阻尼振动的探究
阻尼振动的探究
摘要：
以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。
关键词：
阻尼振动阻尼系数衰减
Research on damped vibration
Huangyihang
Abstract:
This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.
Keyword:
damped vibration damping coefficient attenuation
简谐运动又叫做无阻尼自由振动。但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，
所以它的能量将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。
分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即
F=?kx
由牛顿第二定律，可得
m ?2x
=?kx→
?2x
+
k
x=0
此微分方程的通解为
x=A cos k2
2
t+φ
给定初始值，弹簧在t=0时，x=x0，dx
d t
=0,则此微分方程的解为
x=x0cos?(k2
2
t)
弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点x0距离，即弹簧被拉长x0(x0>0)。而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？
由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：
f r=?γv=?γ
?x
γ为正比例常数。则此时，上面所列弹簧振子的运动方程应为：
m ?2x
2
=?kx?γ
?x
考虑此方程，令ω02=k
m 2β=γ
m
。可知ωo即为弹簧振子在无阻力振动时的角频率，称β为
阻尼系数，如此可得：
?x2
2+2β
?x
+ω02x=0
此微分方程通解为：
x t=Ae ?β+ β2?w02 t
+Be ?β? β
2?ω02 t
A,B由弹簧振子的初始值，即t=0时的x，dx
d t
值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动景象如何。下面以β与ωo的大小关系分为三种情况考虑。
β<ωo时，可将通解化为如下形式：
x(t)=A0e?βt cos?(ωt+φ0)
其中ω= ω02?β2
而A0,φ0由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像，大致如下
β=ω0时，微分方程的解为
x(t)=A1+A2t e?βt
而A1A2值由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像大致如下：
β>ωo时，微分方程的解为
x t=(Ae β2?w02 t
+Be ? β
2?ω02 t
)e?βt
β为阻尼系数，当β<ωo，即阻尼系数较小时，这种阻尼作用称为欠阻尼。欠阻尼下，弹簧作振幅逐渐减小的振荡性周期运动。β≥ωo时，弹簧振子将不做周期运动，而是作幅度逐渐衰减的运动，一定时间后，弹簧振子回到平衡位置。β=ωo，称为临界阻尼。β>ωo称为过阻尼。由欠阻尼和过阻尼的图像比较，同时观察过阻尼情况下的弹簧振子运动方程可知。临界阻尼时衰减最快，阻尼系数越大时，衰减越慢。下面考虑另一阻尼振动例子。
LC振荡电路中，加入电阻，即LCR电路的振荡是阻尼振荡电路。因此LCR电路的振荡也是一个阻尼振动的例子。分析此电路，电路中电流为：
i=?c ?u c ?t
则电阻上电压为：
u R=?cR
?u C 电感上电压为：
u L=?Lc ?u
c 2?t2
由KVL得：
?2u c ?t2+
R
L
?u c
?t
+
1
Lc
u c=0
令2β=R
L ω02=1
LC
，可得到：
?2u c
2
+2β
?u c
+ω02u c=0
观察可知此式子与有阻力的弹簧振子的振动方程，具有完全一样的形式。故可知其中电容上的电压也有欠阻尼振动，过阻尼振动与临界阻尼振动。考虑一实际例子。电路中参数如下：
电容上初始电压为10V，电路中电流初始为0，电阻与电感上都无初始电压值。电阻分别取600欧姆，2000欧姆，4000欧姆，8000欧姆。电容为1μF，电感为1H。计算可得1
LC
为1000000。
因此，当电阻为600欧姆时，为欠阻尼；2000欧姆时为临界阻尼；4000及8000时为过阻尼。四种电阻情况，亦即四种阻尼系数情况下，RLC电路中电容上电压的变化有四个不同的函数。在一个图中做出四种情况下电压随时间的变化图像如下：
R，600时，U=(0.00524?)((300?953.93?)?(?300?953.93?)t?(300+953.93?)?(?300+953.93?)t) R, 2000时，U=10??1000t(1+1000t)
R,4000时，U=?0.00289(267.95??3732.05t?3732.05??267.95t)
R,8000时，U=?0.00129(127.02??7872.98t?7872.98??127.02t)
由RLC振荡电路的阻尼振动的图像中也可看出，在非欠阻尼的情况下，阻尼系数越大时，衰减越慢。
由弹簧振子及RLC电路两个阻尼振动的例子可以看出，当两个振动系统的初始值如下：U或X在t=0时刻是有一正值，而t=0时刻，两者的一阶导数为0 阻尼振动的衰减，是阻尼系数越大衰减越慢。这似乎不合情理，应该是阻尼系数越大，振动时阻力越大，系统对外做功的功率越大，则衰减越慢。但从图像中可以看出，实际情况是阻尼系数越大，衰减越慢。因此，实际阻尼振动系统的衰减不能如上简单的分析。
