第7章_内压薄壁容器的应力分析
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注：S为容器壁厚，DO、Di分别容器的外直径与内直径
一、薄壁容器及其应力特点
2.薄壁容器的应力特点
薄膜应力：容器的圆筒中段①处， 可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方 向曲率半径变大所引起的弯曲应力。 用无力矩理论来计算。 弯曲应力：在凸形封头、平底盖与 筒体联接处②和③，则因封头与平 底的变形小于筒体部分的变形，边 缘连接处由于变形谐调形成一种机 械约束，从而导致在边缘附近产生 附加的弯曲应力。必须用复杂的有 力矩理论及变形谐调条件才能计算。
D 2sin
4
→
D 2R2sin
区域平衡方程式
m
pR 2 2S
三、环向应力计算－微体平衡方程
1.微元体的取法
三对曲面截取微元体： 一是壳体的内外表面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
三、环向应力计算－微体平衡方程
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
2.静力分析 作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为： pz
4
D2 p
截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： N z m DS sin 平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即： 2 D p - mDSsin 0 由几何关系知 R 2
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
第一曲率半径与母线有关；
第二曲率半径与回转轴位置
有关；
母线
A
回转轴
问题1.第一曲率半径与第二曲 率半径哪个大？ 问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？
R2
R1 O1 O
典型回转壳体的第一、 第二曲率半径举例
第一曲率半径
第二曲率半径
一、基本概念与基本假设
2
12
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
3. 应力计算公式
经向应力
p m a 4-x 2 a 2-b 2 2Sb
p a 4-x2 a 2-b2 2Sb
环向应力
a4 2 - a 4-x2 a 2-b2
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
N m n 2 mSdl2 sin d1 2
环向应力的合力在法线方向的分量Nθ n为：
N n 2 Sdl1 sin
d 2 2
三、环向应力计算－微体平衡方程
3.微元体的静力平衡方程
由法线n方向力的平衡条件 Fn 0 ，即：Pn-Nmn-Nθ n=0 d1 d 2 pdl1 dl 2-2σ mSdl 2 sin ( ) - 2σ Sdl1 sin ( )0 2 2 【注意简化】：因dθ 1及dθ 2都很小，所以有：
2.基本假设
除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性性 和各向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ⑴ 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 ⑵ 直法线假设 壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保 持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向 线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同，变形 前后壳体壁厚不变。 ⑶ 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的 微小量，其结果就变为平面问题。
第七章 内压薄壁容器的应力分析
第一节
内压薄壁圆筒的应力分析
第二节
第三节
回转壳体的应力分析－薄膜应力理论
薄膜理论的应用
第四节
内压圆筒边缘应力的概念
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第一节 内压薄壁圆筒的应力分析 一、薄壁容器及其应力特点 二、内压圆筒的应力计算公式
一、薄壁容器及其应力特点
1.薄壁容器与厚壁容器
如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。
区域平衡方程式 微体平衡方程
m
pR 2 2S σ m σθ p R1 R 2 S
圆筒形壳体有：R1＝ ，R2＝D/2
圆筒形壳体薄膜应力公式
pD m 4S
pD 2S
二、受气体内压的球形壳体
p t R
球壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的 应力均相等；二是经向应力与环向应力相等。 R1＝R2=D/2 球壳薄膜应力公式
2. 第二曲率半径R2
2
x R 2 x2 l 2 x2 tgθ
为圆锥面的半顶角，它
在数值上等于椭圆在同一 点的切线与x轴的夹角。
dy t gθ y' dx 椭圆上某点的第二曲率半径为：
x R2 x y'
2
1 4 2 2 2 b a -x a -b
二、内压圆筒的应力计算公式
1.轴向应力σ m的计算公式
介质压力在轴向的合力Pz为：
pz
4
Di2 p
4
D2 p
圆筒形截面上内力为应力的合 力Nz：
N z DS m
由平衡条件
4
2
F
z
0 得：Pz－Nz＝0
D p DS m
→
pD m 4S
【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体
pD m 4S
相同的内压P作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的 圆筒壳小一半。
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
1. 第一曲率半径R1
x2 y2 2 1 2 a b
一般曲线y =f(x)上任意一点的曲率半径：
2.微元体的受力分析
微单元体的上下面：经向应力σ m ； 内表面：内压p作用； 外表面不受力； 两个与纵截面相应的面：环向应力σ θ 。
三、环向应力计算－微体平衡方程
3.微元体的静力平衡方程
微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力 都取沿微元体法线方向的分量。 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn pdl 1 dl2 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 ⑷ 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 ⑸ 经线：过回转轴作一纵截面 与壳体曲面相交所得的交线。 经线与母线的形状完全相同。 ⑹ 法线：过经线上任意一点M 垂直于中间面的直线，称为中 间面在该点的法线。法线的延 长线必与回转轴相交。
