第七章 采样控制系统
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* * n 0
根据拉氏变换的位移定理
L[ (t nT )] e
有:
nTs
0
(t )e st dt e nTs
E ( s) e(nT ) e nTs e(0) e(T )e Ts e(2T )e 2Ts
* n 0
自动控制原理
解：由复数位移定理
Z [e(t )] Z [t e at ] E[ z e aT ] Tz 令e1 (t ) t , 则E1 ( z ) Z [e1 (t )] ( z 1) 2 所以 T z e at Tze aT Z [e(t )] aT 2 ( z e 1 ) ( z e aT ) 2
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z eTS
*
S
1 ln Z T
代入上式得:
n e ( nT ) z n 0
E ( z ) E ( s)
1 s ln z T
E( z) e(0)Z 0 e(T )Z 1 e(2T )Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
z 1 z e aT z e aT
Tz T ( z 1) 2 ( z 1) 2
自动控制原理
蒋大明
Z变换的基本定理
（3）复数位移定理 复数位移定理的含义是：函数e(t)乘以指数序列e 换，就等于在E(z) 中，以 ze
+ aT – aT
的 Z 变
取代原算子 z 。
E ( z ) Z [e(t )]
arg G ( j )
sin( / s ) s / s
ω S=2∏/T
自动控制原理 蒋大明
零阶保持器的频率特性
低通特征： 幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. 相角滞后特性：
-∏ |G0(jω)| ωS 2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180°
注意：不可将
s 1 ln Z T
z z z 1 z e T
直接代入E(s)求E(z)，因为E(s)是连续信号e(t)
的拉氏变换，而Z 变换是对离散的e*(t)而言的。
自动控制原理 蒋大明
举例
求正弦函数e(t) = sinω t 的Z 变换 解：对e(t) = sinω t取拉氏变换得 E ( s )
放大器与 执行电机
电机 转速
燃料 供应阀
阀门 开度
炉
炉温
自动控制原理
蒋大明
其它典型采样控制系统
1. 青藏铁路环境监测系统 2. 微机监测 3. 日本新干线综合安全监测系统 4. 计算机控制系统
自动控制原理
蒋大明
第二节
一. 采样过程
采样过程与采样定理
连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-anT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
1 1 e aT z 1 z z e aT
( nT )( t nT ) e(t ) e(nT ) e ( nT ) e (t nT ) 2 2! nT t ( n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 设Z 变换函数为
0.792z 2 E( z) ( z 1)( z 2 0.416z 0.208 )
试利用终值定理确定e(nT)的终值。
解：
由终值定理
0.792z 2 lim e(nT ) lim( z 1) E ( z ) lim 2 1 n z 1 z 1 z 0.416z 0.208
（2）时移定理
实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 . 左移为超前, 右移为延迟.
E ( z ) Z [e(t )]
则： Z [e(t nT )] Z n E ( z )
n
(延迟）
n 1
Z [e(t nT )] Z [ E ( z ) e(kT ) Z k ]
E ( z ) Z [e (t )] Z [e(nT )]
*
e(nT )z
n 0
n
自动控制原理
蒋大明
2.典型信号的Z变换
（1）单位脉冲函数 （2） 单位阶跃信号 E(z)=1
E ( z) z ( z 1) z 1
（3）单位理想脉冲序列 e(t )
则E ( z )
零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 ( s) 1 1 1 1 1 T [1 e sT ] 1 sT 1 s s e s 1 sT 1 sT
自动控制原理
蒋大明
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
传递函数
频率特性: 幅频特性： 相频特性: 其中:
jT 1 e jT 2 2 G0 ( j ) sin(T / 2) e j
G0 ( j ) T
sin( / s ) 2 sin( / s ) ( / s ) s ( / s )
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一
致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
自动控制原理 蒋大明
3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ (t) , R(s)=1 gh(t)=1(t)-1(t-T) 理想单位脉冲 单位脉冲响应
TS
1 1 1 e Gh ( s) L[ g h (t )] e TS S S S
k 0
(超前）
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 试计算 e 解：由时移定理
a ( t – T )
的Z 变换，其中a为常数。
Z [e a ( t T ) ] z 1 z[e at ] z 1
例: 已知e(t) = t -T，求E(z)。 解：由时移定理
Z [e(t )] Z [t T ] z 1 Z [t ] z 1
Z[e(t ) e at ] E( z e aT )
（4）终值定理 E(z)= Z[e(t)]，且E(z)在Z平面的单位圆上除1之外没有极点，在单位 圆外解析, 则有:
lim e * (t ) lim( z 1) E ( z )
t z 1
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。
三.
