=0,也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律,不是规定,而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线,直线平行,线段 数量关系的理论依据.
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意:
b
b b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”,和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2a + 2b = 2(a+b);
(3+ )a =3a+ a.
思考2:一般地,设λ,μ为实数,则 λ(μa),(λ+μ) a,λ(a+b)分别 等于什么?
λ(μa)=(λμ) a ; (λ+μ) a =λa +μa; λ(a+ b)=λa+λb.
思考3:对于向量a(a≠0)和b,若 存在实数λ,使b=λa,则向量a与b 的方向有什么关系?
(二)重点
重点:向量减法的定义、向量减法的三角形法则
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解:以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,
由于 | AD || AB | 3,故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC
a
b,DB
a
b

|
AC
||
a
b
|
,| DB
||
a
b|
D
因为DAB 120O,所以DAC 60O b
D
A
A
B
小结作业
1.向量概念源于物理,位移的合成是向量 加法三角形法则的物理模型,力的合成是 向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加,并可以按任 意次序、组合进行.若平移这些向量使其 首尾相接,则以第一个向量的起点为起 点,最后一个向量的终点为终点的向量, 即为这些向量的和.
向量数乘运算及其几何意义
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
ar b
2.共线反向
a
r b
AC
B
B
AC
+ 如图,已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
rr B
ab
A b
a
O
D r ur d cd
C c
例2:源自文库择题
uuur uuur uuur
(1)AB BC AD D
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B)CD (C)DB
uuur r
例4:如图平行四边形ABCD, AB a,
uuur r uuur r
DA b,OC c,
D
C
r r r uuur 证明:b c a OA
b
c
O
A
B
a
证明:b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图,已知a,b,求作a b.
探究一:向量加法的几何运算法则
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按 原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示?由此可得什么结论?
A
BC
思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按 反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示?由此可得什么结论?
CA
B
思考3:如图,某人从点A到点B,再从点 B改变方向到点C,则两次位移的和可用 哪个向量表示?由此可得什么结论?
示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同
方向伸长了相同长度.从力学的观点分
析,力F与F1、F2之间的关系如何?
F1
M
C
EO
F1 F
图1
F2
F2
M
F
EO
图2
F=F1+F2
思考6:人在河中游泳,人的游速为 水流速度为 ,那么人在水中的实际 速度 与 、 之间的关系如何?
O
B
A
C
思考7:上述求两个向量和的方法,称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b,如何用平行四边形法则求 其和向量?
(2)λ>0时,λa与a方向相同; λ<0时,λa与a方向相反; λ=0时,λa =0.
思考6:如图,设点M为△ABC的重心,
D为BC的中点,那么向量 与 ,
与 分别有什么关系?
A
M
B
C
D
探究二:向量的数乘运算性质
思考1:你认为-2×(5a),2a+2b, a可分别转化为什么运算?
-2× (5a)= -10a ;
例2 如图,已知任意两个非零向量a,
b,试作 =a+b, =a+2b, =a+3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C
3b
B
b a
2b b
A Oa
例3 如图,平行四边形ABCD的两条对
角线相交于点M,且 =a, =b, 试用a,b表示向量 、 、 、
D
C
bM
Aa B
小结作业
1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量, 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义,向量除以非零实数就 是数乘向量.
a

B
C

a+b
O
a
A
思考8:用三角形法则和平行四边形法 则求作两个向量的和向量,其作图特点 分别如何?
三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.
探究二:向量加法的代数运算性质
思考1:零向量0与任一向量a可以相加 吗? 规定:a+0=0+a=a,
思考2:若向量a与b为相反向量,则a+ b等于什么?反之成立吗?
|a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取 等号.
思考5:实数的加法运算满足交换律,
即对任意a,b∈R,都有a+b=b+a.那
么向量的加法也满足交换律吗?如何检
验?
a B
b a+b
C

O
a
A
a+b
b+a
思考6:实数的加法运算满足结合律,
即对任意a,b,c∈R,都有(a+b)+
c=a+(b+c).那么向量的加法也满足
C
O
12`0o a B
A
所以ADC是正三角形,则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形,
uuur uuur | OD || AD | sin 60o 3
33 3
所以
|
a
b |
3,| a
b
2 |
3
2 3
3.两个向量的和的模不大于这两个 向量的模的和,这是一个不等式性 质,解题中具有一定的功能作用
a aa a OA B C
-a -a -a
P NMO
思考4:设a为非零向量,那么 a和 a 还是向量吗?它们分别与向量a有什么 关系?
a
a a
思考5: 一般地,我们规定:实数λ与 向量a的积是一个向量,这种运算叫做 向量的数乘.记作λa,该向量的长度与 方向与向量a有什么关系?
(1)|λa|=|λ||a|;
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、差
向量?
a
a
a
b
a+b b
b
a-
b
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算,如3+3+3+3+3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢?这需要从理论上进行探究.
探究一:向量的数乘运算及其几何意义
思考1:已知非零向量a,如何求作向
uuur (D)DC
uuur uuur uuur
(2)AB AC DB C
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B) AC (C)CD
uuur (D)DC
例3:如图,平行四边形ABCD,AB=a,
AD=b,用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向,向量 AC=a+b,向量DB=a-b
(1)
a
(2)
a
b
b
(3)
a
(4)
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
小结:
(一)知识
1.理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义, 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
O
A PB
思考8:向量的加、减、数乘运算统称 为向量的线性运算,对于任意向量a、b, 以及任意实数λ、x、y,λ(xa±yb) 可转化为什么运算?
λ(xa±yb)=λxa±λyb.
理论迁移
例1 计算 (1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
C
A
B
思考4:上述分析表明,两个向量可以相加, 并且两个向量的和还是一个向量.一般地, 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法,称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b,如何用 三角形法则求其和向量?
a

C
a+b

A
a
B
思考5:图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下,沿MC方向伸长了EO;图2表
2、零向量的相反向量仍是零向量 3、任一向量和它相反向量的和是零向量
练习
r
ar
0
r 0
r
r
b
a
r 0
已知a,b,根据减法的定义,如何作出a b呢?
a
b
B
b
ab
b O a
A
C
D
rr
方法:平移向量a, b, 使它们起点相同,那么
r
r
rr
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
A
.a
O
ab
B
b
注意: 1、两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点
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