数对顶角有什么方法

数对顶角有什么方法

一、两两相交分类法

例1：已知直线ab、cd、ef是经过点o的三条直线，则图中共有几对对顶角？

分析:根据对顶角的定义可知，任意两条直线相交，可以得到两对对顶角，所以可以从两直线相交上分类寻找对顶角的对数。

解答：（1）直线ab、cd相交于点o，得到∠aoc与∠bod、

∠boc与∠aod两对对顶角。

（2）直线ab、ef相交于点o，得到∠aoe与∠bof、∠aof与∠eob两对对顶角。

（3）直线ef、cd相交于点o，得到∠eoc与∠dof、∠eod与∠cof两对对顶角。

综上可知，图中共有2+2+2＝6对对顶角。

点评：通过这道题，我们不难发现每两条相交直线都存在两对对顶角，所以，三条直线交同一点，所构成的对顶角的对数为2×3

＝6（对）。

推广：由例1可以推广到n条直线相交于同一点，有（n-1）+（n-2）+……+3+2+1＝种不同的两直线相交，所构成的对顶角有对。

二、标数计算法

例2：如图，已知直线a、b、c、d是经过点o的四条直线，则图中共有几对对顶角？

分析：本题是四条直线经过一点，如果采用例1的方法就有些麻

烦，下面介绍一种标数计算的方法。

在图形每相邻两边之间依次标上自然数1、2、3、4、5、6、7、8（如图所示）。

将所标的自然数相加有1+2+3+4+5+6+7+8＝36，然后代入对顶角对数的计算公式：

对顶角的对数＝（所有标注的数字和－3×直线条数）÷2，即可求到对顶角的对数。

解答：四条直线相交于一点，则共得到对顶角对数为［（1+2+

3+4+5+6+7+8）－3×4］÷2＝12。即四条直线过一点可得到12

对对顶角。

点评：通过本题，我们不难发现要想知道对顶角的对数实际上取决于相交直线把平面分成的区域数。

推广：由例2可以推广到n条直线相交于同一点，则共得到对顶角对数为［（1+2+3+……+2n）－3×n］÷2＝［-3n］÷2＝（2n2+n-3n）÷2=（2n2-2n）÷2=n（n-1）（对）。

三、公式法

例3：试探索当有100条直线相交于一点o时，可得到几对对顶角？

分析：通过以上两例我们可知：两条直线交于o点，可得2对对顶角；三条直线交于一点o，共有6对对顶角；四条直线交于一点o ，共有12对对顶角。由此看出，对顶角的对数与直线的条数具有下列关系：

当2条直线交于一点时，可得到2×（2－1）＝2对对顶角；

当3条直线交于一点时，可得到3×（3－1）＝6对对顶角；

当4条直线交于一点时，可得到4×（4－1）＝12对对顶角；进一步，我们可以得到：当5条直线相交于一点时，可得到5×（5－1）＝20对对顶角；

依次类推：

当n条直线相交于一点时，可得到n×（n－1）对对顶角（n是大于1的整数）。

这样，如果平面内有几条直线相交于一点时，要数出对顶角的对数，只要先查出直线的条数n，然后利用n(n－1)计算，就可得到对顶角的对数。

解答 100条直线相交于一点，共有100×（100－1）＝9900对对顶角。