多元函数的极限及连续性

{( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }
这个点集称为二元函数的图形. （如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
7.1.2 多元函数的极限
定义 7.2 设二元函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x 0 , y 0 )是其聚点， 如果存在常数A， 对于任意给定 的正数 , 总存在正数 , 使得当0 < |P0P| < 且 P(x, y)D时，都有 | f ( x , y ) A | 则称A为函数 f ( x , y ) 当 ( x , y ) ( x0 , y0 ) 时的 成立， 极限，记为 lim f ( x, y) A
第7章 多元函数微分法 及其应用
主要内容 本章在一元函数微分学的基础上 讨论多元函数（以二元函数为主）的极限、 连续、偏导数、方向导数、全微分、极值 等概念，以及它们的计算方法. 关键词 偏导数(Partial derivatives) ;
全微分(Total differential)
7.1 多元函数的极限及连续性 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 多元复合函数的求导法则 7.5 隐函数的求导公式 7.6 多元函数微分学的几何应用 7.7 方向导数与梯度 7.8 多元函数的极值及其求法
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP K 对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如， y
{( x , y ) | 1 x 2 y 2 4 }
有界闭区域；
o x
{( x , y ) | x y 0}
是其聚点， 如果函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 )不连续， 则称
P0 ( x0 , y0 ) 为函数 f ( x , y ) 的间断点.
函数
f ( x , y ) ( x y ) sin
2 2
1 x2 y2
在点(0, 0)无定义, 故(0, 0)是函数的间断点. 函数 xy , ( x , y ) (0, 0), 2 2 f ( x, y) x y 0, ( x , y ) (0, 0). 在原点处无极限, 故该函数在原点处间断.
lim
( xy )
lim
( x 3 y)
1 2 1 3 2 2 . 7
例6 解
( x , y ) ( 0,0)
求极限
( x , y ) ( 0,0 )
lim
xy . xy 4 2
lim
xy ( xy 4 2) xy lim xy xy 4 2 ( x , y ) ( 0 , 0 )
2
x2 y2 1
其定义域如图所示.
x
二元函数 z f ( x , y )的图形
设函数z f ( x , y ) 的定义域为 D， 对于任意
取定的 P ( x , y ) D，对应的函数值为 z f ( x , y )
这样，以 x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标 在空间就确定一点 M ( x , y , z )，当 ( x , y ) 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y)
存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在 点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的极限不存在.
例8
xy , ( x , y ) ( 0,0 ), 2 2 函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) ( 0,0 )
P P0
lim f ( P ) A
或 f (P)A (P P0)
例5 解
xy lim . 求极限 ( x , y ) (1, 2 ) x 3 y
由极限运算法则,有
xy lim ( x , y ) (1, 2 ) x 3 y
( x , y ) (1, 2 ) ( x , y ) (1, 2 )
7.9 习题课
7.1
多元函数的极限及连续性
7.1.1
多元函数概念
7.1.2 多元函数的极限 7.1.3 多元函数的连续性
7.1.1 多元函数概念
1 区域等相关概念的回顾
(1) 邻域
设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 的点 P ( x , y ) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
2
y0
该结果与k有关, 故所求的二重极限不存在.
7.1.3 多元函数的连续性
定义7.4 设二元函数 f ( P ) f ( x , y ) 的定义域为D， P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点， 0D, 如果 且P
( x , y ) ( x , y )
0 0
lim
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
( x , y ) ( x0 , y0 )
或 也记作
f ( x, y) A
P P0
(( x , y ) ( x 0 , y0 ))
lim f ( P ) A
如果将n维空间Rn中的函数 f (x1, x2, , xn)看作n 维空间中点 P(x1, x2, , xn)的函数f (P), 则可得到n元函 数极限的定义. 定义 7.3 设n元函数 f (P)的定义域为 GRn, P0是 其聚点,如果存在常数A，使得对于任意给定的正数 , 总存在正数 , 使得当0 < |P0P| < 且P(x, y)G时， 都有 | f ( P ) A | 则称A为函数 f (P), 当PP0时的极限，记为 成立，
U ( P0 , ) P | PP0 |
( x , y ) | ( x x 0 ) ( y y0 ) .
2 2




