圆中的比例线段

圆中的比例线段

圆中的比例线段是由直线和圆的位置关系反映出线段间的数量关系所形成的一类几何问题，由于直线和圆的多种不同位置关系，因此就导致了形式多样的线段间数量关系。尽管如此，圆中比例线段的证明问题仍是有规律可循的，只要掌握正确的解题方法，就可以化难为易，使问题迎刃而解。

一、利用相似三角形

当成比例的四条线段分别位于两个三角形中时，可以从求证的比例式中去寻找相似三角形。利用相似三角形证明线段成比例是解决这类问题的最基本的方法。

例1、已知如图，ΔABC内接于⊙O，AD是直径，CF⊥AD于E，交AB于F。

求证：AC2＝AB•AF

例2、已知如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，DM是⊙O的切线，M是DM与AC的交点。

求证：DC:AC＝CM:DC

例3、已知如图，AB、CD是⊙O的直径，且AB⊥CD于O，过C点作弦CF交AB于E。

求证：2CO2＝CE•CF

二、利用等积或等量代换

当不能从所求证的比例式中找到两个相似三角形，可以根据已知条件或图形性质，寻求相等线段，替换比例式中线段，也可以寻找等积线段替换乘积中的相应线段，再利用相似三角形来证明。 例4、 已知如图， AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于G ，P 是CD 延长线上一点，PE 切⊙O 于E ，EB 交CD 于F 。

求证：PF 2＝PD •PC

例5、 已知如图， ⊙O 的弦AB ∥CD ，P 是CD

⌒ 上一点，PA 、PB 交CD 于E 、F 两点，⊙O 的切线AG 交DC 延长线于G 。

求证：EF CE ＝DE GE

例6、 已知如图， AB 是⊙O 的直径，⊙C 切⊙O 于F ，切AB 于D ，DC 交⊙O 于E 。

求证：ED 2＝AB •CD

例7、已知如图，点A在⊙O上，⊙A交⊙O于E、F两点，⊙O的弦AB交⊙A于C，交EF于D。求证：AC2＝AB•AD

三、利用恒等变形

有的等积式形式比较复杂，式子中出现和差问题，我们可以将等积式变形，再通过等量代换证明。例8、已知如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，CD是⊙O1的直径，CP、DP的延长线分别交⊙O2于F、E，过C作⊙O1的切线CH，交⊙O2于A、H，交PE于B，交EF于G。

求证：（1）AC2＝AB•AD

（2）BG•BC＝AG2－BG2

例9、已知如图，ΔABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E。

求证：AD2＝AB•AC－BD•CD

例10、已知如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PM⊥AB，M为垂足，PM交⊙O于N，PCD为⊙O的割线，分别交⊙O于C、D两点。

求证：PC•PD+ MA•MB＝PM2

例11、已知如图，⊙O1与⊙O2相关于A、B两点，过点A作⊙O2的切线CM，交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D，DA的延长线交⊙O1于E，连结CE。

求证：（1）ΔCAE是等腰三角形

（2）DA•DE＝CD2－CE2

例12、已知如图，过⊙O上一点A作⊙A交⊙O于B、C，过点A的直线交⊙O于E、A，交⊙A于D、G，交BC于F。

求证：EF•AF＝AD2－AF2

四、寻求隐含关系

有些题目中所求证的比例线段（或等积线段）左右两边的方次不同，这往往是由于约去了相同的线段所造成的，因此，应该正确地寻找所约去的线段，才能进一步解决问题。

例13、 已知如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PCB ⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C ，M 为AC 的中点，PM 的延长线交AB 于D 。

求证：2

2PA PC ＝BD AD

例14、 已知如图，AB 、CD 为⊙O 的两条平行弦，过点A 作⊙O 的切线交DC 延长线于E 。 求证：22

AE BD ＝ED AB

例15、 已知如图，ΔABC 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于D 。

求证：DC:DB ＝CA 2:AB 2

例16、 已知如图，ΔABC 内接于⊙O ，⊙O 的弦FG ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D 、E 。 求证：DF DG

EF EG ∙∙＝ 2

2

AB AC