4.椭圆形封头上的应力分布
椭圆壳体的中心位置x=0处： 椭圆壳体的赤道位置x=a处：
pa a m ( ) 2S b
pa pa a2 m (2 2 ) 2S 2S b
⑴ 椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σ m=σ θ ； ⑵ 经向应力σ m恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。 ⑶ 环向应力σ θ ，在x=0处，σ θ >0；在x=a处有三种情况： a 2 a > 0； 如果 2 - 0 ，即 2 ， b b
第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑴回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平 面内的固定轴线旋转3600而成的壳体。 ⑵轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是 对称于回转轴的。
d d 1 dl1 sin ( 1 ) 1 2 2 2 R1
sin ( d2 d 1 dl2 ) 2 2 2 2 R2
代入平衡方程式，并对各项都除以Sdl1dl2整理得：
微体平衡方程
σ m σθ p R1 R 2 S
三、环向应力计算－微体平衡方程
4.薄膜理论
上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布，这 种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。 这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理 论或无力矩理论。
0 0
Ny 2Sl
由
F
y
0 得：Py－Ny＝0
→
Dlp 2Sl
→
pD 2S
薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。
二、内压圆筒的应力计算公式
3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
⑴在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增 加少一些。 ⑵筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D 成正比。
四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足：
①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是 连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能(主要是E和µ)应当是相 同的。 ②载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此， 壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘力和边缘力矩时， 都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些地方就不能应用。 ③壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的变形将 受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无 力矩状态。 ④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力 和弯矩。
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
1.取分离体 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面， 而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应 力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线 上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第 二曲率半径R2，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现 取其下部分作分离体。
内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
二、内压圆筒的应力计算公式
2.环向应力σ θ 的计算公式
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半 部，再从下半个圆筒上截取长度为L的筒体作为分离体。
p y Rilpdsin Rilp sind 2Rilp Dilp Dlp
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性， 同时需保证壳体应具有自由边缘，
第三节 薄膜理论的应用
一、受气体内压的圆筒形壳体 二、受气体内压的球形壳体 三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头） 四、受气体内压的锥形壳体 五、受气体内压的碟形封头 六、承受液体内压作用的圆筒壳
一、受气体内压的圆筒形壳体
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑺纬线：如果作圆锥面与壳体中 间面正交，得到的交线叫做“纬 线”；过N点作垂直于回转铀的平 面与中间面相割形成的圆称为 “平行圆”，平行圆即是纬线。 ⑻第一曲率半径：中间面上任一 点M处经线的曲率半径，Rl=MK1。 ※※⑼ 第二曲率半径：过经线上 一点M的法线作垂直于经线的平面 与中间面相割形成的曲线ME，此 曲线在M点处的曲率半径称为该点 的第二曲率半径R2。第二曲率半径 的中心K2落在回转轴上，R2=MK2。
一、薄壁容器及其应力特点
环向（周向）应力：当其承受内压力P作用以后，其直径要 稍微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的 纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以σ θ 表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后， 筒体的“纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有 应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以σ m（σ ф ）表 示。
1 y R
1
32 ' 2
y ''
由椭圆曲线方程
y' b x 2 a y a
2
a -x
2 2
bx
b4 ab y - 2 3 a y a a 2-x2
''
3
椭圆上某点的第一曲率半径为：
1 4 2 2 2 R 1 4 a -x a -b ab
32
