无穷级数课件

n 1
性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散
性不变.
性质4
若级数
u
n
收敛，则对其各项间任意加括号后
n 1
所得的级数仍收敛，且其和不变.
应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括 号后级数收敛，原级数未必收敛.
.
例如级数
（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+… 显然收敛于零，但级数
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.
例如，级数1+2+4+8+…+2n-1+…是公比为2的几何级
数, 由于 q 2 1，所以级数是发散的
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
n 1
u
n
收敛.下面的例9正说明了这一点：lim n
1 n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Sn
n
1
如图，
k k 1
考察曲线
y 1 , x 1, x n 1和y 0 ，所围成的曲边梯形的面
Sn
a
aq
aq2
aqn 1
a 1 qn 1 q
当
q
1时，lim n
S
n
a ，所以级数
1 q
收敛，其和
S a
1 q
当
q 1
时，lim n
S
n
所以级数
aq
n
1
发散.
n 1
(2) q 1
当 q 时1 ，
aq n1
a于是
n 1
n 1
lim
n
Sn
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
1+1-1+…+1-1+…
却是发散的.
性质5（两边夹定理） 如果 u n ≤ v≤n 且wn
un
n 1
和 wn 都收敛，则 n 1
vn
n 1
也收敛．
性质6（级数收敛的必要条件）
若级数
u
n
收
n 1
敛，则
lim
n
u
n
0
例5 判别级数 1 2 3 n 的敛散性
357
2n 1
解 因为
n1
lim
n
二、正项级数及其敛散性
Sn
u1
u2
u3
un
n
uk
k 1
称Sn为级数的前项部分和．当依次取1，2，3，…时，
新的数列
，…， ，…， S1 u1 S 2 u1 u2
Sn u1 u2 un
数列 Sn 称为级数 un的部分和数列．若此数列的 n 1
极限存在，即
lim
n
S
n
S
(常数),则S 称为 un 的和，
n 1
记作
un S
n 1
此时称级数
u
收敛．如果数列
n
Sn 没有极限，则
n 1
称级数
u
n
发散，这时级数没有和．
n 1
当级数收敛时，其部分和 Sn 是级数和S的近似值， 称 S Sn 为级数的余项，记作 rn ，即 ． rn S Sn un1 un2
例1 判定级数
1
1 1 1
1
1
ln1
1
wk.baidu.com
ln1
1
n1 n
2
n
的敛散性
解 已知级数的前n项和是
Sn
ln11
ln1
1 2
ln1
1 n
ln1
n
因为
lim
n
Sn
lim ln1
n
n
，
所以这个级数发散.
例3 讨论等比级数（也称几何级数）
aqn1
a
aq
aq2
aqn1
n1
的敛散性.
解 (1) q 1
前n项和
第九章 级数
第一节 数项级数及其敛散性 第二节 幂级数 第三节 傅里叶级数
第一节 数项级数及其敛散性
一、数项级数及其敛散性
1．数项级数的概念
定义1 设给定一个数列 u1,u2,u3,,un ,, 则表达式
u1 u2 u3 un
（11．1）
称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作
un
即
n1
n1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
的敛散性.
解 已知级数的前n项和是：
Sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n 1
1 1 n 1
因为
lim
n
Sn
lim1 n
n
1
1
1
,所以这个级数收敛,其
和为1.
例2 判定级数
ln1
1
ln1
un
u1
u2
u3
un
n1
其中第n 项 un 称为一般项或通项．
例如，级数 1 1 1 12 23 34
的一般项为 un
1. n(n 1)
又如级数
ln(1 1) ln(1 1) ln(1 1)
2
3
的一般项为
un
ln(1
1) n
简言之，数列的和式称为级数.
定义2 设级数（11．1）的前项之和为
36
100 1002 1003
100 n
这是公比为 1 的几何级数，由等比数列求和
100
公式
Sn
36 100
1
1 100
n
1
1
100
所以
lim
n
Sn
lim
36 100
1
1 100
n
n
1
36
100 1
1
1
36 4 99 11
100
100
这个无穷级数的和为
4
，即
0.3 6
4
11
11
2．数项级数的基本性质
级数
1n
1
是公比为-1的几何级数,
n 1
由于 q 1 ，所以该级数发散.
注意
几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数
展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
例4
把循环小数
0.36
化为分数.
解
把
0.
3
6
化为无穷级数
0.36
36
36
36
un
lim n 2n 1
2
0
所以级数
n
发散.
n1 2n 1
例6
判别级数
1n1
1
n1
2 n1
nn 1
的敛散性.
解
级数
n1
1 n1与级数
2n1
n1
1
nn 1
都收敛，故由性质2知，
级数
1n1
1收敛 .
n1
2 n1
nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
性质1 如果级数 un 收敛，其和为s, k为常数，则级数
n 1
kun也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数 也 k发un散.
n 1
由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其
敛散性不变.
性质2 若级数
un
n 1
与 vn n 1
分别收敛于β与
，则级
数
(un
vn
)
，收敛于
x
积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.
A1
1,
A2
1, 2
A3
1 3
,
An
1 n
所以，阴影部分的总面积为
n
A Ak
k 1
1
1
1
1
n
1
23
n k k 1
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
n
A Ak
k 1
n 1
1
1 x
dx
ln
x
|1 n
1
lnn
1
而 limln1 n n 数发散.
，表明A的极限不存在，所以该级