上面的弹簧振子的阻尼振动例子中图像所反映的衰减是初始值为振子有一定位移，而速度为0的阻尼振动的衰减。分析在这种情况下的弹簧振子的运动情况，从0时刻起，由于弹簧弹力作用，振子有了加速度，速度开始从0增加，从能量转换的角度看是势能在转换为动能。但由于是阻尼振动，弹簧在运动中随速度的增加，阻力也变大，弹簧克服阻力做功，在此过程中有动能损失掉了。即由于阻力的影响，由势能转换来的动能渐渐损失了。在不同的阻尼系数情况下，由下式
m ?2x
?t2
=?kx?γ
?x
?t
可看出阻尼系数越小，振子的加速度就会越大，速度越大，振子的位移减小的就会越快，反映在图像上就是曲线更快的靠近x轴。也就是说，阻尼系数越小弹簧振子的势能转换为动能就越快。而由微分方程的解可看出当阻尼系数大于等于临界阻尼时，弹簧振子的势能就是一直减小到0。而阻尼振动的能量损失是动能的损失，而动能越大时能量损失的速度也越快。因此，对于初始能量一样的振动系统，当势能转换为动能越快时，动能的值就越大，能量损失的速度就越快。因此，阻尼系数越大，衰减反而越慢了。
而上述RLC电路例子中，阻尼系数大也就是电阻越大。初始时电流为0，电容上有一初始电压。然后，电流开始从0增大。RLC电路中能量的损失，就是电流对电阻做功引起的能
量损失。由P R=I2R可知，电流变大对功率变大的做到贡献比电阻变大对功率变大做的贡献要大的多，即电流大时能量损失快。而在电容电感不变，只有电阻变大的情况下。电流变大的速率明显慢了下来，电流比较小。从而能量损失也就变慢了。振荡的衰减也就慢很多。而阻尼系数较小，即电阻值较小时，电流变化较快，电流较阻尼系数大时的电流大，从而能量损失变快，衰减变快。
同时，可以观察在初始值为如下情况时的振动图像：
U或X在t=0时刻为0，而t=0时刻，两者的一阶导数为一值以上述RLC电路为例，取初始时，电容上电压为0，电路中电流为10。则不同电阻情况下图像如下。
电阻为4000及8000欧姆时的过阻尼情况下：
其中8000欧姆时为峰值较小的曲线。从0到峰值时，电流从初值减小为0，电容上电压从0到峰值。可以看出，阻值大时，最后的电压峰值较小，即能量损失大。而这是因为两情况下，初始时电流为一定值，而电流大时能量损失大一些，阻值大时，电流变化慢些，电流较大的时间比较多，故电阻大时能量损失大。而达到峰值后，电阻大时电压的变化较为缓慢。即电流值比较小，其由于阻值大，电流变大也慢一些，电流比较小，能量损失也比较慢。电阻小时，电流变化较大，电流较大，所以衰减快。
参考文献：
《大学物理学第四册波动与光学》张三慧主编清华大学出版社
《电路》原著邱关源修订罗先觉高等教育出版社
阻尼振动与受迫振动 实验报告
《阻尼振动与受迫振动》实验报告 一、实验目的 1． 观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； 2． 研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象； 3． 观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二、实验原理 1． 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J ，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k ，弹簧的反抗力矩为-k θ。忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为 220d d J k dt dt θθγθ++= 记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=k/J ，定义阻尼系数β =γ/（2J ），则上式可以化为： 2220d d k dt dt θθ βθ++= 小阻尼即22 00βω-<时，阻尼振动运动方程的解为 ( )) exp()cos i i t t θθβφ=-+ （*） 由上式可知， 阻尼振动角频率为d ω=阻尼振动周期为2d d T π ω= 2． 周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为 22cos d d J k M t dt dt θθγθω++= ()( )) ()exp cos cos i i m t t t θθβφθωφ=-++- 这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。 一般t >>τ后，就有稳态解 ()()cos m t t θθωφ=- 稳态解的振幅和相位差分别为 m θ=
22 02arctan βω φωω =- 其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。 3． 电机运动时的受迫振动运动方程和解 弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成 ()cos m t t ααω= 式中α m 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧总转 角为()cos m t t θαθαω-=-。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为 ()22cos 0m d d J k t dt dt θθγθαω++-= 也可以写成 22cos m d d J k k t dt dt θθγθαω++= 于是得到 2 m θ= 由θ m 的极大值条件0m θω? ?=可知，当外激励角频率ω=系统发生共振， θ m 有极大值 α 引入参数(0ζβωγ==，称为阻尼比。 于是，我们得到 m θ= ()() 02 02arctan 1ζωωφωω=- 三、实验任务和步骤 1． 调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2． 测量最小阻尼时的阻尼比δ和固有角频率ω0。 3． 测量阻尼为3和5时的振幅，并求δ。 4． 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。 四、实验步骤。