采样定理
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.
香农采样定理：
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且最高角 频率为 Wmax ,则只要采样频率满足Ws≥2Wmax，则采样后的脉 冲序列中将包含了连续信号的全部信息。
自动控制原理
蒋大明
第三节 信号复现与零阶保持器
例：炉温采样控制系统
连续控制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感, 造成炉温大幅度震荡。 采样控制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔T时
间, 接通τ时间, 等待炉温变化, 避免振荡。
自动控制原理 蒋大明
采样系统典型结构图
误差 信号
离散误 差信号
T
τ
误差信号 离散误差信号
给定炉温
-
自动控制原理
蒋大明
二.采样过程的数学描述
τ 非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。 e*(t) = e(t) δ T(t） 其中: T (t ) (t nT ) δ (t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲
e* (t ) e(t ) (t nT )
第七章
连续系统：
采样系统分析
控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数。 离散系统：
控制系统中有一处或几处信号是间断的脉冲或数码。
采样控制系统(脉冲控制系统)： 系统中的离散信号以脉冲序列形式出现。 数字控制系统(计算机控制系统)： 系统中的离散信号以数码形式出现。
自动控制原理 蒋大明
第一节 采样基本概念
n 0
e (t ) e(nT ) (t nT )
* n 0
n 0
e(t)只有在采样瞬间才有意义.
连续信号
理想采样器(单位脉冲序列) 自动控制原理 蒋大明
幅值调制过程
采样过程的拉氏变换
E ( s) L[e (t )] L[ e(nT ) (t nT )]
自动控制原理
蒋大明
二. Z反变换
Z反变换 [ 已知Z变换表达式 E(z)，求相应离散序列 e(nT) 的过程 ]
的闭合形式为:
E( z)
(级数求和法)
自动控制原理
蒋大明
举例
设 E ( s) 解：
E (s) 1 1 s s 1
1 s( s 1)
, 求e*(t)的Z变换。
e(t ) L1[ E(s)] 1(t ) et
E ( z ) Z [1(t ) e t ]
(t kT )
k 0
z ( z 1) z 1 由此可见，只要e*(t)相同，E(z)就相同，无论e(t)是否相同。
（4）单位斜坡序列
E( z) Tz ( z 1) 2
e(t)=t
常用Z变换可查表。
自动控制原理 蒋大明
举例
例1:求指数函数 e 解： 指数函数采样后所得的脉冲序列如下所示
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称 保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
自动控制原理
蒋大明
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。 2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
蒋大明
举例
设 解：
E ( s) e(nT )e
* n 0 nTs
e(t ) et e2t (t 0) ，试求采样拉氏变换E*(s)
(e nT e 2 nT )e nTs
n 0
e
n 0
nT
e
nTs
e 2 nT nTs
s2 2
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sin T z 2 2 z cos T 1
自动控制原理 蒋大明
1
jT
2 j 1 e
z
1
1 1 e
jT
z
1
]
3.
（1）线性定理
Z变换的基本定理
E2 ( z ) Z[e2 (t )]
E1 ( z ) Z[e1 (t )]
则： Z [a1e1 (t ) a2e2 (t )] a1E1 ( z ) a2 E2 ( z )
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0
T 2T
3T 4T 5T 6T
t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
图7-11 一阶保持器输出特性
Βιβλιοθήκη Baidu
自动控制原理
蒋大明
第四节
同拉氏变换一样, 拉氏变换为:
E ( s)
*
Z变换理论
离散信号e*(t)的
是一种数学变换.
