《管理运筹学》第12章 排序与统筹方法
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第十二章 排序与统筹方法
在本章中， 在本章中，我们将介绍车间作业计划模型和 统筹方法。这两个问题尽管处理的方法有所不同， 统筹方法。这两个问题尽管处理的方法有所不同， 但当我们面临必须完成若干项不能同时进行的工 作时，它们都将帮助我们应该按照怎样的次序、 作时，它们都将帮助我们应该按照怎样的次序、 怎样的时间表来做这些工作，使得效果最佳（ 怎样的时间表来做这些工作，使得效果最佳（例 如完成全部工作所用时间最短或费用最少等等）。 如完成全部工作所用时间最短或费用最少等等）。
§1 车间作业计划模型 §2 统筹方法
管
理
运
筹
学
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§1 车间作业计划模型
车间作业计划是指一个工厂生产工序的计划和安排。 车间作业计划是指一个工厂生产工序的计划和安排。 一、一台机器、n个零件的排序问题 一台机器、 个零件的排序问题 二、两台机器、n个零件的排序问题 两台机器、 个零件的排序问题
管
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§1 车间作业计划模型
同样，下一个最短加工时间为 ，这是车床加工零件3的所需时间 的所需时间， 同样，下一个最短加工时间为1，这是车床加工零件 的所需时间，故 把零件3排在第二位上，同时把零件 所在的行划去 如表12-6中黑色线条 所在的行划去。 把零件 排在第二位上，同时把零件3所在的行划去。如表 排在第二位上 中黑色线条 所示。 所示。 这样就得到了最优加工顺序： ， ， ， ， 。一共只需7个小时就能 这样就得到了最优加工顺序：5，3，4，1，2。一共只需 个小时就能 完成全部加工。 完成全部加工。 从例2中我们可以归纳出关于两台机器 个零件的排序问题 从例 中我们可以归纳出关于两台机器n个零件的排序问题，使得全部 中我们可以归纳出关于两台机器 个零件的排序问题， 最短的排序算法。 任务总的时间 最短的排序算法。 工序加工j零件所 在加工所需时间表上选出最短加工时间t 这是第i工序加工 在加工所需时间表上选出最短加工时间 ij，这是第 工序加工 零件所 需 时间， 的顺序尽量靠前， 时间，当i=1时，将零件 的顺序尽量靠前，若i=2时，将零件 的顺序尽量 时 将零件j的顺序尽量靠前 时 将零件j的顺序尽量 靠后。在表上划去零件 的所在行 回到步骤1。 的所在行， 靠后。在表上划去零件j的所在行，回到步骤 。
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§1 车间作业计划模型
车床 磨床 1 1 2 3
2
4 3
5 4 5
0
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图 12-1
从上图中我们可以看出， 从上图中我们可以看出，加工时间的延长主要是由于磨床的停工待料 造成的，只要减少磨床的停工待料的时间就能减少整个加工任务的总时间。 造成的，只要减少磨床的停工待料的时间就能减少整个加工任务的总时间。 为了减少磨床的停工待料， 为了减少磨床的停工待料，我们应该一方面把在车床上加工时间越短的零 件越早加工，减少磨床等待的时间； 件越早加工，减少磨床等待的时间；另一方面把在磨床上加工时间越长的 零件越晚加工，以便充分利用前面的时间， 零件越晚加工，以便充分利用前面的时间，这样我们就得到了使完成全部 零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。 零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。
工序代号 a b c d e 工序内容 产品设计与工艺设计 外购配套零件 外购生产原料 Biblioteka Baidu制主件 主配可靠性试验 所需时间（ 所需时间（天) 60 15 13 38 8 紧前工序 a a c b,d
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§2 统筹方法
解:用网络图表示上述的工序进度表 用网络图表示上述的工序进度表 网络图中的点表示一个事件,是一个或若干个工序的开始或结束 是相 网络图中的点表示一个事件 是一个或若干个工序的开始或结束,是相 是一个或若干个工序的开始或结束 邻工序在时间上的分界点,点用圆圈表示 圆圈里的数字表示点的编号 邻工序在时间上的分界点 点用圆圈表示,圆圈里的数字表示点的编号。弧 点用圆圈表示 圆圈里的数字表示点的编号。 表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序的结束， 表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序的结束，弧上 ），弧的方向是从工序开始指向工序的结束 是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间（或资源）等数据， 是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间（或资源）等数据，即 为对此弧所赋的权数． 为对此弧所赋的权数．