第四节有阻尼的自由振动
第四节有阻尼自由振动 （Damped Free Vibration） 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。 一、粘性阻尼（Viscous Damping） ------------- 最常见的阻尼力学模型 在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。粘性阻尼力与相对速度成正比，即 =& F cx F--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度 ? c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m
二、粘性阻尼自由振动 () k x ?+ 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。由牛顿运动定律，得运动方程 mx cx kx ++= &&&（2-10） 设方程的解为 ()st x t Ae = 代入式（2-10），得 2 ()0 st ms cs k Ae ++= 因为0 A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为 20 ms cs k ++=（2-11） ------ 系统的特征方程（频率方程） 它的两个根为 1,22 c s m =-±（2-12）
则方程（2-10）的通解为 1211212s t s t c t m x A e A e e A A e =+?? ?=+ ??? （2-13） 式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件 00(0),(0)x x x x ==&& 确定。显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于 是实数、零，还是虚数。 当 2 02c k m m ??-= ??? 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。因此 02n c m ω== 令 02n c c c c m ζω=== 叫做阻尼比。 ∵ 022n c c m m ζζω==
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m θ=2202arctan βωφωω=-其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。3．电机运动时的受迫振动运动方程和解弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成 ()cos m t t ααω=式中αm 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧总转角为。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为()cos m t t θαθαω-=-()22cos 0m d d J k t dt dt θθγθαω++-=也可以写成 22cos m d d J k k t dt dt θθγθαω++= 于是得到m θ=由θm 的极大值条件可知，当外激励角频率时， 0m θω ??=ω=系统发生共振，θm 有极大值。α 引入参数，称为阻尼比。(0ζβ ωγ==于是，我们得到 m θ=()()0202arctan 1ζωωφωω=-三、实验任务和步骤 1．调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2．测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。进行隔开处理；同一线槽内人员，需要在事前掌握图纸电机一变压器组在发生内部
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阻尼振动和受迫振动实验报告 工程物理系 郑吉家 2014011785 一、实验目的 1.观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； 2.研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象； 3.观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二、实验原理 1.有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J ，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k ，弹簧的反抗力矩为-k θ。忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为 220d d J k dt dt θθγθ++= 记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=k/J ，定义阻尼系数β=γ/（2J ），则上式可以化为： 2220d d k dt dt θθβθ++= 小阻尼即2200βω-<时，阻尼振动运动方程的解为 ()() 220exp()cos i i t t t θθβωβφ=--+ （*） 由上式可知，阻尼振动角频率为220d ωωβ=-，阻尼振动周期为2d d T πω= 2.