P0
(2) 区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) E ， 则称 P 为 E 的内点 . E 的内点属于 E .
P
设 D 是开集．如果对于 D 内 任何两点，都可用折线 连结起来， 且该折线上的点都属于 D ，则称 开集 D 是连通的．

E

连通的开集称为区域或开区域．
2 2 例如，{( x , y ) | 1 x y 4}.
y
o x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
y
o x
例如， {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}.
因变量. 类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 y 因变量等概念.
例如，函数 z ln( x y )的
定义域为
( x , y ) | x y 0
o
x
它是一个无界开区域.
又如，函数 z arcsin( x 2 y 2 )
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
求 一般地， lim f ( P ) 时， 如果f ( P )是初等函数
P P0
且 P0 是f (P)的定义域内的点，则f (P)在点 P0 处连续，
于是 Plim f ( P ) f ( P0 ). P
2 2
当 0 ( x 0 ) ( y 0 ) 时，
2 2
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
2 2
原结论成立．
确定极限不存在的方法：
(1) 令P(x,y)沿y =kx趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ), 若极限 值与k有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使
0
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，必定
在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必取
得介于最大值和最小值之间的任何值.
练习1
sin( xy ) 求 lim . ( x , y ) ( 0 , 2 ) x
sin( x 2 y ) . 练习2 求极限 lim 2 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y x3 y 练习3 证明 lim 6 2 不存在. ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
定义域为 ( x . y ) | x 2 y 2 1 它是一个有界闭区域.
x y0 y 2 2 x y 1
o
x
例4 求 z ln x
解
y arcsin( x y )
2 2
x y
2
的定义域.
定义域D中的点(x, y)应满足条件 y y x2 x 0,
x 2 y 2 1, 0 y x .
函数的极限为
y kx x0
f ( x, y)
xy 2
lim f ( x , y ) lim
k 2 x3 x k x
2 4 4
x0
0
取点P沿抛物线路径x= ky2趋于原点,则有 ky 4 k lim f ( x , y ) lim 2 4 . 4 2 x ky y0 k y y 1 k

( x , y ) ( 0,0)
lim
( xy 4 2 )
4.
1 0 例7 求证 ( x , ylim( 0 , 0 ) ( x y ) sin 2 2 ) x y
2 2
1 0 证 ( x y ) sin 2 2 x y 1 2 2 x y sin 2 x2 y2 x y2 0, ,
如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集 .
2 2 例如， E1 {( x , y ) 1 x y 4}

P
E
即为开集．
如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
则称函数 f ( P ) 在点 P0 处连续. 如果函数 f (x, y)在D的每一点都连续，那么就称 函数 f (x, y)在D上连续，或者称 f (x, y)是D上的连续 函数. 二元连续函数的图形是一个无孔、无缝的曲面.
定义7.5 设函数
f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x 0 , y0 )
R1 R2 R , R1 R2
( R1 , R2 ) R1 0, R2 0
定义7.1 设D是R2 的一个非空子集，称映射
f: D→R 为定义在D上的二元函数，通常记为
z f ( x , y )， ( x, y) D
或
z f ( P ),
P D,
z 其中点集D称为该函数的定义域，x, y为自变量， 为
当P(x, y) O ( 0,0) 时极限是否存在?
解 当点P沿直线路径y=kx趋近于原点时,
函数的极限为 lim f ( x , y ) lim
y kx x0
kx 2 x k x
2 2 2
x0

k 1 k
2
,
该结果与k的值有关,故所求的极限不存在.
例9 讨论函数
Hale Waihona Puke Baidu
x2 y4 当P(x, y) O ( 0,0) 时极限是否存在? 解 当点P沿直线路径y=kx趋近于原点时,
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
2 多元函数概念
例1 长方形的面积
S xy ,
( x , y ) | x 0, y 0.
例2 一定量的理想气体的压强
例3 电阻并联后的总电阻
练习4 求 lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
xy 1 1 . xy
x3 y3 , ( x , y ) ( 0 ,0 ) 2 2 练习5 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) ( 0 ,0 ) 在(0,0)处的连续性．