应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件， 应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才能使得这六个零 件在车间里停留的平均时间为最少？ 件在车间里停留的平均时间为最少？
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§1 车间作业计划模型
位加工的零件所需的时间， 例1解：如果我们用 i表示安排在第 位加工的零件所需的时间，用Tj表示安排 解 如果我们用P 表示安排在第i位加工的零件所需的时间 j 在第j位加工的零件在车间里总的停留时间 位加工的零件在车间里总的停留时间， 在第 位加工的零件在车间里总的停留时间，则有 Pi Tj = P1 + P2 +…+ Pj-1 + Pj = ∑ i =1 不同的加工顺序得到不同的各零件的平均停留时间， 不同的加工顺序得到不同的各零件的平均停留时间，如何得到一个使得各零件 的平均停留时间最少的排序呢？这就是我们最后要解决的优化问题， 的平均停留时间最少的排序呢？这就是我们最后要解决的优化问题，而且我们要设 法找到一种简便的算法。 法找到一种简便的算法。 对于某种加工顺序，我们知道安排在第j位加工的零件在车间里总的停留时间为 对于某种加工顺序，我们知道安排在第 位加工的零件在车间里总的停留时间为 j T j ， T j = ∑ Pi
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§2 统筹方法
统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节，下面进 统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节， 行分别讨论： 行分别讨论： 一、计划网络图 统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序（或称为 统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序（ 活动）进度表转换为统筹方法的网络图。 活动）进度表转换为统筹方法的网络图。 例3、某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的相互 、 关系都显示在其工序进度表如表12-8所示，请画出其统筹方法网络图。 关系都显示在其工序进度表如表 所示，请画出其统筹方法网络图。 所示 表12-8
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§1 车间作业计划模型
寻找例2的最优解：我们在表 中找到所列出的最短加工时间是0.25,它是第二道工序磨床 寻找例 的最优解：我们在表12-5中找到所列出的最短加工时间是 的最优解 中找到所列出的最短加工时间是 它是第二道工序磨床 加工零件2的所需时间，由于这个时间与磨床有关，故我们把零件 放在加工顺序的末尾 放在加工顺序的末尾， 加工零件 的所需时间，由于这个时间与磨床有关，故我们把零件2放在加工顺序的末尾，即第 的所需时间 五 中红色线条所示。 位，并在表中划去零件2 所在行。如表 12-6中红色线条所示。 并在表中划去零件 所在行。如表12-6中红色线条所示 表
i =1
可知这六个零件的停留时间为： 可知这六个零件的停留时间为： T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 ＝ P1 + ( P1 + P2 ) + (P1 + P2 + P3 ) + (P1 + P2 + P3 + P4 ) + (P1 + P2 + P3 + P4 + P5) + (P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 ) ＝ 6 P1 + 5 P2 + 4P3 + 3P4 + 2P5 + P6. 6 P1 + 5 p 2 + 4 p 3 + 3 p 4 + 2 p 5 + p 6 那么各个零件平均停留时间为 6 从上式可知，对于一台机器n个零件的排序问题 只要系数越大， 个零件的排序问题， 从上式可知，对于一台机器 个零件的排序问题，只要系数越大，配上加工时 间越少的，即按照加工时间排出加工顺序，加工时间越少的零件排在越前面， 间越少的，即按照加工时间排出加工顺序，加工时间越少的零件排在越前面，加工 时间越多的零件排在越后面，可使各个零件的平均停留时间为最少。 时间越多的零件排在越后面，可使各个零件的平均停留时间为最少。