周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为 22cos d d J k M t dt dt θθγθω++= ()()() ()220exp cos cos i i m t t t t θθβωβφθωφ=--++- 这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。一般t >>τ后，就有稳态解 ()()cos m t t θθωφ=- 稳态解的振幅和相位差分别为 ()22 222 0/4m M J θωωβω=-+
阻尼振动与受迫振动实验报告
阻尼振动与受迫振动实验报告 一、实验目的 （一）观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 （二）研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼的情况下的共振曲线（即幅频特性曲线）。 （三）描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。 （四）观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二、实验仪器 扭摆（波尔摆）一套，秒表，数据采集器，转动传感器。 三、实验任务 1、调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。 2、测量最小阻尼时的阻尼比ζ和固有角频率ω0。 3、测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，并求ζ、τ、Q和它们的不确定度。 4、测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。 四、实验步骤 1、打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E和摇杆M使摆轮处于平衡位置。然后拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。正常情况下，震动衰减应该很慢。 2、开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大到小依次读取显示窗中的振幅值θj；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，停止时读取数据10 T。 d 并立即再次启动周期测量，记录每次过程中的10 T的值。 d （1）逐差法计算阻尼比ζ； （2）用阻尼比和振动周期T d计算固有角频率ω0。 3、依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。求出ζ、τ、Q和它们的不确定度。 4、开启电机开关，置于“强迫力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和步骤3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。要求每
试验十三阻尼振动的研究
实验十三 阻尼振动的研究 实验目的 1．研究振动系统所受阻尼力和速度成正比时，其振幅随时间的衰减规律。 2．测量振动系统的半衰期和品质因数。 3．测量滑块儿的阻尼常数。 实验仪器 气垫导轨，滑块儿，光电计时装置，弹簧两组，附加物4块，天平，秒表等。 实验原理 简谐振动是一种振幅相等的振动，它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上，阻尼力不可避免，而抵抗阻力做功的结果，使振动系统的能量逐渐减小。因此，实验中发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。如果物体的速度v 不大，实验结果证明，阻尼力f 和v 成正比而方向相反。设物体在x 轴上振动，则 dt dx v f αα?=?= （2－13－1） 式中α为阻尼常数。 气垫导轨上，滑块儿和弹簧组成的振动系统，在空气阻力作用下，作的是阻尼振动。若质量为m （包含档光片）的滑块儿，在弹力－kx 、阻尼力dt dx α?的作用下产生的加速 度为2 2 dt x d ，由牛顿第二定律得 dt dx kx dt x d m α??=22 （2－13－2） 式中k 为弹簧的倔强系数。令m k =2 0ω，m αβ=2， （2－13－2） 式改写成 022 02 2=++x dt dx dt x d ωβ （2－13－3） 式中β为阻尼因数；0ω为振动系统的固有的圆频率。当2 02ωβ<时，（2－13－3）式的 解为 )cos(0o f t t e A x ?ωβ+=?? （2－13－4） 公式（2－13－4）称为阻尼振动方程，其中220βωω?=f 为振动的圆频率，A 0、0?分别为振幅和初相位。由此可见，滑块儿作阻尼振动时，振幅应按指数规律衰减，衰减的快慢取决于β。阻尼振动的周期
阻尼振动与受迫振动实验论文
