误差的合成与分配 (2)

误差理论与数据处理
第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 ya 1x 1 a 2x2 ... a nxn
系统误差公式
y a 1 x 1 a 2 x 2 ... a n x n
当 ai 1
y x 1 x2 ... xn
▪ 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测
量值系统误差之和
h 5 0 5 0 .1 0 .1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
误差传递系数为:
fh4lh 22145 05 00 22124 f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
Dflfh7.4m m l h
故修正后的测量结果:
D D 0 D 1 3 0 0 7 .4 1 2 9 2 .6 m m
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
误差理论与数据处理
三角形式的函第数随一机节误差公函式数误差
三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为:
si n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
▪
x第f i i个直接测得量
对x 间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1,x2, ,xn)
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2 x f1 2
x1 2 x f2 2
2
x2 2 x fn
工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在
的直径测量值
D0
l2 h1300mm 4h
h50mm l5处00mm
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
或
y 2 x f 1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fj ij
x i x j
▪ x第i i个直接测得量 的x i标准差
▪ i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
2 xn
Dij ij 0
2
2
2
或
y x f1 x12 x f2 x22 x fn xn2
令
f xi
ai
则
ya 1 2
x1 2 a 2 2
x2 2 a n 2
2 xn
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ya 12x 2 1a22x 2 2 an2x 2 n
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
f f
f
yx1 x1x2 x2...xn xn
▪ f xi(i1为,2,各,个n)输入量在该测量点
误差传播系数
(x1,x2, ,xn)
处的
▪ x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
▪ x i 和 y 的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
误差理论与数据处理
2、三角函数形式
sinfx1,x2,...,xn cosfx1,x2,...,xn
1
cos
n i1
f xi
xi
1
sin
n i1
xfixi
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一
把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
数学模型
函数的一般形式
yf(x1,x2,...,xn)
变量中只有随机误差
即： y y f( x 1 x 1 ,x 2 x 2 ,,x n x n )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得： y y f( x 1 ,x 2 ,...,x n ) x f1x 1 x f2x 2 x fnx n
得到
y x f1x1 x f2x2 x fnxn
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
函数标准差计算
y 2 x f1 2x 1 2 x f2 2x 2 2 x fn 2x n 2 2 1 i n j x fi x fjD ij
第3章 误差的合成与分配
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
误差理论与数据处理
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合
2） 余弦函数形式为:
co fs x 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： s1 in x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
第一节 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 ▪ y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
d y 误差理论与数据处理
第一节 函数误差