计算方法 7 数值积分的基本方法

) f
(a
)
f
( b )
② 中矩形公式
a y=f(x) b
b
ab
a f ( x )dx ( b a ) f ( 2 )
③ Simpson公式
b a
f
(
x )dx

1( b a 6
)
f(a
)
4
f
(
ab 2
)
f ( b )
a (a+b)/ b 2y=f( x)
a
a b 计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院 (a+b)/2
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4
数值积分
b
积分值 I a 在f (几x)何dx上可以解释为由
x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边 梯形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计 算是因为它有一条曲边y=f(x)
y=f(x)
a
b
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但表达式太复杂，例如函数
f (x) x2 2x2 3
F ( x ) 1 x2 2 x2 3 3 x 2 x2 3 9 ln( 2 x x2 2 x2 3 )
4
16
16 2
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3
数值积分
(3) 被积函数 f(x)没有具体的解析表达式, 其函数关 系由表格或图形表示。
又 f (x) P(x)当 Rf((xx))为不高于n次的多项式时,
f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少
具有n次代数精度。
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插值型求积公式
必要性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次
多项式
对于这些情况, 需研究一种新的积分方法来解决 Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。
数值积分的思想：将积分区间细分,在每一个小区 间内用简单函数代替复杂函数进行积分。
本章的主要内容：用代数插值多项式去代替被积 函数 f(x) 进行积分。
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12
插值型求积公式

A0 A1 An b a

b2 a2

A0 x0 A0 x0n
A1 x1 A1 x1n


An xn
An xnn b
2
n1 n
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(k 0,1, , n)
jk
精确成立,即
b
n
a lk ( x)dx Ajlk ( x j )
j0
而
1 lk (x j ) kj 0
k j k j
取 f ( x) l时k ( x)
b
b
n
a f ( x)dx a lk ( x)dx Ajlk ( x j )
a n 1
1
这是关于 A的k 线性方程组，其系数矩阵
1 1 1

x0
x1
xn


x02
x12
xn2
x0n x1n xnn
是范得蒙矩阵, 当
xk (k 0,1, , n) 互异时非奇异, 故
A有k 唯一解。
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k 0
式中
lk ( x )
n j0
x xj xk x j

( x ) ( x xk )( xk
)
jk
这里 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b P( 作x )为dx a
b f ( x的)d近x 似值，即 a
5
积分中值定理
建立数值积分公式的最常用的两种方法：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得
b
a f ( x )dx ( b a ) f ( )
a ,b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
f (的) 矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,
k 0
其中 Ak
b
b ( x )
a
lk (
x )dx

a
(x
xk
) (
xk
dx )
称为求积系数。由节点 决定，与 f (x) 无关。
定义求积公式
b
n
f ( x )dx
a
Ak f ( xk )
k0
其系数
Ak

b
a
l
k
(时x ，)dx则称求积公式为插值
求积公式。
（1）
2016/2017 学年 第一学期（16周）
数值积分的基本方法
数值积分
我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原 函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
b
a f ( x )dx F ( b ) F ( a )
求定积分的值 , 但它并不能完全解决定积分的计算 问题，在实际计算中经常遇到以下三种情况：
13
插值型求积公式
定理
n+1个节点的求积公式
b
a
f
( x)dx

n

Ak
f
( xk
)
wenku.baidu.com
k0
为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代
数精度。
证:充分性
设n+1个节点的求积公式
b
a
n
f ( x)dx Ak f ( xk )
k0
为插值型求积公式,求积系数为
b
Ak a lk ( x)dx
2
2
两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度.
三个节点不一定具有2次代数精度， ？
因为不是插值型的
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插值型求积公式
构造插值求积公式有如下特点：
(1)复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分
(2) 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被 积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak 的值
定义（代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于m的多项式
f ( x) 1, x, x 2 , , xm
或 f ( x) a0 a1 x a2 x2 am xm
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确 的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代 数由精定度义）可知，若求积公式(1)的代数精度为n，则 求积系数 A应k 满足线性方程组：
(2) 求出f(xk)及利用
b
Ak a lk ( x)dx
或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样
就得到了
b
n
f ( x )dx
a
Ak f ( xk )
k 0
(3) 利用f(x)=1,x,… ,xn验算代数精度
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本科毕设
2016年题目： ➢ 内啮合齿轮泵的设计 ➢ 一种移动式升降平台的设计 ➢ 木板贴纸生产线规划及上料装置设计 ➢ 通用小型斗式提升机设计 ➢ 码垛机结构设计 ➢ 齿轮泵的有限元力学分析
办公室地址：科技园（东9）A栋5-56
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因而 的f值(也) 是未知的, 称 为f(x)f 在( 区) 间[a,b]上
的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种f算( )
法，相应地就获得一种数值求积方法
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三种求积公式
① 梯形公式
y=f(x)
b
a
f
(
x
)dx

1( b a 2
j0
所以有
Ak
b a
lk,(即x)d求x 积公式为插值型求积公式
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例题
例1：对于[a, b]上1次插值，有L1( x)
xb ab
f (a)
xa ba
f (b)
A1

A2

ba 2
b
a
f
( x)dx
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2
数值积分
(1) 被积函数 f(x) 并不一定能够找到用初等函数的
有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1 sin xdx 和 1ex2dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，
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插值型求积公式
b
b
bn
f ( x )dx P( x )dx
a
a
a
f ( xk )lk ( x )dx
k 0
n
b
n

f ( xk ) a lk ( x )dx
f ( xk )Ak
k 0
7
插值型求积公式
（2）先用某个简单函数( x近) 似逼近f(x), 用 代( x替) 原被积函数f(x)，即
b
b
a f ( x )dx a ( x )dx
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数
( x应) 对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积
分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易
求积公式准确成立，即得如下方程组。

A BC 4

B 3C 8

B 9C 64 3
解之得， A 4 , B 4 , C 20
9
3
9
所求公式为：04
f
( x)dx

14
9
f
(0)

12
f
(1)

20
f
(3)
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[ ba 2
f
(a)
f
(b)]
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab/1tdrxa梯peb形zo公iada=式l rbu2lae[/1 1] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：b a
x
dx

b2 a2 2
=
ba 2
[a

b]
a
b
代入
R( f=) 0,求积公式(1)能成为准确的等式。由于闭区间
[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积
公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是
衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下
定义。
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插值型求积公式
计算积分,因此将 选(取x) 为插值多项式, f(x)的积分
就可以用其插值多项式的积分来近似代替
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插值型求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1有,函,数n)值
f ( xk )
,作n次拉格朗日插值多项式
n
P( x ) f ( xk )lk ( x )
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插值型求积公式
设插值型求积公式的余项 R( f )
R( f ) b f ( x) P( x)dx b f (n1)( ) ( x)dx
a
a (n 1)!
其中 a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( (n1) x) 0
(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度
n
(4) 求积系数之和 Ak b a k 0
可用此检验计算求积系数的正确性
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插值型求积公式
构造插值求积公式的步骤
(1) 在积分区间[a,b]上选取节点xk
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例题
例3：考察求积公式
1 f ( x)dx 1 f (1) 2 f (0)
1
2
f (1)
的代数精度
可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将
f(x)=x2代入公式
左端
1 x2dx 1 x3 1 2
1
3
1 3
右端 1 f (1) 2 f (0) f (1) 1 1 1 1
P2
=
x2
：b a
x2dx

b3 a3 3

ba 2
[a 2

b2 ]
代数精度 = 1
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例题
例2：试确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
f ( x)dx Af (0) Bf (1) Cf (3)
0
解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2