拟合优度检验

例 下表给出不同给药方式与给药效果
给药方式 口服(B)
有效（A） 58
无效（ A ） 总数 有效率
40
98 59.2％
注射( B )
64
总数
122
31
95 67.4％
71
193
列 联 表 χ2 检 验 的 原 理
若事件 A 和事件 B 是相互独立的，则
P(AB)=P(A)P(B)
列联表 χ2 检验一般步骤
pi e0.69 0.69i / i!,i 0,1, 2,3, 4
将有关计算结果列表如下:
战争次数 x
0
1 23 4
实测频数 fi 223 142 48 15 4
pi 0.58 0.31 0.18 0.01 0.02 npi 216.7 149.5 51.6 12.0 2.16
14.16
fi npi 2 0.183 0.376 0.251 1.623
在 F(x) 尚未完全给定的情况下，每个未知 参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个 制约条件，因此，自由度也随之减少一个。
若有 r 个未知参数需用相应的估计量来代替， 自由度就减少 r 个。
故统计量 2 渐近 (k-1-r) 个自由度的 2分布。
根据皮尔逊定理，对给定的显著性水平 α，
查 2分布表可得临界值 2 ，使得
这种检验通常称作拟合优度检验，它 是一种非参数检验。
拟合优度检验的一般步骤
1. 将总体 X 的取值范围分成 k 个互不重叠 的小区间，记作A1, A2, …, Ak。
2. 把落入第 i 个小区间 Ai 的样本值的个数 记作 fi ，称为实测频数； 所有实测频数 之和（f1+ f2+ …+ fk）等于样本容量 n。
3. 根据所假设的理论分布，可以算出总体 X 的值落入每个 Ai 的概率 pi，npi就是 落入区间 Ai 的样本值的理论频数。
4. 观测频数与理论频数比较，判断二者 不符合程度是否由于机会所造成。
实测频数
fi npi 理论频数
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布
之间的差异:
2 k ( fi npi )2
P( 2 2 )
得拒绝域:
2
2 k 1,
(不需估计参数)
2
2
k 1r,
(估计 r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得统
计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，
否则就认为差异不显著而接受原假设。
连续性矫正
当df＝1时应做连续性矫正，矫正方法如 下：
k
2
2.43
npi
1. 将npi < 5的组予以合并，即将发生3次及4次战争 的组归并为一组。
2. 因H0所假设的理论分布中有一个未知参数 λ， 故自由度为4-1-1=2。
按α =0.05，自由度为4-1-1=2，查表得：
2 2,0.05
5.991
统计量:
2 2.43 5.991
未落入拒绝域。
故认为每年发生战争的次数 X 服从参数 为 0.69的泊松分布。
例 下表给出不同给药方式与给药效果
给药方式 口服(B)
有效（A） 58
无效（ A ） 40
总数 98
有效率 59.2％
注射( B )
64
总数
122
31
95 67.4％
71
193
列检联 验表 统χ 2 计检 验量的：原 理
k
2
Oi Ti
2
k
i 1
Ti
i 1
fi npi 2 npi
【例】下表给出不同给药方式与给药效果， 求列证联：表给χ2 检药验方属式独立与性给检验药。效果有无关联。
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
两个问题：
统计量 2 ห้องสมุดไป่ตู้分布是什么?
皮尔逊为什么会选用这个统计量?