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
一、薄壁容器及其应力特点
2.薄壁容器的应力特点
薄膜应力：容器的圆筒中段①处， 可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方 向曲率半径变大所引起的弯曲应力。 用无力矩理论来计算。 弯曲应力：在凸形封头、平底盖与 筒体联接处②和③，则因封头与平 底的变形小于筒体部分的变形，边 缘连接处由于变形谐调形成一种机 械约束，从而导致在边缘附近产生 附加的弯曲应力。必须用复杂的有 力矩理论及变形谐调条件才能计算。
D 2sin
4
→
D 2R2sin
区域平衡方程式
m
pR 2 2S
三、环向应力计算－微体平衡方程
1.微元体的取法
三对曲面截取微元体： 一是壳体的内外表面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
三、环向应力计算－微体平衡方程
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
2.静力分析 作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为： pz
4
D2 p
截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： N z m DS sin 平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即： 2 D p - mDSsin 0 由几何关系知 R 2
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
第一曲率半径与母线有关；
第二曲率半径与回转轴位置
有关；
母线
A
回转轴
问题1.第一曲率半径与第二曲 率半径哪个大？ 问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？
R2
R1 O1 O
典型回转壳体的第一、 第二曲率半径举例
第一曲率半径
第二曲率半径
一、基本概念与基本假设
2
12
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
3. 应力计算公式
经向应力
p m a 4-x 2 a 2-b 2 2Sb
p a 4-x2 a 2-b2 2Sb
环向应力
a4 2 - a 4-x2 a 2-b2
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
N m n 2 mSdl2 sin d1 2
环向应力的合力在法线方向的分量Nθ n为：
N n 2 Sdl1 sin
d 2 2
三、环向应力计算－微体平衡方程
3.微元体的静力平衡方程
由法线n方向力的平衡条件 Fn 0 ，即：Pn-Nmn-Nθ n=0 d1 d 2 pdl1 dl 2-2σ mSdl 2 sin ( ) - 2σ Sdl1 sin ( )0 2 2 【注意简化】：因dθ 1及dθ 2都很小，所以有：
2.基本假设
除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性性 和各向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ⑴ 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 ⑵ 直法线假设 壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保 持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向 线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同，变形 前后壳体壁厚不变。 ⑶ 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的 微小量，其结果就变为平面问题。
第七章 内压薄壁容器的应力分析
第一节
内压薄壁圆筒的应力分析
第二节
第三节
回转壳体的应力分析－薄膜应力理论
薄膜理论的应用
第四节
内压圆筒边缘应力的概念
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第一节 内压薄壁圆筒的应力分析 一、薄壁容器及其应力特点 二、内压圆筒的应力计算公式
一、薄壁容器及其应力特点
1.薄壁容器与厚壁容器
如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。
区域平衡方程式 微体平衡方程
m
pR 2 2S σ m σθ p R1 R 2 S
圆筒形壳体有：R1＝ ，R2＝D/2
圆筒形壳体薄膜应力公式
pD m 4S
pD 2S
二、受气体内压的球形壳体
p t R
球壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的 应力均相等；二是经向应力与环向应力相等。 R1＝R2=D/2 球壳薄膜应力公式
2. 第二曲率半径R2
2
x R 2 x2 l 2 x2 tgθ
为圆锥面的半顶角，它
在数值上等于椭圆在同一 点的切线与x轴的夹角。
dy t gθ y' dx 椭圆上某点的第二曲率半径为：
x R2 x y'
2
1 4 2 2 2 b a -x a -b
二、内压圆筒的应力计算公式
1.轴向应力σ m的计算公式
介质压力在轴向的合力Pz为：
pz
4
Di2 p
4
D2 p
圆筒形截面上内力为应力的合 力Nz：
N z DS m
由平衡条件
4
2
F
z
0 得：Pz－Nz＝0
D p DS m
→
pD m 4S
【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体
pD m 4S
相同的内压P作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的 圆筒壳小一半。
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
1. 第一曲率半径R1
x2 y2 2 1 2 a b
一般曲线y =f(x)上任意一点的曲率半径：
2.微元体的受力分析
微单元体的上下面：经向应力σ m ； 内表面：内压p作用； 外表面不受力； 两个与纵截面相应的面：环向应力σ θ 。
三、环向应力计算－微体平衡方程
3.微元体的静力平衡方程
微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力 都取沿微元体法线方向的分量。 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn pdl 1 dl2 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 ⑷ 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 ⑸ 经线：过回转轴作一纵截面 与壳体曲面相交所得的交线。 经线与母线的形状完全相同。 ⑹ 法线：过经线上任意一点M 垂直于中间面的直线，称为中 间面在该点的法线。法线的延 长线必与回转轴相交。
4.椭圆形封头上的应力分布
椭圆壳体的中心位置x=0处： 椭圆壳体的赤道位置x=a处：