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§1 车间作业计划模型
二、两台机器、n个零件 两台机器、 某工厂根据合同定做一些零件， 例2.某工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削，然后再在 某工厂根据合同定做一些零件 这些零件要求先在车床上车削， 磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表 所示。 磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表12-5所示。 所示
运
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§1 车间作业计划模型
一、一台机器、n个零件的排序问题 一台机器、
某车间只有一台高精度的磨床， 例1.某车间只有一台高精度的磨床，常常出现很多零件同时要求这台 某车间只有一台高精度的磨床 磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工， 磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工，这六个零件加工所需时间 如下表所示。 如下表所示。 零件 1 2 3 加工时间 小时） （小时） 1.8 2.0 0.5 零件 4 5 6 加工时间 小时） （小时） 0.9 1.3 1.5
零件 1 2 3 车床 第一工序） （第一工序） 1.5 2.0 1.0 磨床 第二工序） （第二工序） 0.5 0.25 1.75 零件 4 5 车床 第一工序） （第一工序） 1.25 0.75 磨床 第二工序） （第二工序） 2.5 1.25
接着，我们又找到最短加工时间为 ，这一时间与磨床（第二工序）有关， 接着，我们又找到最短加工时间为0.5，这一时间与磨床（第二工序）有关，我们把 磨床加 工时间为0.5的零件 放到除第五外的加工顺序的末尾 即第四位加工， 表中的零件1所在 工时间为 的零件1放到除第五外的加工顺序的末尾，即第四位加工，同时把 表中的零件 所在 的零件 放到除第五外的加工顺序的末尾， 的行划去。如表 中黄色线条所示。 的行划去。如表12-6中黄色线条所示。 中黄色线条所示 下一个最短加工时间为0.75，这个加工时间是车床（第一工序）加工零件5的所需时间，故 ，这个加工时间是车床（第一工序）加工零件 的所需时间 的所需时间， 下一个最短加工时间为 把零件5排在加工顺序的第一位上，同时把表中的零件5所在的行划去 如表12-6中蓝色线条所 所在的行划去。 把零件 排在加工顺序的第一位上，同时把表中的零件 所在的行划去。如表 排在加工顺序的第一位上 中蓝色线条所 示。 管 理 运 筹 学
表12-5 零件 1 2 3 车床 1.5 2.0 1.0 磨床 0.5 0.25 1.75 零件 4 5 车床 1.25 0.75 磨床 2.5 1.25
应该如何安排这五个零件的先后顺序才能使完成这五个零件的总的加工时间 为 最少？ 最少？ 解：由于每个零件必须先进行车床加工，再进行磨床加工，所以在车床上加 由于每个零件必须先进行车床加工，再进行磨床加工， 工零件的顺序与在磨床上加工零件的顺序是一样的。 工零件的顺序与在磨床上加工零件的顺序是一样的。 如果这些零件在车床上和磨床上加工顺序都为1， ， ， ， 。我们用图12-1 如果这些零件在车床上和磨床上加工顺序都为 ，2，3，4，5。我们用图 中的线条图来表示各零件加工的开始时间与完成时间， 中的线条图来表示各零件加工的开始时间与完成时间，这种图是由一根时间轴和 车床、磨床在每个时间段的状况的图形所构成。 车床、磨床在每个时间段的状况的图形所构成。
１
a 60
２ c 13
b 15 ３
４ d 38
e 8
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图12-4
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§2 统筹方法
例４、把例３的工序进度表做一些扩充，如表12-9，请画出其统筹方法 把例３的工序进度表做一些扩充，如表 ， 的网络图。 的网络图。
表12-9
工序代号 a b c d 所需时间（ 所需时间（天） 60 15 13 38 紧前工序 － a a c 所需时间（ 工序代号 所需时间（天） 紧前工序 e f g h 8 10 16 5 b，ｄ ，ｄ d d e，ｆ，ｇ ，ｆ，ｇ