关于第一个问题，皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布 F(x) 已经完全给定， 那么当 n → ∞ 时，统计量：
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
的分布渐近 (k-1) 个自由度的 2分布。
问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？
【引例3】某工厂制造了一 批骰子，声称它是均匀的。
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距。 问题是：
得到的数据能否说明“骰子均匀”的假 设是可信的？
解决这类问题的工具是英 国统计学家K.皮尔逊在1900 年发表的一篇文章中介绍了 χ2 检验法。
每个理论值用Tij表示，Tij=(i行总数)(j列总数)/总数。
列联表 χ2 检验一般步骤
3. 计算 χ2 值：若 χ2 < χ2α，则接受H0；若 χ2 > χ2α，则拒绝H0。
4. 确定 df：因为每一行的各理论数受该行总数 约束，每一列的各理论数受该列总数约束， 所以 df＝(r-1)(c-1)。
如果理论分布 F(x) 中有 r 个未知参数需用相
应的估计量来代替，那么当 n → ∞ 时，统计
量 2的分布渐近 (k-1-r)个自由度的 2分布。
皮尔逊定理的几点说明
统计量的选择 自由度的确定 连续性矫正
统计量的选择
求 k 个 Oi－Ti 之和，显然它们恒等于0 求 k 个 (Oi－Ti)2 之和，得不出相对的不符合程度
72.75
24.25
按 α =0.05，自由度为1，查表得
2 1,0.05
3.841
由于统计量
2 =0.4158<3.841 未落入拒绝域。
故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论。
【引例1】某地区在1500到1931 年的432年间，共爆发了299次战
争，具体数据如下（每年爆发战
争的次数可以看作一个随机变量
Oi Ti 0.5 2
i 1
Ti
皮尔逊定理小结
皮尔逊定理是在 n 无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意 n 要足够大，以 及 npi 不太小这两个条件。
根据计算实践，要求 n 不小于50，以及 npi 都不小于 5。否则应适当合并区间，使 npi 满足这个要求 。
以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计 方法在研究自然界和人类社会的规律性时，是 起着积极的、主动的作用。
Oi＝9、Ti＝6，Oi－Ti＝3；Oi＝49、Ti＝46，Oi－Ti＝3。 前者的不符合程度远大于后者。
求 k 个 [(Oi－Ti)/Ti]2 之和，但仍有问题
如：Oi＝8、Ti＝5以及Oi＝80、Ti＝50时 (Oi－Ti)/Ti 都 等于0.6。
统计量的选择
为了解决上述问题，以 Ti 为权求加权值
奥地利生物学家孟德尔进行了长达 八年之久的豌豆杂交试验，并根据试 验结果，运用他的数理知识，发现了 分离规律。
孟德尔
【例1】 …
黄色纯系
… 子一代 绿色纯系
子二代
根据他的理论，子二代中，黄、绿之比 近似为3:1，他的一组观察结果为：
黄70，绿27 近似为2.59:1，与理论值相近。
检验孟德尔的3:1理论:
5. 给出结论。
1. 零假设H0：O－T＝0 2. 计算理论数：
上例的计算T结ij果=如(i下行：总数)(j列总数)/总数
有效
无效
口服 O1=58
O2=40
注射
T1=(98)(122)/193=61.95 O3=64
T2=(98)(71)/193=36.05 O4=31
总数
T3=(95)(122)/193=60.05 122
T4=(95)(71)/193=34.95 71
总数 98
95
193
上例的计算结果如下：
有效
口服 O1=58
注射
T1=(98)(122)/193=61.95 O3=64
总数
T3=(95)(122)/193=60.05 122
无效 O2=40 T2=(98)(71)/193=36.05 O4=31 T4=(95)(71)/193=34.95 71
r×c 列联表 χ2 检验
r×c列联表是 2×2 表的扩展；反之， 2×2 表也可以看成是 r×c列联表的一个 特例。
r×c 列联表理论数的计算与2×2列联表 相同：
Tij=(i行总数)(j列总数)/总数。 df=(r-1)(c-1)。
【例】检查鱼的饲养方式与鱼的等级是否有
