2018上海交通大学高等代数

7. A, B 是 n 阶矩阵, 且 AB = BA, 若 A 有 r 个互不相同的特征值, 则 A, B 至少有 r 个公共且线性 无关的特征向量.
8. A, B 都是实对称矩阵, 证明 A 是正定矩阵的充要条件是: 对于任意一个正定矩阵 B, 都有 tr(AB) > 0.
9. 对于任一实可逆矩阵 A, 都存在正交矩阵 Q1, Q2, 使得
证明 B 可逆, 并求出 B 的逆.
3. A 是 n 阶矩阵,rank(A) = n − 1, 证明 A∗ 可以表示成 A 的多项式.
4. f (xBaidu Nhomakorabea 与 g(x) 互素,
f (M ) g (M ) X = 0, f (M ) X = 0, g (M ) X = 0,
的解空间分别是 W , W1, W2, 证明:W = W1 ⊕ W2.
编号 828
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上海交通大学
二〇一八年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目 高等代数 编号
828
注意: 答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
1.
证明
x2
xn
f (x) = 1 + x + + · · · +
在有理数域上不可约.
2!
n!
2. A = ααT , 其中 α 是一个 n 维列向量, 且 αT α = 1, B = E + A + A2 + · · · + An,
5. A = (ai j)n×n 是一个 n 阶可逆矩阵,B = (ai j)r×n (r ≤ n) , 求 BX = 0 的基础解系.
6. (1) 证明在复数域上, 有 A2 = −E ⇐⇒ rank (A + iE) + rank (A − iE) = n;
(2) 证明复数域上的矩阵 A 若满足 A2 = −E, 则 A 可对角化, 并求出与它相似的对角矩阵.
Q1AQ2 = λ1 . . .
,
λn
其中,λn ≥ λn−1 ≥ · · · ≥ λ1 ≥ 0, 且 λ12, · · · , λn2 都是 AT A 的特征值.
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