误差分析6章函数误差与误差合成

∂l ∂h = 52 × 0.012 + 242 × 0.0052 = 169 × 10−4 mm
σ D = 0.13mm 有 故修正后的测量结果
D = D0 − ΔD = 1292.6mm
σ D = 0.13mm
6-18
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
2、 相关系数估计
6-19
l2 D= +h 4h
h l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h = 50mm l = 500mm 2 l 处的直径测量值 D0 = + h = 1300mm
4h
6-10
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l ຫໍສະໝຸດ Baidu系统误差
6-8
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn 系统误差公式 当 ai = 1
Δy = a1Δx1 + a2 Δx2 + ... + an Δxn
Δy = Δx1 + Δx2 + ... + Δxn
6-2
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定

6-3
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
6-14
∂f ∂x 第i个直接测得量 xi 对间接量 y在该测量点 ( x1 , x2 ,… , xn ) i
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij = ρij = 0
σ y2 = ⎜
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 2 2 + σ ⎟ x1 ⎜ ⎟ σ x2 + ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
2、三角函数形式
sin ϕ = f ( x1 , x2 ,..., xn ) cos ϕ = f ( x1 , x2 ,..., xn )
1 n ∂f Δϕ = Δxi ∑ cos ϕ i =1 ∂xi
n 1 ∂f Δϕ = Δxi ∑ − sin ϕ i =1 ∂xi
第六章函数误差与误差合成
函数系统误差公式
函数系统误差 Δy 的计算公式
∂f ∂f ∂f Δy = Δx1 + Δx2 + ... + Δxn ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂f ∂xi (i = 1, 2, , n) 为各个输入量在该测量 点 ( x1 , x2 ,… , xn ) 处的误差传播系数 Δxi 和 Δy 的量纲或单位相同，则 ∂f ∂xi 起到误差放大或缩小的作用 Δxi 和 Δy 的量纲或单位不相同，则 ∂f ∂xi 起到误差单位换算的作用
6-21
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
相关系数的确定－直接判断法
可判断ρ
ij
= +1
或ρ
ij
= −1
的情形
断定 xi 与 x j 两分量间近似呈现正的线性关系 或负的线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依 次增大或减小，反之亦然 xi 与 x j 属于同一体系的分量，如用1m基准 尺测2m尺，则各米分量间完全正相关
数学模型
函数的一般形式
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中有随机误差，即
y + δ y = f ( x1 + δ x1 , x2 + δ x2 ,
, xn + δ xn )
∂f + δ xn ∂xn
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
∂f ∂f y + δ y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) + δ x1 + δ x2 + ∂x1 ∂x2
得到
∂f ∂f δ y= δ x1 + δ x2 + ∂x1 ∂x2
∂f + δ xn ∂xn
6-13
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
1、 函数标准差计算
σ y2 = ⎜
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 2 2 + σ ⎟ x1 ⎜ ⎟ σ x2 + ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
2 2
6-16
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sin ϕ = f ( x1 , x2 ,..., xn )
函数随机误差公式为
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 1 2 2 + σϕ = σ σ ⎜ ⎟ x1 ⎜ ⎟ x2 + cos ϕ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
第一节
函数误差
6-4
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
6-5
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
一、函数系统误差计算
分布密度函数
解析方法 难以求得
计算机数值仿真计算
6-24
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
计算机随机模拟法的步骤
①输入各输入量 x1 , x2 , 标准偏差 σ , σ , , σ
1 2 n
, xn 及其算术平均值 x1 , x2 ,
, xn 和
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图 ③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图； ④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及 误差分布区间半宽度。
Δh = 50 − 50.1 = −0.1mm Δl = 500 − 499 = 1mm
误差传播系数为
⎛ l2 ⎞ ⎛ 5002 ⎞ ∂f = − ⎜ 2 − 1⎟ = − ⎜ − 1⎟ = −24 2 ∂h ⎝ 4h ⎠ ⎝ 4 × 50 ⎠ ∂f 500 l = = =5 ∂l 2h 2 × 50
6-22
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
相关系数的统计计算公式
根据( xi , x j ) 的多组测量的对应值( xik , x jk ) ，按如 下统计公式计算相关系数
ρ ( xi , x j ) =
∑ (x
k k
ik
− xi )( x jk − x j )
k
2 2 x x x x ( − ) ( − ) ∑ ik i ∑ jk j
+ an 2σ xn 2
6-15
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