在本章中， 在本章中，我们将介绍车间作业计划模型和 统筹方法。这两个问题尽管处理的方法有所不同， 统筹方法。这两个问题尽管处理的方法有所不同， 但当我们面临必须完成若干项不能同时进行的工 作时，它们都将帮助我们应该按照怎样的次序、 作时，它们都将帮助我们应该按照怎样的次序、 怎样的时间表来做这些工作，使得效果最佳（ 怎样的时间表来做这些工作，使得效果最佳（例 如完成全部工作所用时间最短或费用最少等等）。 如完成全部工作所用时间最短或费用最少等等）。
§1 车间作业计划模型 §2 统筹方法
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§1 车间作业计划模型
车间作业计划是指一个工厂生产工序的计划和安排。 车间作业计划是指一个工厂生产工序的计划和安排。 一、一台机器、n个零件的排序问题 一台机器、 个零件的排序问题 二、两台机器、n个零件的排序问题 两台机器、 个零件的排序问题
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§1 车间作业计划模型
同样，下一个最短加工时间为 ，这是车床加工零件3的所需时间 的所需时间， 同样，下一个最短加工时间为1，这是车床加工零件 的所需时间，故 把零件3排在第二位上，同时把零件 所在的行划去 如表12-6中黑色线条 所在的行划去。 把零件 排在第二位上，同时把零件3所在的行划去。如表 排在第二位上 中黑色线条 所示。 所示。 这样就得到了最优加工顺序： ， ， ， ， 。一共只需7个小时就能 这样就得到了最优加工顺序：5，3，4，1，2。一共只需 个小时就能 完成全部加工。 完成全部加工。 从例2中我们可以归纳出关于两台机器 个零件的排序问题 从例 中我们可以归纳出关于两台机器n个零件的排序问题，使得全部 中我们可以归纳出关于两台机器 个零件的排序问题， 最短的排序算法。 任务总的时间 最短的排序算法。 工序加工j零件所 在加工所需时间表上选出最短加工时间t 这是第i工序加工 在加工所需时间表上选出最短加工时间 ij，这是第 工序加工 零件所 需 时间， 的顺序尽量靠前， 时间，当i=1时，将零件 的顺序尽量靠前，若i=2时，将零件 的顺序尽量 时 将零件j的顺序尽量靠前 时 将零件j的顺序尽量 靠后。在表上划去零件 的所在行 回到步骤1。 的所在行， 靠后。在表上划去零件j的所在行，回到步骤 。
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§1 车间作业计划模型
车床 磨床 1 1 2 3
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图 12-1
从上图中我们可以看出， 从上图中我们可以看出，加工时间的延长主要是由于磨床的停工待料 造成的，只要减少磨床的停工待料的时间就能减少整个加工任务的总时间。 造成的，只要减少磨床的停工待料的时间就能减少整个加工任务的总时间。 为了减少磨床的停工待料， 为了减少磨床的停工待料，我们应该一方面把在车床上加工时间越短的零 件越早加工，减少磨床等待的时间； 件越早加工，减少磨床等待的时间；另一方面把在磨床上加工时间越长的 零件越晚加工，以便充分利用前面的时间， 零件越晚加工，以便充分利用前面的时间，这样我们就得到了使完成全部 零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。 零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。
工序代号 a b c d e 工序内容 产品设计与工艺设计 外购配套零件 外购生产原料 Biblioteka Baidu制主件 主配可靠性试验 所需时间（ 所需时间（天) 60 15 13 38 8 紧前工序 a a c b,d
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§2 统筹方法
解:用网络图表示上述的工序进度表 用网络图表示上述的工序进度表 网络图中的点表示一个事件,是一个或若干个工序的开始或结束 是相 网络图中的点表示一个事件 是一个或若干个工序的开始或结束,是相 是一个或若干个工序的开始或结束 邻工序在时间上的分界点,点用圆圈表示 圆圈里的数字表示点的编号 邻工序在时间上的分界点 点用圆圈表示,圆圈里的数字表示点的编号。弧 点用圆圈表示 圆圈里的数字表示点的编号。 表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序的结束， 表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序的结束，弧上 ），弧的方向是从工序开始指向工序的结束 是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间（或资源）等数据， 是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间（或资源）等数据，即 为对此弧所赋的权数． 为对此弧所赋的权数．
应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件， 应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才能使得这六个零 件在车间里停留的平均时间为最少？ 件在车间里停留的平均时间为最少？
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§1 车间作业计划模型
位加工的零件所需的时间， 例1解：如果我们用 i表示安排在第 位加工的零件所需的时间，用Tj表示安排 解 如果我们用P 表示安排在第i位加工的零件所需的时间 j 在第j位加工的零件在车间里总的停留时间 位加工的零件在车间里总的停留时间， 在第 位加工的零件在车间里总的停留时间，则有 Pi Tj = P1 + P2 +…+ Pj-1 + Pj = ∑ i =1 不同的加工顺序得到不同的各零件的平均停留时间， 不同的加工顺序得到不同的各零件的平均停留时间，如何得到一个使得各零件 的平均停留时间最少的排序呢？这就是我们最后要解决的优化问题， 的平均停留时间最少的排序呢？这就是我们最后要解决的优化问题，而且我们要设 法找到一种简便的算法。 法找到一种简便的算法。 对于某种加工顺序，我们知道安排在第j位加工的零件在车间里总的停留时间为 对于某种加工顺序，我们知道安排在第 位加工的零件在车间里总的停留时间为 j T j ， T j = ∑ Pi
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§2 统筹方法
统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节，下面进 统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节， 行分别讨论： 行分别讨论： 一、计划网络图 统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序（或称为 统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序（ 活动）进度表转换为统筹方法的网络图。 活动）进度表转换为统筹方法的网络图。 例3、某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的相互 、 关系都显示在其工序进度表如表12-8所示，请画出其统筹方法网络图。 关系都显示在其工序进度表如表 所示，请画出其统筹方法网络图。 所示 表12-8
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§1 车间作业计划模型
寻找例2的最优解：我们在表 中找到所列出的最短加工时间是0.25,它是第二道工序磨床 寻找例 的最优解：我们在表12-5中找到所列出的最短加工时间是 的最优解 中找到所列出的最短加工时间是 它是第二道工序磨床 加工零件2的所需时间，由于这个时间与磨床有关，故我们把零件 放在加工顺序的末尾 放在加工顺序的末尾， 加工零件 的所需时间，由于这个时间与磨床有关，故我们把零件2放在加工顺序的末尾，即第 的所需时间 五 中红色线条所示。 位，并在表中划去零件2 所在行。如表 12-6中红色线条所示。 并在表中划去零件 所在行。如表12-6中红色线条所示 表
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可知这六个零件的停留时间为： 可知这六个零件的停留时间为： T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 ＝ P1 + ( P1 + P2 ) + (P1 + P2 + P3 ) + (P1 + P2 + P3 + P4 ) + (P1 + P2 + P3 + P4 + P5) + (P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 ) ＝ 6 P1 + 5 P2 + 4P3 + 3P4 + 2P5 + P6. 6 P1 + 5 p 2 + 4 p 3 + 3 p 4 + 2 p 5 + p 6 那么各个零件平均停留时间为 6 从上式可知，对于一台机器n个零件的排序问题 只要系数越大， 个零件的排序问题， 从上式可知，对于一台机器 个零件的排序问题，只要系数越大，配上加工时 间越少的，即按照加工时间排出加工顺序，加工时间越少的零件排在越前面， 间越少的，即按照加工时间排出加工顺序，加工时间越少的零件排在越前面，加工 时间越多的零件排在越后面，可使各个零件的平均停留时间为最少。 时间越多的零件排在越后面，可使各个零件的平均停留时间为最少。
