静电场之等量异号点电荷和电偶极子的电场

在x轴上和y轴上，Ey都为零；在第一和第三象限，Ey与y 方向同向；在第二和第四象限，Ey与y方向反向。
当场点的距离相同时，x轴上的合场强E要大于y轴上合场强。
随着极角的增加，场强的方向角也增加，但是当极角为90° 或270°时，场强方向角发生从180°到-180°的跃变。
等量异号点电荷 在中垂线的中心 产生的场强最大。
{范例9.2} 等量异号点电荷和电偶极子的电场
(2)计算电偶极子电势和电场强度的大小和方向。 [解析](2)电偶极子的电场强度可用场强叠加 y 原理求解，而通过电势梯度求解更简单。
kQ kQ 如图所示，等量异号电荷 U + 在任意点P产生的电势为 r+ r其中，r+ ≈ r - Lcosθ，r- ≈ r + Lcosθ。
E E
y 2 L2
在近处，电偶极子产生 的场强与等量异号点电 荷产生的场强相差很大， 是没有意义的；当|x| > 4L 时，电偶极子的场强与 等量异号的点电荷的场 强就基本重合。
在近处，电偶极子产生 的场强与等量异号点电 荷产生的场强相差很大， 也是没有意义的；当|y| > 3L时，等量异号点电 荷的场强就可当电偶极 子的场强处理。
当θ = π/2时，x = 0，因而U = 0，即：中垂线上的电势为零； 当θ = 0或π时，y = 0，因而U = kqx/|x|3，这是连线上的电势。
{范例9.2} 等量异号点电荷和电偶极子的电场
(2)计算电偶极子电势和电场强度的大小和方向。 y 电偶极子场强的x方向分量为 U x 3x 2 Ex kpe [ 2 2 ] 2 3/ 2 2 5/ 2 x (x y ) (x y ) r2 2 场强的y方向分量如上
O +Q 2L
r θ
r+
当场点比较远时，电偶极子产生的 电势才与等量异号点电荷的电势相 近，因此不求中间部分的电势。
在正电荷附 近，电偶极 子的电势比 较高；在负 电荷附近， 电偶极子的 电势比较低； 在电偶极子 的中垂线上， 电偶极子的 电势为零。
在x轴上，Ex与x方向同向；在y轴上，Ex与x方 向反向；在各个象限，都有Ex为零的角度。
{范例9.2} 等量异号点电荷和电偶极子的电场
(1)两点电荷带有等量异号的电荷±Q，相距为2L，计算等量异 号点电荷在轴线的延长线上和中垂线上的电场强度，求电偶极 子在远处的电场强度。(2)计算电偶极子在远处产生的电势和电 场强度的大小和方向。 [解析](1)如图所示，等量异号点电荷在轴线上的P1点产 生的电场强度的方向相反，合场强沿x轴正向，大小为 E+ y kQ kQ 4 kQxL E1 2 2 这个电荷 ( x L) ( x L) ( x L) 2 ( x L) 2 α E2 P2 系统称电 取pe = Q2L，pe称为电偶极矩， 偶极子。 其方向从负电荷指向正电荷。 E点电荷电量越大，电荷之间的 E1 x O 距离越大，电偶极矩就越大。 +Q P1 -Q 2L 2 kp 2kpe (|x| >> L) 电偶极子在P1正轴上产 E e ( x >> L ) E1 . 1 3 3 生的场强大小可表示为 x | x|
Ey
E α P Ex x
rr θ r+
2kQL cos 于是 U + 2 可得 r ( L cos ) 2
Baidu Nhomakorabea-Q
O +Q 2L
kpe x 用直角坐标 U 电偶极子在远处 U kpe cos 2 2 3/ 2 2 表示电势为 产生的电势为 ( x y ) r 可见：电偶极子的电势与距离的平方成反比，还与方向有关。
当场点P1在负x轴上时，场强方向仍然指向为x轴正向，因此
{范例9.2} 等量异号点电荷和电偶极子的电场
(1)两点电荷带有等量异号的电荷±Q，相距为2L，计算等量异 号点电荷在轴线的延长线上和中垂线上的电场强度，求电偶极 子的电场强度。(2)计算电偶极子电势和电场强度的大小和方向。 等量异号点电荷在y轴的P2点产生的电场强度的大小相等 kQ E+ y 合场强沿x轴负 方向，大小为 α E2 P2 2kQ 2kQL E2 E cos E cos 2 cos 2 E 2 y L E( y 2 L2 )3/ 2 当L << y时，合场强 E kpe E1 x (y >> L) 2 O 3 y 就是电偶极子场强 +Q P1 -Q 2L 当场点P2在y的负半轴上时，场强方向也沿 E kpe (|y| >> L) 2 | y |3 x轴负方向，电偶极子场强可用矢量表示 可见：电偶极矩越大，在轴线上产生的场强越大；当电偶 极矩一定时，在远处产生的场强与距离的三次方成反比。
2 x 2 y
Ey
E
3kpe xy U kpe (2 x y ) 2 Ex , Ey 2 2 5/ 2 y ( x y 2 )5/ 2 (x y )
-Q
α P Ex
x
kpe 2 2 3 x r E E E 合场强为 r4 kpe 2 E 3cos 1 利用x = rcosθ，y = rsinθ，可得 3 r E y 可见：电偶极子的合场强与距离 合场强方向为 arctan Ex 的3次方成正比，还与方向有关。 在距离一定时，连线上的场强最大，中垂 线上的场强最小，最大值是最小值的2倍。