第二章流体动力学理论基础--续
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3-4
控制体
控制体：
被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固 定不变的任何体积称之为控制体。 ➢ 控制体的边界面，称之为控制面。 ➢ 控制面总是封闭表面。 ➢ 占据控制体的诸流体质点随着时间而改变 。
3-5
控制体
控制体边界（控制面）的特点：
➢ 控制面相对于座标系是固定的。 ➢ 在控制面上可以有质量交换。 ➢ 在控制面上，受到控制体以外物体加在控
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
3-9
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
制体之内物体上的力。 ➢ 在控制面上可以有能量交换。
3-6
一维恒定总流的连续性方程
质量守恒： 单位时间内流入控制体的流体质量等于流 出控制体的流体质量。
1U1dA1 2U2dA2 dQ dQm const
A1 1U1dA1 A2 2U2dA2 Q Qm const
1V1A1 2V2 A2 Q Qm const
dx
u y
dy
在u的表达式中加入
1 v dy 1 v dy 2 x 2 x
得
u
u0
u x
dx
1 2
u y
＋v x
dy
1 2
v x
u y
dy
3-26
亥姆霍兹速度分解定理
v
v0
v x
dx
v y
dy
在v的表达式中加入
1 u dx 1 u dx 2 y 2 y
得
v
v0
v y
dy
1 2
v x
u y
dx
1 2
3-21
流动质点间的相对运动
一般情况下，任一流体微元的运动可以 分解为三个运动：随同任意极点的平移，对 于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动以及变 形运动。
3-22
亥姆霍兹速度分解定理
y
O
z
3-23
M (x dx, y dy) dr M0(x, y)
x
亥姆霍兹速度分解定理
M0点的运动速度
u0 u0(x, y,t) v0 v0(x, y,t)
v x
u y
dx
3-27
亥姆霍兹速度分解定理
M点速度与M0点速度和速度空间变化率
u
u0
u x
dx
1 2
u y
v x
dy
1 2
v x
u y
dy
v
v0
v y
dy
1 2
v x
u y
dx
1 2
v x
u y
dx
平移、线变形、角变形、转动
3-28
流体微团的线变形运动
Bu
C
u u dx x
B
dy
dy
u
O
3-11
三维流动的连续性方程
质量守恒
u dxdydz v dxdydz w dxdydz dxdydz
x
y
z
t
u v w 0
t x y z
• u 0
t
3-12
三维流动的连续性方程
恒定流
• u 0
t
0
t
• u u v w 0
x y z
3-13
三维流动的连续性方程
恒定总流的连续性方程
• u 0
V • udV A u• ndA 0
一维恒定总流的连续性方程
VA Q Qm const
3-14
三维流动的连续性方程
不可压缩流体 D • u 0
Dt
D 0
Dt • u u v w 来自百度文库0
x y z
3-15
流体微团的运动
流体质点间的相对运动 流体微团的线变形运动 流体微团的角变形运动 流体微团的旋转运动 流体微团运动的合成
流体动力学理论基础
流体运动学
本章内容
流体运动的描述方法 流场的基本概念 流体运动的质量守恒方程 流体微团的运动
3-2
流体运动的质量守恒方程
连续性、系统和控制体 一维恒定总流的连续性方程 三维流动的连续性方程
3-3
连续性
在流体力学的研究中，把流体看作是连续介 质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续 充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体 的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来就 是连续性方程，它是物质不灭定律在流体力学中 的具体体现，实质上是质量守恒方程。
3-17
流体微团
流体微团：
流体微团是指体积微小，随流体一起运动的 一团流体物质。 ➢ 包含无数个流体质点。 ➢ 各流体质点间存在相对位置变化。 ➢ 能够体现膨胀、变形、转动等尺度变化。
3-18
流动质点间的相对运动
刚体的运动特点
平移、转动
3-19
流动质点间的相对运动
流体质点的运动特点
3-20
流动质点间的相对运动
3-30
流体微团的线变形运动
线变形速率： 单位时间内流体线的相对伸长。
xx
u dxdt x
dxdt
u x
同理
yy
v y
zz
w z
3-31
流体微团的线变形运动
体积变形速率： 单位时间内流体微团体积的相对变化。 dt时间内流体微团的体积变化量
M点的运动速度
u u(x dx, y dy,t) v v(x dx, y dy,t)
3-24
亥姆霍兹速度分解定理
对M点的运动速度采用泰勒级数展开
u
u(
x
dx,
y
dy,
t)
u0
u x
dx
u y
dy
v
v(
x
dx,
y
dy,
t)
v0
v x
dx
v y
dy
3-25
亥姆霍兹速度分解定理
u
u0
u x
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt div( u)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
t
3-10
三维流动的连续性方程
质量守恒定律： 在没有质量源的条件下，单位时间内控制 体内流体总质量的变化量应当等于单位时 间内流入控制体内的流体质量。
u u dx A x O
udt
dx
dx
(u u dx)dt
x
3-29
C
A u dxdt x
流体微团的线变形运动
x方向上流体微团的线变形量为
u
u x
dx
dt
dx
udt
dx
u x
dxdt
同理y方向上流体微团的线变形量为
v
v y
dy
dt
dy
udt
dy
v y
dydt
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3-7
一维恒定总流的连续性方程
不可压缩流体： D u v w 0
Dt t x y z
1V1A1 2V2 A2 Q Qm const
V1A1 V2 A2 Q const
3-8
三维流动的连续性方程