δ y = a δ + a2 δ +
2 2 1 x1 2 2 x2
+ an δ
2
2 xn
δ xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
2 2
⎛ ∂f ⎞ 2 +⎜ ⎟ σ xn ⎝ ∂xn ⎠
2
6-17
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
【例6-2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量 得弓高 h = 50mm，弦长 l = 500mm ，工厂检验部门又用高准确度 等级的卡尺量得弓高 h = 50.1mm ，弦长l = 499mm 。已知车间工 人测量该工件弓高的标准差 σ h = 0.005mm ，弦长的标准 σ l = 0.01mm 差 ，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测 量结果。 【解】 σ D 2 = ( ∂f )2 σ l 2 + ( ∂f )2 σ h 2
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
第6章 函数误差与误差合成
6-1
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
2 2
2
2
⎛ ∂f ⎞ 2 +⎜ ⎟ σ xn ⎝ ∂xn ⎠
⎛ ∂f ⎞ 2 +⎜ ⎟ σ xn ⎝ ∂xn ⎠
2
2
或 令
σy = ⎜
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 2 2 σ + ⎟ x1 ⎜ ⎟ σ x2 + ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
∂f = ai ∂xi
σ y = a12σ x12 + a2 2σ x 2 2 +
直径的系统误差
∂f ∂f ΔD = Δl + Δh = 7.4mm ∂l ∂h
故修正后的测量结果
D = D0 − ΔD = 1300 − 7.4 = 1292.6mm
6-11
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
二、函数随机误差计算
6-12
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
数总误差的影响 当相关系数 ρij = 0
σ y = a12σ x12 + a2 2σ x 2 2 + + an 2σ xn 2 当相关系数 ρij = +1 σ y = a1σ x1 + a2σ x 2 + + anσ xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性 的传播关系
6-20
误差分析与测量不确定度评定
x j分别为 xik 、 x jk 的算术平均值 xi 、
6-23
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
3、 函数误差分布的模拟计算
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
p( y)
p1 ( x) p2 ( x)
pn ( x )
6-25
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
计算机模拟测量系统
x y0 y=F(x) (y) y
6-9
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
【例6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 得弓高 h = 50mm ，弦长 l = 500mm ， 工厂检验部门又用高准确度等级的 卡尺量得弓高 h = 50.1mm ，弦长 l = 499mm 试问车间工人测量该工件直径的系 统误差，并求修正后的测量结果。
2
或
σy
2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 2 2 =⎜ + σ ⎟ x1 ⎜ ⎟ σ x2 + ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
σ xi 第i个直接测得量 xi 的标准差 ρij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 Dij = ρijσ xiσ xj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 处的误差传播系数
第六章函数误差与误差合成
相关系数的确定－直接判断法
可判断ρij = 0 的情形
断定 xi 与 x j 两分量之间没有相互依赖关系的 影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然 xi 与 x j 属于完全不相干的两类体系分量， 如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起 的误差分量 xi 与 x j 虽相互有影响，但其影响甚微，视为 可忽略不计的弱相关
2
2
n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 +⎜ Dij ⎟ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎜ ⎟ 1≤i < j ⎝ ∂xi ∂x j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠
n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 +⎜ ρijσ xiσ xj ⎟ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎜ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ∂xi ∂x j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ 2
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
σy
2 n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 2 2 =⎜ ρijσ xiσ xj ⎟ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎟ σ x1 + ⎜ ⎟ σ x2 + + ⎜ ⎜ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ∂xi ∂x j ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函 2 2 2
6-6
误差分析与测量不确定度评定
第六章函数误差与误差合成
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,… , xn 与被测量有函数关系的各个直接测 量值及其其他非测量值，又称输入量 间接测量值，又称输出量
6-7
误差分析与测量不确定度评定