阻尼振动与受迫振动实验论文 王& （清华大学工程物理系&&&，中国，北京123456） （收稿日期：2014-05-25） 摘 要 此次实验借助波尔振动仪研究阻尼振动和受迫振动的特性，通 过改变外激励的周期来改变受迫力频率来观察不同，并绘制幅频和 相频特性曲线。 关键词 振动 阻尼 外力 振幅 相位差 引 言 振动是自然界最普遍的运动形式之一，是物理量随时间做周期 性变化的运动。阻尼振动和受迫振动在物理和工程技术中得到广泛的重视。本实 验借助波尔振动仪研究机械阻尼振动和受迫振动的特性。 一 实验目的 1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； 2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象； 3．观测不同阻尼对受迫振动的影响。 二 实验原理 1.有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧和摆轮组成一振动系统，设 摆轮转动惯量： J 粘滞阻尼的阻尼力矩： 角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积 弹簧劲度系数为： k 弹簧的反抗力矩为： -k θ。 忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方 220d d J k dt dt θθγθ++= (1) 记无阻尼时自由振动的固有角频率:ω0，其值为ω0=k/J ， 定义阻尼系数: β=γ/（2J ），则上式可以化为： 2220d d k dt dt θθβθ++= （2） 小阻尼即2200βω-<时，阻尼振动运动方程的解为 ()() 220exp()cos i i t t t θθβωβφ=--+ （3）
由上式可知，阻尼振动角频率为220d ωωβ=-，阻尼振动周期为2d d T πω= 2.周期外力矩作用下受迫振动的解 在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为 22cos d d J k M t dt dt θθγθω++= （4） ()()() ()220exp cos cos i i m t t t t θθβωβφθωφ=--++- （5） 这可以看作是状态（3）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的 叠加。 稳态解 ()()cos m t t θθωφ=- （6） 稳态解的振幅和相位差分别为 ()22222 0/4m M J θωωβω=-+ （7） 2202arctan βωφωω =- （8） 其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的 振动。 3.电机运动时的受迫振动运动方程和解 弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成 ()cos m t t ααω==r cos wt R （9） 式中αm 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧 总转角为()cos m t t θαθαω-=-。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运 动方程为 ()22cos 0m d d J k t dt dt θθγθαω++-= （10） 也可以写成 22cos m d d J k k t dt dt θθγθαω++= （4’） 于是得到 ()2 022 222 04m m αωθωωβω=-+ （7’） 由θm 的极大值条件0m θω??=可知，当外激励角频率220 2ωωβ=-
气垫导轨上的阻尼振动的研究
气垫导轨上阻尼振动的研究 摘要：气垫导轨实验中，理论上是无摩擦的，但实际上是存在许多阻尼因素。本实验研究了振动系统的半衰期，阻尼振动的平均寿命，品质因数以及滑块的阻尼因数。 关键词：气垫导轨；阻尼因数；品质因数;半衰期;阻尼振动的平均寿命 Study on damped vibration on air track Abstract :In the air track experiment, In the theory there is no friction, but in fact there are a lot of damping factor.The experimental study of the vibration system of the half-life ,the average life expectancy of damping vibration, quality factor and damping factor of the slide block . Key words: air cushion guide; damping coefficient; quality factor; half-life ；the average life expectancy of damping vibration 前言 气垫导轨是大学实验中一种常用仪器，理论上是无摩擦的，但实际上是存在许多阻尼因素，往往不能忽视，因此我们研究以减小实验误差。 简谐振动是一种振幅相等的振动，它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上，阻尼力不可避免，而抵抗阻力做功的结果，使振动系统的能量逐渐减小。因此，实验中发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。 本实验用了气垫导轨，气源，滑块儿，光电计时装置，弹簧两组，附加物4块，天平，秒表等来研究。 1主要研究内容 原理 如果物体的速度v 不大，实验结果证明，阻尼力f 和v 成正比而方向相反。设物体在x 轴上振动，则 dt dx v f α α-=-= （13－1） 式中α为阻尼常数。 气垫导轨上，滑块儿和弹簧组成的振动系统，在空气阻力作用下，作的是阻尼振动。若质量为m （包含档光片）的滑块儿，在弹力－kx 、阻尼力 dt dx α -的作用 下产生的加速度为2 2 dt x d ，由牛顿第二定律得 dt dx kx dt x d m α --=22 （13－2） 式中k 为弹簧的倔强系数。令 m k = 20 ω ， m αβ= 2，（2－13－2） 式改写成