连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
控制体
控制体：
被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固 定不变的任何体积称之为控制体。 ➢ 控制体的边界面，称之为控制面。 ➢ 控制面总是封闭表面。 ➢ 占据控制体的诸流体质点随着时间而改变 。
3-5
控制体
控制体边界（控制面）的特点：
➢ 控制面相对于座标系是固定的。 ➢ 在控制面上可以有质量交换。 ➢ 在控制面上，受到控制体以外物体加在控
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
3-9
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
制体之内物体上的力。 ➢ 在控制面上可以有能量交换。
3-6
一维恒定总流的连续性方程
质量守恒： 单位时间内流入控制体的流体质量等于流 出控制体的流体质量。
1U1dA1 2U2dA2 dQ dQm const
A1 1U1dA1 A2 2U2dA2 Q Qm const
1V1A1 2V2 A2 Q Qm const
dx
u y
dy
在u的表达式中加入
1 v dy 1 v dy 2 x 2 x
得
u
u0
u x
dx
1 2
u y
＋v x
dy
1 2
v x
u y
dy
3-26
亥姆霍兹速度分解定理
v
v0
v x
dx
v y
dy
在v的表达式中加入
1 u dx 1 u dx 2 y 2 y
得
v
v0
v y
dy
1 2
v x
u y
dx
1 2
3-21
流动质点间的相对运动
一般情况下，任一流体微元的运动可以 分解为三个运动：随同任意极点的平移，对 于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动以及变 形运动。
3-22
亥姆霍兹速度分解定理
y
O
z
3-23
M (x dx, y dy) dr M0(x, y)
x
亥姆霍兹速度分解定理
M0点的运动速度
u0 u0(x, y,t) v0 v0(x, y,t)
v x
u y
dx
3-27
亥姆霍兹速度分解定理
M点速度与M0点速度和速度空间变化率
u
u0
u x
dx
1 2
u y
v x
dy
1 2
v x
u y
dy
v
v0
v y
dy
1 2
v x
u y
dx
1 2
v x
u y
dx
平移、线变形、角变形、转动
3-28
流体微团的线变形运动
Bu
C
u u dx x
B
dy
dy
u
O
3-11
三维流动的连续性方程
质量守恒
u dxdydz v dxdydz w dxdydz dxdydz
x
y
z
t
u v w 0
t x y z
• u 0
t
3-12
三维流动的连续性方程
恒定流
• u 0
t
0
t
• u u v w 0
x y z
3-13
三维流动的连续性方程
恒定总流的连续性方程
• u 0
V • udV A u• ndA 0
一维恒定总流的连续性方程
VA Q Qm const
3-14
三维流动的连续性方程
不可压缩流体 D • u 0
Dt
D 0
Dt • u u v w 来自百度文库0
x y z
3-15
流体微团的运动
流体质点间的相对运动 流体微团的线变形运动 流体微团的角变形运动 流体微团的旋转运动 流体微团运动的合成
流体动力学理论基础
流体运动学
本章内容
流体运动的描述方法 流场的基本概念 流体运动的质量守恒方程 流体微团的运动
3-2
流体运动的质量守恒方程
连续性、系统和控制体 一维恒定总流的连续性方程 三维流动的连续性方程
3-3
连续性
在流体力学的研究中，把流体看作是连续介 质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续 充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体 的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来就 是连续性方程，它是物质不灭定律在流体力学中 的具体体现，实质上是质量守恒方程。
3-17
流体微团
流体微团：
流体微团是指体积微小，随流体一起运动的 一团流体物质。 ➢ 包含无数个流体质点。 ➢ 各流体质点间存在相对位置变化。 ➢ 能够体现膨胀、变形、转动等尺度变化。
3-18
流动质点间的相对运动
刚体的运动特点
平移、转动
3-19
流动质点间的相对运动
流体质点的运动特点
3-20
流动质点间的相对运动
3-30
流体微团的线变形运动
线变形速率： 单位时间内流体线的相对伸长。
xx
u dxdt x
dxdt
u x
同理
yy
v y
zz
w z
3-31
流体微团的线变形运动
体积变形速率： 单位时间内流体微团体积的相对变化。 dt时间内流体微团的体积变化量
M点的运动速度
u u(x dx, y dy,t) v v(x dx, y dy,t)
3-24
亥姆霍兹速度分解定理
对M点的运动速度采用泰勒级数展开
u
u(
x
dx,
y
dy,
t)
u0
u x
dx
u y
dy
v
v(
x
dx,
y
dy,
t)
v0
v x
dx
v y
dy
3-25
亥姆霍兹速度分解定理
u
u0
u x
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt div( u)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
t
3-10
三维流动的连续性方程
质量守恒定律： 在没有质量源的条件下，单位时间内控制 体内流体总质量的变化量应当等于单位时 间内流入控制体内的流体质量。
u u dx A x O
udt
dx
dx
(u u dx)dt
x
3-29
C
A u dxdt x
流体微团的线变形运动
x方向上流体微团的线变形量为
u
u x
dx
dt
dx
udt
dx
u x
dxdt
同理y方向上流体微团的线变形量为
v
v y
dy
dt
dy
udt
dy
v y
dydt
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3-7
一维恒定总流的连续性方程
不可压缩流体： D u v w 0
Dt t x y z
1V1A1 2V2 A2 Q Qm const
V1A1 V2 A2 Q const
3-8
三维流动的连续性方程
连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx