函数、不等式恒成立问题经典总结
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函数、不等式恒成立问题解法（老师用）
恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （给定某个区间上恒成立）
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-
⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或， ],[0)(βα∈ )(0 )(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立⎩⎨ ⎧>>⇔0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ ⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>⇔∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ⎩⎨ ⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，； 令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( ⎨⎧<<-0)2(0 )2(f f 即 ⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0 )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2 R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论 m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4 ( sin sin 4)(2∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩ ⎨ ⎧+<->2)(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ-∈--= ->x x x x a ，显然函数有最大值2， 2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1 )(,)1,1(,)(,1,02 <-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取值范围。 解析：由x x a x a x x f <- <-=21 2 1)(2 2 ，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1 222 1)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数 x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 1 2在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在 区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 12 -=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2 ,1≤>a a 只有时才能保证，而2 110≥