河南理工大学材料力学五弯曲应力PPT课件

(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
max M ymax
Iz
引用记号 W Iz ——抗弯截面系数 ymax
河则南公理式工改大写学为土木 工max程学WM院
第五章 弯曲应力 （1）当 中性轴为对称轴时
实心圆截面 W Iz d 4 / 64 d 3
d / 2 d / 2 32
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的
应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。
max
Mymax Iz
令:
Wz
Iz ymax
max
M Wz
式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。
第五章 弯曲应力
材 料力学
第五章 弯曲应力
2021年3月18日
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5–1 §5–2 §5–3 §5–4 §5–5
概述 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 弯曲切应力 提高梁强度的主要措施
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
§5–1 概述
h/2
C
z
C
b
d
bh2 Wz 6
Wz
d3
32
河南理工大学土木工程学院
z
C
z
d
D
Wz
D3
32
(1
d4 D4 )
变形几何关系 物理关系 静力关系
第五章 弯曲应力
实验 观察变形 提出假设
变形的分布规律
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
y
应力的分布规律 建立公式
E y
1 M
EIz
中性轴过横截面形心
σt max Myt max Iz
yt max
M
z
y
σ t max
σc max Myc max Iz
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.3 横力弯曲时的正应力
§5–3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力 使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应 力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。
河南理工大学土木工程学院 EIz称为抗弯刚度
My
Iz
第五章 弯曲应力
纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: My
M为梁横截面上的弯矩
Iz
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩
讨论
(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况
直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号).
d
O 1
O
dx
2y
b
b
m
n
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面
高度呈线性分布。
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
2、物理关系 因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，
由胡克定律有:
E E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的 正应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
b
d
一层即不伸长也不缩短，
称为中性层。
⑵横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
对称轴
中性层 中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵层间纤维无挤压。
空心圆截面 W D3 (1 4 )
32
河南理工大学土木工程学院
α d D
h
d
z y
b
z y
D d
z y
第五章 弯曲应力
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ycmax 和
yt max 直接代入公式 My 求得相应的最大正应力
Iz
yc max
σ cmax
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
3、静力学关系
对横截面上的内力系，有:
z
FN
dA
A
M y
z dA
A
M z
y， dA
A
C
x
dA
y z
y
根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M
即：
FN
dA 0
A
M y
zdA 0
A
M z
ydA M
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算 横力弯曲时横截面上的正应力。
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
由:
M z M
y dA
A
M
E y y dA E
A
A
y2
dA
E
Iz
1 M
EI z
EIz 梁的抗弯刚度
将上式代入 E y
My
Iz
将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正
应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。
在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
§5–2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
⒈ 实验现象
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
⑴纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面，
a
c
bd
同层纤维变形相同。
M
M
下层纤维受拉伸长，
a
c
上层纤维受压缩短；层 间变形连续，中间必有
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
3、变形几何关系 bb 变形前的长度等于中性层
中性层长度不变, 所以
bb O1O2 O1O2 d
纵向线bb变形后的长度为:
m
n
a
a
O1
O2
y
b
b
m
dx
n
bb ( y) d
纵向线bb的应变为
d
m
n
a
a
( y)d d y
A
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
5.2 纯弯曲时的正应力
由:
FN
dA 0
A
AdA
E
A
ydA
0
A ydA Sz 0
z 轴通过形心 即：中性轴通过形心。
由:
M y
zdA 0
A
A zdA
E
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yzdA
0
A yzdA I yz 0
I yz 0
因为y轴是对称轴，上式自然满足。
河南理工大学土木工程学院
一、平面弯曲
P1
5.1 概述 P2
纵向对称面
河南理工大学土木工程学院
第五章 弯曲应力
二、纯弯曲
图示梁 AB 段横截面上 只有弯矩，而无剪力，该段
梁的弯曲称为纯弯曲。
CA与BD 段横截面上即 有弯矩，又有剪力，该两段
梁的弯曲称为横力弯曲。
5.1 概述
F
F
A C
a
B
D
a
F
+
+
F. a
F
+
图 5-1
河南理工大学土木工程学院