pa a m ( ) 2S b
pa pa a2 m (2 2 ) 2S 2S b
⑴ 椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σ m=σ θ ； ⑵ 经向应力σ m恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。 ⑶ 环向应力σ θ ，在x=0处，σ θ >0；在x=a处有三种情况： a 2 a > 0； 如果 2 - 0 ，即 2 ， b b
第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑴回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平 面内的固定轴线旋转3600而成的壳体。 ⑵轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是 对称于回转轴的。
d d 1 dl1 sin ( 1 ) 1 2 2 2 R1
sin ( d2 d 1 dl2 ) 2 2 2 2 R2
代入平衡方程式，并对各项都除以Sdl1dl2整理得：
微体平衡方程
σ m σθ p R1 R 2 S
三、环向应力计算－微体平衡方程
4.薄膜理论
上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布，这 种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。 这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理 论或无力矩理论。
0 0
Ny 2Sl
由
F
y
0 得：Py－Ny＝0
→
Dlp 2Sl
→
pD 2S
薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。
二、内压圆筒的应力计算公式
3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
⑴在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增 加少一些。 ⑵筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D 成正比。
四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足：
①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是 连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能(主要是E和µ)应当是相 同的。 ②载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此， 壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘力和边缘力矩时， 都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些地方就不能应用。 ③壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的变形将 受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无 力矩状态。 ④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力 和弯矩。
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
1.取分离体 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面， 而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应 力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线 上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第 二曲率半径R2，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现 取其下部分作分离体。
内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
二、内压圆筒的应力计算公式
2.环向应力σ θ 的计算公式
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半 部，再从下半个圆筒上截取长度为L的筒体作为分离体。
p y Rilpdsin Rilp sind 2Rilp Dilp Dlp
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性， 同时需保证壳体应具有自由边缘，
第三节 薄膜理论的应用
一、受气体内压的圆筒形壳体 二、受气体内压的球形壳体 三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头） 四、受气体内压的锥形壳体 五、受气体内压的碟形封头 六、承受液体内压作用的圆筒壳
一、受气体内压的圆筒形壳体
一、基本概念与基本假设
1.基本概念
⑺纬线：如果作圆锥面与壳体中 间面正交，得到的交线叫做“纬 线”；过N点作垂直于回转铀的平 面与中间面相割形成的圆称为 “平行圆”，平行圆即是纬线。 ⑻第一曲率半径：中间面上任一 点M处经线的曲率半径，Rl=MK1。 ※※⑼ 第二曲率半径：过经线上 一点M的法线作垂直于经线的平面 与中间面相割形成的曲线ME，此 曲线在M点处的曲率半径称为该点 的第二曲率半径R2。第二曲率半径 的中心K2落在回转轴上，R2=MK2。
一、薄壁容器及其应力特点
环向（周向）应力：当其承受内压力P作用以后，其直径要 稍微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的 纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以σ θ 表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后， 筒体的“纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有 应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以σ m（σ ф ）表 示。
1 y R
1
32 ' 2
y ''
由椭圆曲线方程
y' b x 2 a y a
2
a -x
2 2
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''
3
椭圆上某点的第一曲率半径为：
1 4 2 2 2 R 1 4 a -x a -b ab
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三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）