关，设计了如下试验：按不同方式分为三种 网箱饲养类型：A、B、C，统计不同饲养方 式下鱼的等级情况，得如下数据，试分析。
第七章 拟合优度检验
拟合优度检验的应用
总体分布未知，从样本数据中发 现规律（总体分布），再利用拟 合优度检验对假设的总体分布进 行验证。
【引例1】某地区在1500到1931 年的432年间，共爆发了299次战
争，具体数据如下（每年爆发战
争的次数可以看作一个随机变量
X）：
战争次数 X 发生 X 次战争的年数
X）：
战争次数 X 发生 X 次战争的年数
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
【例2】引例1，检验每年爆发战争次数分 布是否服从泊松分布。 解：H0：O-T=0 （X 服从参数为 λ 的泊松分布）
根据观察结果，得参数 λ 的极大似然估计为：
X 0.69
按参数 λ 为0.69的泊松分布，计算事件X=i 的概率pi ，pi的估计是：
等级
甲 乙 丙 丁 总数
饲养方式
A
B
C
22
18
16
18
16
14
11
13
14
8
11
10
59
58
54
总数
56 48 38 29 171
1. 零假设H0：O－T＝0 2. 计算理论数：
提出假设H0: O-T=0 (p1=3/4，p2=1/4) 这里，n=70+27=97，k=2, 理论频数为： np1=72.75，np2=24.25 实测频数为70（黄），27（绿）。
22
2 ii11
ffii nnppii nnppii
22
~
12
自由度为 2-1=1
(70 72.75)2 (27 24.25)2 0.4158
总数 98
95
193
3. 计算 χ2 值
4
2
Oi Ti 2
i 1
Ti
58 61.952 40 36.052 64 60.052 31 34.952
61.95
36.05
60.05
34.95
0.252 0.433 0.260 0.466
1.391
4. 确定df
df＝(r-1)(c-1)
χ2 检验的另一应用-独立性检验
是指研究两个或两个以上的计数资料 （或属性资料）之间是否相互独立的 假设检验，先假设所观测的各属性之 间没有关联，然后检验这种无关联的 假设是否成立。
方法1：列联表 χ2 检验
【例】下表给出不同给药方式与给药效果， 问列给联药表方χ2 检式验与属给独立药性效检验果。是否有关联。
1. 提出零假设：假设实测数与理论数无差异。即 H0：O－T＝0。
2. 计算理论数：若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，则 P(AB)=P(A)P(B)。
例如：在给药方式和效果之间是相互独立的前提下 ，计算口服（事件B）有效（事件A）的概率 P(BA) ＝P(B)P(A) = (98/193) (122/193)。其理论数T1＝ (98/193)(122/193) 193 = (98)(122)/193 。
K.皮尔逊
拟合优度检验的工具- χ2 检验
χ2 检验法是在总体 X 的分布未知时， 根据来自总体的样本，检验关于总 体分布的假设的一种检验方法。
使用 χ2 检验法对总体分布进行检验时，
先提出原假设:
H0：总体 X 的分布函数为 F(x)
然后根据样本的经验分布和所假设的 理论分布之间的吻合程度来决定是否接 受原假设。
0
223
1
142
2
48
3
15
4
4
根据我们对泊松分布产生的一般条件的理 解，可以用一个泊松随机变量来近似描述每 年爆发战争的次数。也就是说，我们可以假 设每年爆发战争次数分布 X 近似泊松分布。
现在的问题是：
上面的数据能否证实 X 具有泊松分布的 假设是正确的？
【引例2】某钟表厂对生产的 钟进行精确性检查，抽取100个 钟作试验，校准24小时后进行 检查，将每个钟的误差（快或 慢）按秒记录下来。
kk
ii11
TTii
OOii TTii TTii
2
kk ii11
Oii Ti Tii
22
k
i 1
fi npi 2 npi
自由度的确定
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
变量之间存在着一个制约关系：
k
( fi npi ) 0
i 1
故统计量 2渐近 (k-1) 个自由度的 2分布。
＝(2-1)(2-1)
H0 : O T ＝0,1 0.05, df 2 12 1 1,
取
α
=0.05，
2 0.05
3.841,
2
12.39102.05
2 0.05
5. 给出结论： 接受H0，不同给药方式的治疗效果没有显著
不同。
注意：本例的 df =1应当矫正，矫正后的 χ2 值更 小，不会影响结论，可以不再矫正。