偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('

=ϕ，则称0x 是)(x J 的

驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解

证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得 必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有

0),(0=-x b Ax ,

由线性代数结论知,

充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈, 即0x 是)(x J 的驻点. §1-2

补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导

数,由广义导数的定义可知,对于任意

)()(0I C x ∞∈ϕ,有

两式相减,得到

由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.

补充:证明),(v u a 的连续性条件(

证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

||

||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a b

a +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =

习题:

1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:

对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有

则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶

广义导数,并记k

k dx

f

d x g =)(

注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.

2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是

Hilbert 空间.

证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即

因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使

0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明

0||||1→-f f n (关键证明dx

df

g =)

由Schwarz 不等式,有

对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立 由⎰⎰-=b

a n b

a n

dx x x f dx x x f )()()()(''ϕϕ

取极限得到dx x x f dx x x g b

a b

a ⎰⎰-=)()()()('ϕϕ

即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且

故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明非齐次两点边值问题 证明:边界条件齐次化

令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满足齐次边界条件.w 满足的方程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即

w 对应的边值问题为

⎩⎨⎧==-=0

)(,0)('

b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价

求)(min )(,**1

2*1w J w J H C w E

H

w E

∈=∈ 其中),(),(2

1

)(0*

w Lu f w w a w J --=.而

而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β

从而**

)()()(~

)(C b u b p u J w J +-=β

则关于w 的变分问题P 等价于:求

α=∈)(,12*a u H C u

使得

其中)()(),(),(2

1

)(b u b p u f u u a u J β--=

4就边值问题（

解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足

等价于:1

E H v ∈∀

应用分部积分, 还原u ,

于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得

1E H v ∈∀,成立

注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.

5试建立与边值问题 等价的变分问题.

解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到

而⎰⎰-==b a b a b a dx dx

dv

dx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 上式为),(][2222v f dx uv dx

v

d dx u d b a =+⎰

定义dx uv dx

v

d dx u d v u a b a ][),(2222+=⎰,为双线性形式.

变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀ 1-4

1.用Galerkin Ritz -方法求边值问题 的第n 次近似)(x u n ,基函数

n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ

解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且

第n 次近似n w 取为∑==n

i i i n c w 1ϕ,其中)

,...2,1(n i c i =