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§1 车间作业计划模型
二、两台机器、n个零件 两台机器、 某工厂根据合同定做一些零件， 例2.某工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削，然后再在 某工厂根据合同定做一些零件 这些零件要求先在车床上车削， 磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表 所示。 磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表12-5所示。 所示
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§1 车间作业计划模型
一、一台机器、n个零件的排序问题 一台机器、
某车间只有一台高精度的磨床， 例1.某车间只有一台高精度的磨床，常常出现很多零件同时要求这台 某车间只有一台高精度的磨床 磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工， 磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工，这六个零件加工所需时间 如下表所示。 如下表所示。 零件 1 2 3 加工时间 小时） （小时） 1.8 2.0 0.5 零件 4 5 6 加工时间 小时） （小时） 0.9 1.3 1.5
零件 1 2 3 车床 第一工序） （第一工序） 1.5 2.0 1.0 磨床 第二工序） （第二工序） 0.5 0.25 1.75 零件 4 5 车床 第一工序） （第一工序） 1.25 0.75 磨床 第二工序） （第二工序） 2.5 1.25
接着，我们又找到最短加工时间为 ，这一时间与磨床（第二工序）有关， 接着，我们又找到最短加工时间为0.5，这一时间与磨床（第二工序）有关，我们把 磨床加 工时间为0.5的零件 放到除第五外的加工顺序的末尾 即第四位加工， 表中的零件1所在 工时间为 的零件1放到除第五外的加工顺序的末尾，即第四位加工，同时把 表中的零件 所在 的零件 放到除第五外的加工顺序的末尾， 的行划去。如表 中黄色线条所示。 的行划去。如表12-6中黄色线条所示。 中黄色线条所示 下一个最短加工时间为0.75，这个加工时间是车床（第一工序）加工零件5的所需时间，故 ，这个加工时间是车床（第一工序）加工零件 的所需时间 的所需时间， 下一个最短加工时间为 把零件5排在加工顺序的第一位上，同时把表中的零件5所在的行划去 如表12-6中蓝色线条所 所在的行划去。 把零件 排在加工顺序的第一位上，同时把表中的零件 所在的行划去。如表 排在加工顺序的第一位上 中蓝色线条所 示。 管 理 运 筹 学
表12-5 零件 1 2 3 车床 1.5 2.0 1.0 磨床 0.5 0.25 1.75 零件 4 5 车床 1.25 0.75 磨床 2.5 1.25
应该如何安排这五个零件的先后顺序才能使完成这五个零件的总的加工时间 为 最少？ 最少？ 解：由于每个零件必须先进行车床加工，再进行磨床加工，所以在车床上加 由于每个零件必须先进行车床加工，再进行磨床加工， 工零件的顺序与在磨床上加工零件的顺序是一样的。 工零件的顺序与在磨床上加工零件的顺序是一样的。 如果这些零件在车床上和磨床上加工顺序都为1， ， ， ， 。我们用图12-1 如果这些零件在车床上和磨床上加工顺序都为 ，2，3，4，5。我们用图 中的线条图来表示各零件加工的开始时间与完成时间， 中的线条图来表示各零件加工的开始时间与完成时间，这种图是由一根时间轴和 车床、磨床在每个时间段的状况的图形所构成。 车床、磨床在每个时间段的状况的图形所构成。
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２ c 13
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§2 统筹方法
例４、把例３的工序进度表做一些扩充，如表12-9，请画出其统筹方法 把例３的工序进度表做一些扩充，如表 ， 的网络图。 的网络图。
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工序代号 a b c d 所需时间（ 所需时间（天） 60 15 13 38 紧前工序 － a a c 所需时间（ 工序代号 所需时间（天） 紧前工序 e f g h 8 10 16 5 b，ｄ ，ｄ d d e，ｆ，ｇ ，ｆ，ｇ