单相正弦交流电路

➢在相量图中，习惯上用表示相量的符号来表示对应的矢量。 ➢正弦量与复数和矢量之间存在着一一对应的关系。正弦量既可以用复 数表示，也可以用矢量表示。但正弦量既不是复数，也不是矢量。
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一、正弦量的旋转矢量表示法
正弦量可以用旋转矢量来表示
➢旋转矢量的长度代表正弦量的幅值 ➢旋转矢量的初始位置与横轴正方向的夹角代表正弦量的初相位 ➢旋转矢量的角速度代表正弦量的角频率 ➢旋转矢量任一瞬时在纵轴上的投影表示正弦量在该时刻的瞬时值
相位差：两个同频率的正弦量的相位角之差。 取值范围︱︱≤ π
u i 0 u i 0
u在相位上超前i角度 i在相位上滞后u角度
，或， 。
u或在，相i在位相上位滞上后超i角前度u角度， 。
超前 滞后
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u i 0
电压u与电流i同 相位，简称同相
u i
电压u与电流i反相
一般情况下，只有同频率的正弦量的相量才能画在同
一相量图上，不同频率的正弦量的相量不能画在同一 相量图上，否则无法比较和计算。
作相量图时，往往把坐标轴省略不画。
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用相量图求解
•
•
•
•
先作出i1和i2的相量图 I1 和 I 2 ，以 I1 和 I 2
为两邻边作一平行四边形OABC，对角
•
线OB就是总电流i的相量 I（为了叙述方
（Hz）。
角频率：正弦量在单位时间内变化的角度，即每秒变化的弧度数。用ω表示，
单位为弧度/秒（rad/s）。
➢三者之间的关系：
f 1 T
2 2f
T
➢周期、频率和角频率都是表示正弦量变化快慢的量，周期愈大，正弦量 变化愈慢；角频率愈大，频率愈高，正弦量变化愈快。
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二、正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
反映正弦量变化的进程。
初相位或初相：t = 0时正弦量的相位角。
初相反映正弦量在计时起点的状态。 初相与参考方向和计时起点的选择有关。
正弦量的三要素：幅值、角频率（或频率）和初相位。
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两个同频率正弦量的相位差
u = Umsin(ωt+ψu)
i = Imsin(ωt+ψi)
u和i的相位之差
(t u ) (t i ) u i
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2.2 正弦量的相量表示法
复数的极坐标形式
•
•
I m Im i
I I i
➢正弦量相量：表示正弦量的复数。
正弦量的幅值（最大值）相量：以正弦量的幅值（最大值） 为模，辐角等于正弦量的初相位的复数。
正弦量的有效值相量：以正弦量的有效值为模，辐角等于正 弦量的初相位的复数。
相量图：用复平面上的矢量表示相量的图形。
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相量形式
•
U
U0
•
I
I0
•
U
U0
RI0
•
RI
电阻元件的电压相量等于电阻乘以电流相量。
相量电路模型：将电路中的所有正弦电压和电流都用对应的相量替 代，将所有电路元件的参数都有复数表示所得的电路模型。
电阻元件的相量模型
电阻元件的电压和电流的相量图
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二、电阻元件的功率
1．瞬时功率
瞬时功率：电路在某一瞬时吸收或发出的功率，p。
正弦量的电路。
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在一定的参考方向下，正弦电压可表示为 u Um sin(t 0 )
正弦电流的波形图 正弦量的主要特征：大小、变化的快慢及变化的进程
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一、正弦交流电的周期、频率和角频率
周期：正弦量完成一个循环的变化所需要的时间。用T表示，单位为秒（s）。 频率：正弦量在单位时间内变化所完成的循环数。用f表示，单位为赫兹
交流电压、交流电流、交流电动势：在一个周期内平
均值等于零的周期电压、周期电流、周期电动势。
正弦量：按正弦规律变化的物理量的统称。 正弦电流、正弦电压、正弦电动势：随时间按正弦规
律变化的电流、电压、电动势。
正弦交流电：正弦电流、电压、电动势的统称。 交流电路：通过交流电流的电路。 正弦交流电路：电路中所有电压、电流、电动势都是
•
•
便，常将表示相量 I 的矢量，即将 I 的
•
•
相量图，也用I 表示，且简称为相量 I ），
OB的长度代表电流i的有效值，OB与横轴
正方向的夹角即为总电流i的初相位，
如图（b）所示。
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2.3 正弦交流电路中的电阻元件
一、电阻元件上电压与电流的关系
电阻元件的电路图
u、i取关联参考方向，设 i = Im sinωt
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相量表达式
矢量 → 复数
•
Im
Im
e j i
复数 → 正弦
量i
•
•
I m I me ji 2Ie ji 2 I
其中Biblioteka Baidu
•
I Ie ji
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几点说明
只有正弦量（包含余弦量）才能用相量表示，非正弦
周期量不能直接用相量表示。
只有同频率的正弦量的相量之间才能进行相量运算，
不同频率的正弦量的相量之间不能进行相量运算。
T i 2 Rdt I 2 RT 0
由此可得到周期电流的有效值
I 1 T i2dt
T0
设i = Imsin(ωt+φi)时
I
1 T
T 0
Im2
sin2 (t
i )dt
1 2T
T 0
Im2[1 cos 2(t
i )]dt
Im 2
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三、正弦交流电的相位、初相与相位差
相位角或相位：正弦量的数学表达式中的角度（ωt+φ0）
瞬时值：随时间变化的电压或电流在某一时刻的数值。 最大值：正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值，又称最大值。大写字
母加下标m来表示，如Im 、Um、Em。
有效值：如果一个周期性电流i通过某一电阻R，在一个周期内产生的热
量与另一个直流电流I通过电阻R在相等的时间内产生的热量相等，则将 此直流电流的数值I称为该周期性电流的有效值。大写字母表示，如I、 U、E。
第2章 单相正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 正弦电路中的电阻元件 2.4 正弦电路中的电感元件 2.5 正弦电路中的电容元件 2.6 电阻、电感与电容串联的交流电路 2.7 阻抗的串联与并联 2.8 功率因数的提高 2.9 电路的谐振
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2.1 正弦交流电的基本概念
∴ u = Ri = RIm sinωt = Um sinωt
Um RIm
或
Um R Im
u和i的有效值之间的关系为
U U m I m R RI 或 U R
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I
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结论： 当电阻元件中通以正弦交流电流时，其端电压为一同频率的正弦量； 当电压和电流取关联参考方向时，电压与电流的相位相同； 电阻元件的电压和电流的瞬时值之比、幅值之比及有效值之比都等于电阻R。