阻尼振动
阻尼振动 吴劲秋 0804010421 土木四班 不论是弹簧振子还是单摆由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。 系统能量的消耗通常有以下两种途径：一是由于外界或系统内部的摩擦阻力使振动能量转换为热能；二是由于振动向外传播，以波的形式向外辐射能量，这两种情况分别称为摩擦阻尼和辐射阻尼。一般机械振动中能量的损耗原因主要是摩擦阻尼。 按牛顿第二定律，物体的运动方程： dt dx kx dt x d m γ--=22。 进一步化简： 022 022=++x dt dx dt x d ωβ。 其中ω0是无阻尼振动时振子的固有频率，它由振动系统的性质决定，β称为阻尼系数（damping coefficient ）。 根据租你的大小的不同，可解出三种可能的运动情况：β<ω0，微分方程的解为： （1）在阻尼较小时，即 )cos(00?ωβ+=-t e A x t 其中 220βωω-= 显然阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期运动。但在小阻尼的情况下，我们把t e A β-0看作随时间变化的振幅，这样阻尼振动就可以看做振幅按指数规律衰减的准周期振动，振动的周期T 为振动物体相继两次通过极大（或极小）位置所经过的时间： 22 022βωπ ωπ -==T 上式表明了，阻尼振动的周期比系统的固有周期要长。且阻尼系数β越大，振幅衰减得越快。
ω时物体不能完成一个周期运动，将缓慢回到平衡位置，（2）若阻尼过大，即β>0 再就不运动了，这种情况称为过阻尼。 ω，对应的是振子刚好从准周期振动转变为非周期运动的临界（3）若阻尼系数β=0 点。这是阻尼称为临界阻尼，与前两种情况相比，在临界阻尼的情况下，物体从运动到静止 在平衡位置所经历的时间最短。 通过对阻尼的研究和不断深入的了解，人们应用阻尼发明了很多有利于生产生活得装 置。 阻尼器是安置在结构系统上的“特殊”构件可以提供运动的阻力，耗减运动能量 的装置。他是用来减震的装置，在航天、航空、军工、枪炮、汽车等行业中早已应用 各种各样的阻尼器(或减震器)来减振消能。从二十世纪七十年代后，人们开始逐步地 把这些技术转用到建筑、桥梁、铁路等结构工程中，其发展十分迅速。而在结构中的 引进打破了人们加梁、加柱以防震的理念。从而也实现了高层建筑的减震，使人类建 筑的高度提高不少，现在基本每个高层建筑都会在顶部安装阻尼减震器，从而防范突 然地地震台风的自然灾害，且效果很好。 不光是在航天、建筑上可以看到阻尼的身影，在电学中也可以找到阻尼的身影。 为了有效吸收整流变压器二次回路的高次谐波成分，防止输出回路发生谐振，有效保护整流 变压器，在整流变压器输出端必须设置阻尼电阻。在任何情况下，绝对不允许将整流变压器 输出不经阻尼电阻直接与电场相连。电除尘器整流变压器匹配阻尼电阻的参数大小，目前国 家还没有统一标准。阻尼电阻的额定功率一定要大于其阻值和二次额定电流平方的乘积，并 且要留有一定的安全余量。众所周知，阻尼电阻彻底断开将导致“输出开路”，电场将掉闸， 这种情况十分明显，很好判断。但是当阻尼电阻末端或中间某处脱落，电阻丝末端接近“地” 时，从该处对地产生电晕放电，表计反映结果与电场正常运行十分类似。检查设备时要仔细 听放电声，如果在阻尼电阻处有放电现象，要及时处理。 而将固体机械振动能转变为热能而耗散的材料，主要用于振动和噪声控制。材料 的阻尼性能可根据它耗散振动能的能力来衡量，评价阻尼大小的标准是阻尼系数。导 弹、运载火箭和飞机在飞行时，由于发动机工作和气动噪声等原因，会引起严重的宽 频带随机振动和噪声环境，还会激发结构和电子控制仪器系统众多的共振峰，使结构 出现疲劳失效和动态失稳，使电子控制仪器精度降低以至发生故障。统计数字表明， 火箭的地面和飞行试验故障约有三分之一与振动有关，而结构材料的阻尼性能不佳是
第三章----单自由度有阻尼系统的振动
第三章 单自由度有阻尼系统的振动 3—1 阻尼的作用与分类 前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。 阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼： 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。 2.粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间 产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系 数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度 在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2 x b F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。 3.结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3－2具有粘性阻尼的自由振动 单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－ 式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
阻尼振动
