高中数学-《基本不等式》课件

C、 y 3x 3x (x R)
D、y sin x 1 (0 x )
sin x
2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3) 的最小值
x3
思考：求函数 y x2 5 的最小值 x2 4
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0 x 1 ，求 x 1 x2 的最大值
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3x 3y 的最小值是（D）
A、10
B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
A、 y x 5 (x R, x 0) 5x
B、y lg x 1 (1 x 10) lg x
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b)
2
2
，则（
B）
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
应用二：解决最大（小）值问题
§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
和 x y 有最小值2 P
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4ຫໍສະໝຸດ Baidu
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
练习：
已知 x 0, y 0且 2x 5y 20 ，则 lg x lg y
最大值是多少？
利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R )，
求证：x y ( a b)2 2.已知a 0,b 0,c 0, d 0,求证：
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