3误差传播定律及应用

阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间 的关系的定律称为误差传播定律。
数字地形测量学
1、倍数的函数
设有函数z=kx z:观测值的函数，x为观测值，k为常数
已知m x m z ?
(1)真误差的关系式为：
z k x
若对x观测了n次则： zi k xi ( i 1,2 n) (2)将上式平方得： 2 k 2 2 (i 1,2 n) (3)求和，并除以n
S m km
水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。
数字地形测量学
3、线性函数
设有线性函数： z k1 x1 k 2 x 2 k n x n 式中x1、x 2、 x n为独立观测值 k1、k 2、 k n为常数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得
2 2 2 2 2 2 2 m z k1 m1 k2 m2 kn mn
2 2 2 k x z ( i 1,2 n)
zi
xi
n
n
(4)转换为中误差关系式 即m k m , mz kmx
2 z 2 2 x
观测值与常数乘积的中误差，等 于观测值中误差乘以常数
数字地形测量学
2、和或差的函数
设有函数z=xy z:观测值的函数，x、y为独立观测值
已知m x、m y m z ? (1)真误差的关系式为： z x y
若对x、y观测了n次则： zi xi yi ( i 1,2 n) 2 2 (2)将上式平方得： 2 2 xi yi (i 1,2 n) z x y
3、独立性的判断
4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式 注意单位的统一
数字地形测量学
误差传播定的几个主要公式：
函数名称 倍数函数 和差函数 线性函数 函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
mz
2 2 2 m1 m2 mn
z x1 x2 xn
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4、一般函数（非线性函数） 设有函数z=f( x1, x2, xn ) xi 为独立观测值
已知m xi m z ?
(1)求偏导真误差的关系式为：
f f f z x1 x2 xn x1 x 2 x n
(2 )转换为中误差关系式：
f 2 2 f 2 2 f 2 2 2 m z ( ) m x ( ) m x ( ) m x 1 2 n x1 x 2 x n
'' m 2 2 mz (sin 2 )m s ( S cos ) 2 ( ) 2 '' 4.4cm
''
注意单位的统一
4、一般函数（非线性函数） 例二：设有函数：Z=X+Y ， Y=3X
Y X 2 2 mZ m2 m X Y 10m 2 X
已知m x mz ? 解：m 3m
数字地形测量学
Digital Topography
武汉大学测绘学院
第七章误差理论与数据处理
7.1 误差理论 7.2 误差传播定律及应用 7.3 权及权倒数传播定律 7.4 数据处理理论基础
数字地形测量学
7.2误差传播定律及应用
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一、误差传播定律 问题的提出：

在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定 观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。 这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误 差而去求观测值函数的中误差呢？
v 4 1mm
mx
解： L x 25.063m
n
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vv
n(n 1)
7mm
二、误差传播定律及应用
2、双观测值及其中误差 对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。 有一组量x1，x2，。。。。Xn，对该量各观测两次， L1‘，L2’，。。。。Ln‘ L1’’，L2’’，。。。。Ln’’ di= 0-（Li‘-Li”）
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4、一般函数（非线性函数）
例一：设有函数z=S•sin
解：
已知 : S 150.11m m S 0.05m
119 45 00
m 20.6 求m z ?
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'
''
z z z s s sin s S cos
z k1x1 k2 x2 kn xn
Z f ( x1 , x2 , xn )
2 2 2 2 2 mz k12 m1 k2 m2 k n mn
一般函数
mZ (
f 2 2 f f 2 2 ) m1 ( ) 2 m2 ( ) 2 mn x1 x2 xn
i i i
(3)求和，并除以n
2z 2x 2y 2 x y (i 1,2n)
n n n n
2 2 mz m2 x my
由于x , y为独立观测值，因此n趋近无穷时，[ΔxΔy] / n = 0
(4 )转换为中误差关系式
两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。
md
dd
n d i Li ' Li ' '
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二、误差传播定律及应用
2、双观测值及其中误差
d i Li ' Li ' ' m 2n
dd
xi ( Li ' Li ' ' ) / 2 M
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dd
4n
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返回
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二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
设未知量的真值为X，观测值的真误差为 i Li X (i 1,2,n) 将上式相加 L
令x n n 时， lim

n
0
xX
1 2 n ( L1 L2 Ln ) nX L L nX X n n L1 L2 Ln 因为 x … n n n m
mY 3m X
2 2 2 m Z m X mY
Z X Y 4X m Z 4m X
m Z 10m X
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注：由于X和Y不是独立观测值
总结
应用误差传播定律求观测值函数的中误差时， 可归纳以下几步： 1、列出函数式 2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真 误差的关系式
mx n
称为算术平均值，是 未知量的最或然值
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算术平均值的中误差为 1 观测值的中误差的 n 倍
二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
同精度观测值中误差公式： m
观测值改正数为： vi x Li
,
n
i
Li X
i vi ( x X )
vv
n n
vv 2v ( x
令x x X
X ) n( x X ) 2
x
2
x 2
v nx L n L L 0
n L x X n n n

2
n2 2
1、算术平均值及其中误差
m
vv
n 1
mx
vv
n( n 1)
例：对某段距离同精度测量了4次
L1 25.066 m L2 25.068m L3 25.056 m L4 25.062 m
试求该段距离的最或然值及其中误差
v xL v1 3mm v 2 5mm v3 7 mm

n2
1 2 1 3 1 n
n2
x x X x ( x
m2

n
)

n
m
m2 m2 x n
vv
n

m n
2
vv
n 1
mx
vv
n(n 1)
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二、误差传播定律及应用
数字地形测量学
2、和或差的函数
当z是一组观测值 x1、x 2、 x n的代数和时 z x1 x 2 x n
2 2 2 mz m2 m m x1 x2 xn
n个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和。
当x1、x 2、 x n为同精度观测值时 设其中误差为m mz m n
n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根 成正比。
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2、和或差的函数
例：在水准测量中设每 测站的观测高差 的中误差相等为m站，A、B两点观测了 n站。求观测高差hAB的中误差？ m hAB
n m站
水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。
例：在水准测量中设每 公里的观测高差 的中误差相等为m km，A、B两点观测了 m hAB S公里。求观测高差hAB的中误差？