阻尼振动是否具有“周期性”和“等时性” 简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时，振动过程中系统的机械能守恒，所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变，这种振动称为无阻尼振动。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于要克服阻力做功，振动系统的机械能不断减少。同时振动系统与周围介质相互作用，振动向外传播形成波，随着波的传播，系统的机械能不断减少，因此振幅也逐渐减小。这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动，阻尼振动的图象如 图1所示。 学生学完这节内容后，存在两方面疑问：一是阻尼振动是否具有“周期性”，二是阻尼振动是否具有“等时性”（振子连续两次通过平衡位置的时间间隔相同）。这两个问题教材没有涉及，在图象中也不能反映出来，但是课后有些学生会提出，有些资料中也会出现相 关的问题。 一、定性分析 要想知道阻尼振动是否具有“周期性”，首先要知道什么是机械振动的周期。人教版高二《物理》教材（必修加选修）中对周期的定义是这样的：物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期。在周期的定义中存在全振动这个概念，全振动是指做机械振动的物体从某个点出发，等到下次回到该点时的运动状态和开始振动时的运动状态完全相同，且所用时间最短。所以能重复原来的运动状态（位移、速度、加速度等）的机械振动才是全振动，非等幅的阻尼振动不是全振动，所以它是没有周期的。 关于阻尼振动是否具有“等时性”，有两种不同的说法。第一种说法认为具有“等时性”，理由是阻尼振动的振幅虽然在不断减小，但可以看成是由很多个振幅不断减小的简谐运动的叠加，由于简谐运动具有等时性，它的周期与振幅无关，所以阻尼振动和简谐运动的相位是一致的，节奏也是相同的，所以具有“等时性”。第二种说法认为不具有“等时性”，理由是物体做阻尼振动时，由于机械能的损失。振子前后两次通过同一点时，后一次的速度肯定比前一次的小。这样，从平衡位置到达最大位移处的平均速度总比返回时的平均速度大，所以回来就变慢了，对应的时间也就长了。按这种推理，阻尼振动的振动节奏会变得越来越慢，最后停止下来，周期变为无穷大，所以不具有“等时性”。 二、定量分析 以上是对阻尼振动所做的定性分析，接下来我们做定量分析。
课堂探究一、阻尼振动与简谐运动的比较现实生活中的振动几乎都是
课堂探究 一、阻尼振动与简谐运动的比较 现实生活中的振动几乎都是阻尼振动，原因就在于振动中始终受到空气阻力的作用，系统克服阻力做功，机械能不再守恒，像挂钟不上发条，钟摆就会停下来。简谐运动是不受阻力的运动，不会损失机械能，是一种理想模型。下面就两种运动对比一下： 物体做阻尼振动时，振幅不断减小，但是振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化，用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。 二、如何理解共振曲线？ 如图所示的共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系：当驱动力的频率f偏离固有频率f固较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率f等于固有频率f固时，受迫振动的振幅最大。 共振曲线可以这样理解：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。但是，物体的固有频率在振动过程中也起着很大的作用，如果驱动力的频率与物体的固有频率相差较大，虽说物体仍不得不按驱动力的频率做受迫振动，但是物体本身按固有频率振动的力量仍“顽强”地与驱动力进行着“抵抗”，结果导致物体实际振动的振幅很小；如果两者差距越小，这种作用就越弱。当驱动力的频率恰好等于物体的固有频率时，两种力
量不仅没有互相削弱，反而“配合默契”，使物体振动的振幅大大提高，出现共振现象。也可以从能量积累的观点解释共振现象的原因，当物体的固有频率和驱动力频率相同时，使得驱动力若与物体按固有频率的振动同步时，驱动力时时刻刻都对物体做正功，从而使物体能量达到最大的稳定状态，形成共振。 受迫振动的频率总等于驱动力的频率，和物体的固有频率无关。当驱动力的频率等于物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象即叫做共振。 类型一对阻尼振动的理解 【例1】如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是()。 A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能 B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能 C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能 D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能 解析：该题考查阻尼振动的图象以及能量的转化关系。在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使动能逐渐转化为内能，C项错误，D项正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减少，但在振动过程中动能和势能仍在不断地相互转化。由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等。A项错误，B项正确。 答案：BD 题后反思：机械能E等于动能E k和势能E p之和。即E＝E k＋E p，阻尼振动中，E减小，但动能和势能相互转化。当E p相等时，E k不相等。而从振动图象上，可以确定E p的关系。 类型二对共振曲线的理解 【例2】如图为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长。 解析：根据图象和共振条件，驱动力频率为0.4 Hz，即为单摆的固有频率。再由单摆周
