空间向量专题练习详细答案

空间向量专题练习详细答案

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空间向量专题练习

一、填空题(本大题共4小题，共20.0分) 1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ． 【答案】

π

3

或2π

3 【解析】

解：设平面α的法向量为m ??? =（1，0，-1），平面β的法向量为n ? =（0，-1，1）， 则cos ＜m

??? ，n ? ＞=1×0+0×(?1)+(?1)×1

√2?√2

=-1

2，

∴＜m

??? ，n ? ＞=2π

3． ∵平面α与平面β所成的角与＜m ??? ，n ? ＞相等或互补， ∴α与β所成的角为π

3或2π

3． 故答案为：π

3或2π

3．

利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．

本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．

2.平面α经过三点A （-1，0，1），B （1，1，2），C （2，-1，0），则平面α的法向量u

? 可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】 （0，1，-1） 【解析】

解：AB ????? =（2，1，1），AC

????? =（3，-1，-1）， 设平面α的法向量u ? =（x ，y ，z ），

则{u ? ?AB ????? =2x +y +z =0u ? ?AC

????? =3x ?y ?z =0，令z =-1，y =1，x =0．

∴u ? =（0，1，-1）． 故答案为：（0，1，-1）．

设平面α的法向量u ? =（x ，y ，z ），则{u ? ?AB ????? =2x +y +z =0

u

? ?AC ????? =3x ?y ?z =0，解出即可．

本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．

3.已知AB ????? =（1，0，2），AC

????? =（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为 ______ ． 【答案】 （-2，3，1） 【解析】

解：AB ????? =（1，0，2），AC ????? =（2，1，1），

设平面ABC 的法向量为n ? =（x ，y ，z ）， 则{n ? ?AB ????? =0n ? ?AC

????? =0，即{x +2z =02x +y +z =0，取x =-2，则z =1，y =3．

∴n ? =（-2，3，1）． 故答案为：（-2，3，1）．

设平面ABC 的法向量为n ? =（x ，y ，z ），则{n

? ?AB ????? =0n ? ?AC

????? =0，解出即可． 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．

4.在三角形ABC 中，A （1，-2，-1），B （0，-3，1），C （2，-2，1），若向量n

? 与平面ABC 垂直，且|n

? |=√21，则n ? 的坐标为 ______ ． 【答案】

（2，-4，-1）或（-2，4，1） 【解析】

解：设平面ABC 的法向量为m ??? =（x ，y ，z ），

则m ??? ?AB ????? =0，且m ??? ?AC

????? =0， ∵AB ????? =（-1，-1，2），AC ????? =（1，0，2）， ∴{?x ?y +2z =0

x +2z =0， 即{x =?2z y =4z

， 令z =1，则x =-2，y =4， 即m ??? =（-2，4，1），

若向量n ? 与平面ABC 垂直， ∴向量n ? ∥m ??? ， 设n ? =λm ??? =（-2λ，4λ，λ）， ∵|n

? |=√21， ∴√21?|λ|=√21， 即|λ|=1， 解得λ=±1，

∴n ? 的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）

根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论． 本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．

二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．

（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）点M 在线段PC 上，PM =1

3PC ，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C 的大小．

【答案】 解：（1）证明：由题意知：PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ， ∴AD ⊥平面PQB ， 又∵AD ?平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．

（2）∵PA=PD=AD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ，

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ，

以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴， 建立如图所求的空间直角坐标系， 由题意知：Q （0，0，0），A （1，0，0）， P （0，0，√3），B （0，√3，0），C （-2，√3，0）

∴QM ??????? =23QP ????? +13QC ????? =（-2

3

，√33

，2√33

）， 设n 1???? 是平面MBQ 的一个法向量，则n 1???? ?QM ??????? =0，n 1???? ?QB ?????? =0， ∴{

√3y =0

?23

x+

√3

3y+2√33

z=0，∴n 1???? =(√3，0，1)，

又∵n 2???? =(0，0，1)平面BQC 的一个法向量， ∴cos ＜n 1???? ，n 2???? ＞=1

2，

∴二面角M-BQ-C 的大小是60°． 【解析】

（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ．

（2）以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小．

本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

6.如图，

在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F 在直线PA 上． EF ⊥PA ，求PF

PA 的值；

（1）若

（2）求二面角P-BD-E 的大小．

【答案】 解：（1）∵在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，

∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，

∵PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F 在直线PA 上， ∴P （0，0，2），A （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，1），

设F （a ，0，c ），PF ????? =λPA

????? ，则（a ，0，c -2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ）， ∴a =2λ，c =2-2λ，F （2λ，0，2-2λ），

EF

????? =（2λ，-1，1-2λ），PA ????? =（2，0，-2）， ∵EF ⊥PA ，∴EF ????? ?PA ????? =4λ-2+4λ=0，解得λ=1

4， ∴PF

PA =1

4．

（2）P （0，0，2），B （2，2，0），D （0，0，0），E （0，1，1），

DP ????? =（0，0，2），DB ?????? =（2，2，0），DE

?????? =（0，1，1）， 设平面BDP 的法向量n ? =（x ，y ，z ），

则{n ? ?DB

?????? =2x +2y =0n

? ?DP ????? =2z =0，取x =1，得n ? =（1，-1，0），

设平面BDE 的法向量m ??? =（x ，y ，z ），

则{m ??? ?DB

?????? =2x +2y =0m ??? ?DE ?????? =y +z =0，取x =1，得m ??? =（1，-1，1），

设二面角P-BD-E 的大小为θ，

则cos θ=|m ??? ?n ?? |

|m ??? |?|n ?? |=2

√2?√3

=√

6

3

． ∴二面角P-BD-E 的大小为arccos √6

3

．

【解析】

（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PF

PA 的值．

（2）求出平面BDP 的法向量和设平面BDE 的法向量，由此能求出二面角P-BD-E 的大小．

本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A 1B 1C 1和棱锥D-AA 1C 1C 拼接而成的组合体，其底面四边

形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1=2A 1B 1=2．

（Ⅰ）求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1D ； （Ⅱ）求二面角A 1-BD-C 1的余弦值．

【答案】

（Ⅰ）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ， ∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，

又BD ∩BB 1=B ，∴AC ⊥平面BB 1D ，

∵AC ?平面AB 1C ，∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D ； （Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，

以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则B(0，?1，0)，D(0，1，0)，B 1(0，?1，2)，A(√3，0，0)，A 1(√3

2

，?1

2

，2)，

C 1(?

√32

，?1

2，2)，

∴BA 1???????? =(√32

，12

，2)，BD ?????? =(0，2，0)，BC 1??????? =(?

√32

，12

，2)． 设平面A 1BD 的法向量n ? =(x ，y ，z)，

由{n ? ?BA 1???????? =√32x +12y +2z =0n ? ?BD

?????? =2y =0，取z =√3，得n ? =(?4，0，√3)， 设平面DCF 的法向量m ??? =(x ，y ，z)，

由{m ??? ?BD ?????? =2y =0m ??? ?BC 1

??????? =?√32

x +12

y +2=0，取z =√3，得m ??? =(4，0，√3)． 设二面角A 1-BD-C 1为θ， 则cosθ=

|m ????? ?n ?? ||m||n|

=

1319

．

【解析】

（Ⅰ）由BB 1⊥平面ABCD ，得BB 1⊥AC ，再由ABCD 是菱形，得BD ⊥AC ，由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BB 1D ，进一步得到平面AB 1C ⊥平面BB 1D ；

（Ⅱ）设BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A 1BD 与平面DCF 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A 1-BD-C 1的余弦值．

本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．