行列式的特殊解法

行列式的特殊解法

【摘要】行列式在高等数学中占有非常重要的地位，在高等代数、解析几何等很多数学分支中都有广泛的应用。本文列举了行列式的几种特殊计算方法：如数学归纳法，递推法等等，通过代表性的例题，阐述了不同类型的行列式的计算方法。

【关键词】行列式三角形行列式范德蒙行列式

教材上介绍了一些行列式的基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些特殊解法。

1数学归纳法

当Dn与Dn+1是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

例1计算行列式D=x-1０…0０0x-1…００……………000…x-1anan-2an-3…a2a1+x

解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解。当n=2，D=x-1a2x+a1=x(x+a1)+a2=x2+a1x+a2，假设n=k时，有Dk=xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ax当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得Dk+1=xDk+ak+1=x（xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ak）+ak+1=xk+1+a1xk+…+ak-1x2+akx+ak+1由此，对任意的正整数n，有Dn=xn+a1xn-1+…+an-2x2+an-1x+an。

2递推法

2.1基本概念。

定义1：形为dn+k1dn-1+k2dn-2+…+krdn-r=0(2-1)的关系式称为阶齐次线性递推关系式，其中，均为常数，并且kr≠0，对应的方程kr+k1xr-1+k2xr-2+…+kn=0(2-2)称为(2-1)的特征方程。

定义2：对于序列a0，a1，a2，…定义Ｇ（x）=a0+a1x+a2x2+…，为序列a0，a1，a2，…的母函数。

2.2二阶常系数齐次递推表达式的解。

已知递推表达式

dn+pdn-1+qdn-2=0（p，q为常数且不为零）(2-3)

对应的特征方程为

x2+px+q=0(2-4)

d0，d1的值已知。

下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解：对于序列d0，d1，d2，d3…

令G（t）=d0+d1t+d2t2+d3t3…

为序列d0，d1，d2，d3…的母函数

则（1+pt+qt2）G（t）=d0+（d1+pd0）t

从而G（t）=■

再令H（t）=■

以下分三种情况来讨论：

①特征方程x2+px+q=0有两个相异实根：r1，r2时

H（t）=■=■+■=A■（r1t）n+B■（r2t）n=■（Ar1n+Br2n）tn，其中Ａ＝■，B=■

所以G（t）=[d0+（d1+pd0）t]H（t）=■■（r1n+1-r2n+1）tn+■■（r1n+1-r2n+1）tn+1=d0+■■[d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）tn

故dn=■d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）（n≥2）特征方程x2+px+q=0有两个共轭复根：r1，r2时，这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式r1，2=r（cosθ±isinθ），以下来消除复数形式，其中r=■=q，θ=arctan■=arctan■。

根据欧拉公式得

r1n+1-r2n+1=2iq■sin（n+1）θ（2-5）

（r1n-r2n)=2iq■sinnθ（2-6）

把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得

dn=■[d0q■sin（n+1）θ+（d1+pd0）q■sinnθ（2-7）

特征方程x2+px+q=0有两个相等实根：r1=r2=-■时

H（t）=■■■=■（■）=■（■un）=■nun-1=■nr1n-1tn-1

G（t）=[d0+(d1+pd0)t]H（t）=■d0nr1n-1tn-1+■n（d1+pd0）r1n-1tn=d0+■[（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1]tn

故dn=（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1（2-8）

2.3举例。

例2求n阶行列式5100…０1510…０0151…０……………0000…5的值

解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式dn-5dn-1+dn-2=0（n>2）(2-9)

对应的p=-5，q=1。计算d1，d2得d1=5，d2=24，对于（2-10）令n=2，得n=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-10）对应的特征方程为x2-5x+1=0，得两个不同实特征解为r1=■，r2=■，代入（2-5）得dn=■

例3求n阶行列式2100...０1210...０0121...０0012...０...............0000 (2)

的值

解：利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式dn-2dn-1+dn-2=0（n>2）对应的p=-2，q=1。计算d1，d2得d1=2，d２=3，对于（2-11）令n=2，得d0=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-11）对应的特征方程为x2-2x+1=0，得两个相同实特征解为r1=r2=1，把p=-2，q=1，d0=1，d1=2以及r1=r2=1代入（2-9）得dn=n+1。

3利用矩阵特征值计算

3.1基本概念。设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的一个特征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A的特征向量。

求矩阵特征值的方法：Ａx=λx，等价于求λ，使得（λE-A）=0其中E是单位阵，0为零矩阵，|λE-A|=0求得的λ值即为A值。

定理2:如果n阶矩阵A的全部特征值为λ1，λ2，λ3…λn，则|A|=λ1·λ2·λ3…λn。

定理3:设λ为方阵A的特征值，φ（A）为A的多项式，则φ（λ）为φ（A）的特征值。利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值。

3.2举例。