基于matlab的阻尼振动
基于matlab的阻尼振动 孟利平 （船院2009011521） 摘要： 分析单自由度阻尼系统的阻尼系统对其固有振动模态的影响，用传统方法通过matlab实现其振动规律曲线，并改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，改变传统运算算法，使运算简便明了。 关键字：阻尼振动，复数运算，简便 引言： 通过传统方法，用基本公式分析阻尼振动，并根据传统算法编程，用matlab实现其振动规律曲线，并绘制曲线。由于传统计算公式要考虑复数运算，其要避开复数运算，所以程序显得繁琐，改变其中算法公式，用matlab 直接实现其算法，并绘制相应曲线。改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，并用matlab绘制其过渡曲线。 基本知识： 1
不论是弹簧振子还是单摆，由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动．因为振幅与振动的能量有关，阻尼振动也就是能量不断减少的振动．阻尼振动是非简谐运动．阻尼振动系统属于耗散系统。 阻尼振动振动系统因受阻力而作振幅减小的运动。 一.阻尼振动的动力学方程 现象：振幅随时间减小 原因：阻尼 动力学分析： 假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即： 假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即： 阻尼力v 阻力系数C = F- C r 对物块应用牛顿第二定律： 2
3
4欠阻尼2 20δω>过阻尼2 20δω< 临界阻尼 220δ ω=对以上传统公式算法，用matlab 进行编程计算，实现其振动规律曲线，并通过曲线对阻尼振动规律进行分析。所绘图如下： 相应三维图如下：
第一章 4阻尼振动 受迫振动
学案4阻尼振动受迫振动 [学习目标定位] 1.知道阻尼振动和无阻尼振动并能从能量的观点给予说明.2.知道受迫振动的概念．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关.3.理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害． 1．振幅是表示振动强弱的物理量．对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．2．简谐运动是一种理想化的振动状态，没有考虑阻力做功，即没有能量损失．弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断相互转化，机械能守恒(忽略阻力的作用)． 一、阻尼振动 1．系统在振动过程中受到阻力的作用，振动逐渐消逝，振动能量逐步转变为其他能量，这种振动叫做阻尼振动． 2．系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动，称为自由振动，又叫做无阻尼振动．自由振动的频率，叫做系统的固有频率．固有频率由系统本身的特征决定．二、受迫振动 如果用周期性的外力作用于振动系统，补偿系统的能量损耗，使系统持续等幅地振动下去，这种周期性外力叫做驱动力，系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动． 三、共振 驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 一、阻尼振动 [问题设计] 在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力的影响，它们做的振动都属于简谐运动．在实验室中让一个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你知道是什么原因造成的吗？ 答案阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能． [要点提炼] 对阻尼振动的理解
图1 1．系统受到摩擦力或其他阻力作用．系统克服阻尼的作用要消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来，阻尼振动的图像如图1所示． 2．能量变化：由于振动系统受到摩擦阻力和其他阻力作用，系统的机械能随时间减少，同时振幅也在逐渐减小．阻尼越小，能量减少越慢，振幅减小越慢；阻尼过大时，系统将不能发生振动． 3．物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变． 二、受迫振动 [问题设计] 图2 如图2所示，当弹簧振子自由振动时，振子就会慢慢地停下来，怎样才能使振子能够持续振动下去？ 答案有外力作用于弹簧振子． [要点提炼] 1．受迫振动 加在振动系统上的周期性外力，叫做驱动力．系统在驱动力作用下的振动叫做受迫振动．2．受迫振动的周期和频率 物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关(填“有关”或“无关”)． 三、共振 [问题设计] 你知道部队过桥时为什么要便步走吗？ 答案防止共振现象发生． [要点提炼]