第二节 数集 确界原理

如：A 表示全体正整数的集合，则
infA=1, supA=＋∞.
作业 p9. 2,
4 (1) (3).
有限区间都是有界集，无限区间都是 无界集。由有限个数组成的数集是有界集。
定义3 设S是实数集R中的一个数集，
若数 满足： （1）x S,有 x ，即 是S的一个
上界，
（2）a , x0 S, 使 x0 a ，即
是S的最小上界，
则称 是S的上确界，记作supS.
定义3 设S是实数集R中的一个数集，
设p=2k，得q2=2k2，
于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。
第二节 数集 确界原理
一、区间与邻域
(a,b), [a,b], (a,b], [a,b)
(, a), (, a], (a,),[a,), (,)
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
(2) a sup S，即 a sup S,
则 x0 S,使 x0 a, 即 x0 a.
而 x0 S .
综合（1）（2）命题得证。
若数集S无上界，则定义+ ∞为S的非 正常上确界，记着supS=+∞.
若数集S无下界，则定义－∞为S的 非正常下确界，记着inf S=－∞.
推广的确界原理：任一非空数集必有上、 下确界（正常的或非正常的）。
若数 满足： （1）x S, 有x ，即 是S的一
个下界，
（2）a , x0 S, 使 x0 a ，即
是S的最大下界，
则称是S的下确界,记作infS.
注 1 （2）也可写成： 0, x0 S, 使
x0 (上确界) 或 x0 （下确界）
注2 确界若存在，则必是唯一的，且
4 A,B为非空数集，A+B={z|z=x+y,x∈A,y ∈B},则
sup(A+B)=supA+supB,
inf(A+B)=infA+infB.
证3： S { x | x S},则inf S sup S.
(1) x S ，则 x S，故 x sup S, 即 x sup S.
例2：S2
{1, 1 , 1 , 23
, 1 , n
},证明：inf
S2
0,sup
S2
1.
证： x S2 ,显然有 0 x 1.
(1) 若 1, 则取 x0 1 S2 ,有 x0 . 故 sup S2 1.
(2) 若 0,分两种情况讨论。
() 若 1, 取x S2 ,有x .
（1）x
S , 有x
n.n1n2
nk
1 10k
;
(2) ak S,使 ak n.n1n2 nk .
无限进行下去，得到实数 n.n1n2 nk .
现在证明 = supS. 为此要证：
（）x S,有x ;
（） ,x S,使 x.
若（）不成立，即x S,有x ,
则可以找到x的k位不足近似xk ,使
再证 supA= 2 .
b
(1)x A, 则x 2.
x0 2
（2）若b< 2 , 分两种情况考虑。
()若b 0, 则x A,有x b.
()若0 b 2, 取x0为大于b小于 2的有理数，
则b2 x02 2, 即x0 A,但x0 b. 故sup A 2.
显然上确界不是有理数。
;
(2) a1 S,使 a1 n.n1 .
对[n.n1
,
n.n1
1 )作10等分， 10
则存在0，1，2, … , 9中的一个数 n2 ，使
（1）x
S , 有x
n.n1n2
1 102
;
(2) a2 S,使 a2 n.n1n2 .
继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在
0,1,2,3,…,9中的一个数 nk ，使
(a,
a
),
U
o
(a;
)
(a
,
a
)
邻域：U（） {x | x M , M为充分大的数}，
邻域：U（ ） { x | x M , M为充分大的数}，
邻域：U（ ） { x | x M , M为充分大的数}，
二、有界集、确界原理
定义1 设S是实数集R中的一个数集，若存在
数M，使得对一切的x∈S, 都有 x M
例2 P4, 习题3。
0，有 | a b | ,则a b.
证： 若 a b,不防设a b,
取 a b 0,则 | a b | a b
矛盾！ 同理可证a<b也不可能。
故 a=b.
例3 证明 2是无理数。
证 设 2 p ,其中p、q为既约分数， q
则
2q2=p2，
这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p 是奇数，则p2是奇数），
证：仅证上确界的结论。 不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找
到非负整数n,使得：
（1）对于任何x∈S,有x<n+1；
(2) 存在a0 S,使 a0 n.
对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9,
则存在0，1，2, … , 9中的一个数 n1 ，使
（1）x
S
,
有x
n.n1
1 10
则称S为有上界的数集，称M为S的一个上
界。
定义2 设S是实数集R中的一个数集，
若存在数L，使得对一切的x∈S, 都有
x L,则称S为有下界的数集，称L为S的一个
下界。
若S为既有上界、又有下界的数集，则称S 为有界集。
若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。
若S有上（下）界，则一定有无限多个上（下）界。
() 若0 1,
取n0
[1
]
1,
则x0
1 n0
[
1
1 ]
1
1 1
.
故 inf S2 0.
例3：S有上确界，则 sup S S max S. S有下确界，则 inf S S min S.
证：仅证下确界的情况。
必要性：
inf S,故x S, x . 而 S,故 min S.
若对于任意的数M，都存在一个
x0∈S,使得 x0>M, 则称S是一个无上
界的数集。
请同学写出“S是无下界的数集”的定义。
如：S1 { x | x n!,n N }
有下界（可取1），无上界。
S2
{x
|
x
1
1 2n
,n
N }
下界可取1/2，上界可取1。
S3
{x |
x
sin t,
2
t
}
2
下界可取-1，上界可取1。
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U(a； ) {x | x a } (a ,a )
a
a
a x
点a的去心的邻域 :
Uo(a； ) { x | 0 x a }
右邻域： U (a; ) [a,a )
左邻域： U (a; ) (a ,a]
U
o
(a;
)
确界，并证明上确界不属于有理数集.
证： 首先证明inf A 0,sup A 2.
先证 infA=0.
(1)x A, 则x 0.
0 x0
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a
（2）若a>0, 分两种情况考虑。
()若a 2, 则x A,有x a.
()若0 a 2, 取x0为大于0小于a的有理数， 则x02 a2 2, 即x0 A,但x0 a. 故infA=0.
xk
k
n.n1n2
nk
1 10k
,
从而
x
n.n1n2
nk
1 10k
,
矛盾！
于是（Ⅰ）得证。
现在假设 ,则存在k,
使的k位不足近似k k ,
即 n.n1n2 nk k .
由的构造，x S,使x k , 从而
x k k . 即 x .
于是（Ⅱ）得证。
例4： 求A={x|x>0, x2<2, x 是有理数}的上下
infS supS (仅当S是单点集时，等
号成立）。 注3 确界不是最大、最小值。 注4 数集S的确界可能属于S,也可能不属
于S,何时属于S,见例3。
例1：S1 {x | x n!,n N } 证明：inf S1 1.
证： 显然，x S1, 有x 1.
若 a>1, 取 x0 1!, 则x0 a. 故 inf S1 1.
充分性：
设 min S，则 S,
设 min S，则 S,
(1)x S, x , (2)若a , 取x0 S,有x0 a.
由(1) (2)得 inf S.
定理（确界原理） 设S是实数集R中 的非空数集，若S 有上界，则S必有上确界； 若S有下界，则S必有下确界。
确界原理说明了实数集是完备的 （连续的），这一性质是实数集和有理 数集的本质区别。
确界的运算性质：
1 A,B为非空数集，若x∈A,y ∈B.有x y. 则 supA infB.
2 A,B为非空数集，S=A∪B, 则
supS=max{supA,supB},
infS=min{infA,infB}.
3 S ={x|-x ∈S}.则 supS =-infS, inf S =-supS.