全国高中数学 优秀教案 椭圆的简单几何性质教学设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质设计

一．教学内容解析：

椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。利用方程研究椭圆的简单几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。

研究椭圆的具体性质之前，先让学生观察图形直观得到性质，而后利用方程去研究。根据曲线的条件求出曲线的方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何性质则可以说是解析几何的一个手段。

方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性，这是当年Descartes 创立解析几何的直接目的。 二．教学目标设置： (一) 知识与技能：

1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；

2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；

3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响； (二) 过程与方法：

1. 通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；

2.方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；

3. 让学生注意“顶点”“椭圆中心”的概念，体会到特殊与一般的区别；

4. 通过设置填表和例2（2），让学生体会类比法和分类讨论的重要性。 (三) 情感态度与价值观：

合作讨论突破难点，培养学生合作意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感悟数学家创立解析几何的目的；结合之前的学习，学生发现曲线与方程的互相结合，体会出事物的辩证统一，相互转化的唯物主义。 三．学生学情分析：

本班学生数学基础参差不齐，学习水平发展不平衡；学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结合适当的点拨与演示，是非常必要的。 四．重难点： 重点：

1. 用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；

2. 椭圆的简单几何性质。

难点：1.用方程研究椭圆的范围和对称性； 2.离心率的引入 五．教学策略分析：

1.问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

2.学生实物投影展示和板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；

3.在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；

4.教师几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

六．教学过程： (一)回顾引入：

1.知识回顾：椭圆的标准方程：

当焦点在x 轴时，)0(122

22>>=+b a b y a x

当焦点在y 轴时，)0(122

22>>=+b a b

x a y

【设计意图】：回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫。

2.活动创设：运用所学的知识，你能否画出方程14

92

2=+y x 所对应的曲线？ （如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）

（预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；

预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；

预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分； 预案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高）） 【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。 (二)知识探究：

师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

以椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？

【设计意图】：引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度。

探究一：

问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？

（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观）

（师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的 话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何的目的。） 问题2： 你能否用方程说明该范围？

(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果。)

（预案一：利用0022

22≥≥b

y a x 和的特点；

预案二：观察方程形式，

122

=+）（）（b

y a

x

联系1sin cos 22

=+θθ；

预案三：与函数定义域和值域联系，22

2211a

x b y a x b y --=-=和）

师：研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图。【设计意图】

指明用方程研究曲线性质是解析几何的目的。学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，

能体会到方程研究性质的应用。联系之前所学三角函数和函数定义域值域知识，更能加强学生对知识综合运用加深理解。 探究二：

问题1：该椭圆具有什么对称性？ 问题2：能否用代数法说明该对称性？

（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生 回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题。） 问题3：能否判断方程0122

2

=+-+y xy x 所对应曲线的对称性?并说说用方程判断曲线对称性的好处。

师：该椭圆关于x 轴和y 轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x 轴和y 轴轴对称？ （学生回答）

师：所有椭圆是不是都有两条对称轴？（学生回答）

师：同样的，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？ (学生回答)

师：是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？（学生回答） 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取 一点”。学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处。 研究该椭圆对 称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别。 探究三：

师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的 位置，常常需要求出它与x 轴和y 轴的交点坐标。 问题1：该椭圆与x 轴和y 轴的交点坐标分别是什么？

（指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x 轴和y 轴为该椭圆的对称轴， 这四个交点为椭圆的顶点。） 问题2：椭圆的顶点如何定义？

（预案：学生可能会回答“椭圆与x 轴和y 轴的交点称为椭圆的顶点”） 【设计意图】让学生明确特殊与一般的区别。 探究四：

问题1：用c b a ,,中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？ （先思考（过了3分钟）小组合作讨论，互相交流看法;小组展示成果） （预案一：

a b ；预案二：b a ；预案三：a c ；预案四：b

c

…） 师：其实，用c b a ,,中任意两个量的比值都可以刻画椭圆的扁平程度。

为什么采用

a c 来刻画椭圆的扁平程度？c a 和是原始量，另外采用a

c

也是为了后边研究圆锥的统一性等性质的方便。

问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？

（预案：学生可能假设a 不变，长轴长不变，改变c ，短轴长改变去说明离心率对椭圆的扁平

程度的影响。老师肯定他们做法的同时，也要指出“长轴长可能改变”，引导学生用

a c 与a

b

的关系去刻画。） （让学生用逼近的思想想象当e 0时，椭圆接近于圆；当e 1时，椭圆接近于一条线段。

其中0看成圆，1看成线段，方便学生的记忆。）

【设计意图】: 通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆122

22=+b y a x 的性质；另一方面

让学生类比已有的知识，得出椭圆122

22=+b

x a y 的知识。

(三)知识应用：

例1．椭圆40025162

2

=+y x 的长轴长__________,短轴长________，离心率_______，焦点坐标__________,顶点坐标_________________

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)

经过点)2,0(),0,3(--Q P (2)长轴长为20，离心率等于

5

3 预案一：例2(1)学生可能设方程为),0,0(12

2

n m n m ny mx ≠>>=+代入求方程； 预案二：例2(1)学生可能由顶点坐标直接判断焦点位置和b a ,的值。

(老师要肯定学生不同解法，并指出预案一方法的一般性以及预案二方法的简洁) 【设计意图】：例1由方程得性质，例2由性质得方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系。

(四)课堂小结：

本节课你有什么收获？结合所学知识和知识探究过程。 1. 知识上：一框两轴七点，e 来刻画圆和扁；

（师：不是所有的椭圆都以x 轴和y 轴为对称轴，但都会有两条对称轴；

不是所有的椭圆都以原点为对称中心，但都会有一个对称中心，即椭圆的中心） 2.方法:

3.课后延伸：（引导学生关注解析几何的发展史）

收集有关笛卡尔与解析几何，费马与解析几何的资料，结合本节课学习，写一篇小论文。

(五)分层作业：

必做：课本P48页练习2，3，4，5

选做：课本P49页习题2.2 A组 9