e(n T )e
n 0
nTs
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
n 0
1 1 e
T ( s 1)
1 1 e T ( s 2)
(e T e 2T )eTs Ts (e e T )(eTs e 2T )
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
自动控制原理 蒋大明
根据拉氏变换的位移定理
L[ (t nT )] e
有:
nTs
0
(t )e st dt e nTs
E ( s) e(nT ) e nTs e(0) e(T )e Ts e(2T )e 2Ts
* n 0
自动控制原理
解：由复数位移定理
Z [e(t )] Z [t e at ] E[ z e aT ] Tz 令e1 (t ) t , 则E1 ( z ) Z [e1 (t )] ( z 1) 2 所以 T z e at Tze aT Z [e(t )] aT 2 ( z e 1 ) ( z e aT ) 2
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z eTS
*
S
1 ln Z T
代入上式得:
n e ( nT ) z n 0
E ( z ) E ( s)
1 s ln z T
E( z) e(0)Z 0 e(T )Z 1 e(2T )Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
z 1 z e aT z e aT
Tz T ( z 1) 2 ( z 1) 2
自动控制原理
蒋大明
Z变换的基本定理
（3）复数位移定理 复数位移定理的含义是：函数e(t)乘以指数序列e 换，就等于在E(z) 中，以 ze
+ aT – aT
的 Z 变
取代原算子 z 。
E ( z ) Z [e(t )]
arg G ( j )
sin( / s ) s / s
ω S=2∏/T
自动控制原理 蒋大明
零阶保持器的频率特性
低通特征： 幅频特性中幅值随频率值的增大而迅速衰减. 相角滞后特性：
-∏ |G0(jω)| ωS 2ωS 3ωS
w = ws 处，相角滞后可达－180°
注意：不可将
s 1 ln Z T
z z z 1 z e T
直接代入E(s)求E(z)，因为E(s)是连续信号e(t)
的拉氏变换，而Z 变换是对离散的e*(t)而言的。
自动控制原理 蒋大明
举例
求正弦函数e(t) = sinω t 的Z 变换 解：对e(t) = sinω t取拉氏变换得 E ( s )
放大器与 执行电机
电机 转速
燃料 供应阀
阀门 开度
炉
炉温
自动控制原理
蒋大明
其它典型采样控制系统
1. 青藏铁路环境监测系统 2. 微机监测 3. 日本新干线综合安全监测系统 4. 计算机控制系统
自动控制原理
蒋大明
第二节
一. 采样过程
采样过程与采样定理
连续信号变换为脉冲信号。
输出为宽度等于τ的调幅脉冲系列，在采样瞬时nT(n= 0,1,2,…)时出现。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-anT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
1 1 e aT z 1 z z e aT
( nT )( t nT ) e(t ) e(nT ) e ( nT ) e (t nT ) 2 2! nT t ( n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 设Z 变换函数为
0.792z 2 E( z) ( z 1)( z 2 0.416z 0.208 )
试利用终值定理确定e(nT)的终值。
解：
由终值定理
0.792z 2 lim e(nT ) lim( z 1) E ( z ) lim 2 1 n z 1 z 1 z 0.416z 0.208
（2）时移定理
实数位移的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 . 左移为超前, 右移为延迟.
E ( z ) Z [e(t )]
则： Z [e(t nT )] Z n E ( z )
n
(延迟）
n 1
Z [e(t nT )] Z [ E ( z ) e(kT ) Z k ]
E ( z ) Z [e (t )] Z [e(nT )]
*
e(nT )z
n 0
n
自动控制原理
蒋大明
2.典型信号的Z变换
（1）单位脉冲函数 （2） 单位阶跃信号 E(z)=1
E ( z) z ( z 1) z 1
（3）单位理想脉冲序列 e(t )
则E ( z )
零阶保持器可以用无源网络近似代替.
G0 ( s) 1 1 1 1 1 T [1 e sT ] 1 sT 1 s s e s 1 sT 1 sT
自动控制原理
蒋大明
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
传递函数
频率特性: 幅频特性： 相频特性: 其中:
jT 1 e jT 2 2 G0 ( j ) sin(T / 2) e j
G0 ( j ) T
sin( / s ) 2 sin( / s ) ( / s ) s ( / s )
将阶梯信号eh(t) 的每个区间中点连接起来，可得到与e(t)形状一
致时间上落后T/2的曲线e(t-T/2)。
自动控制原理 蒋大明
3.零阶保持器的传递函数和频率特性
r(t)=δ (t) , R(s)=1 gh(t)=1(t)-1(t-T) 理想单位脉冲 单位脉冲响应
TS
1 1 1 e Gh ( s) L[ g h (t )] e TS S S S
k 0
(超前）
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 试计算 e 解：由时移定理
a ( t – T )
的Z 变换，其中a为常数。
Z [e a ( t T ) ] z 1 z[e at ] z 1
例: 已知e(t) = t -T，求E(z)。 解：由时移定理
Z [e(t )] Z [t T ] z 1 Z [t ] z 1
Z[e(t ) e at ] E( z e aT )
（4）终值定理 E(z)= Z[e(t)]，且E(z)在Z平面的单位圆上除1之外没有极点，在单位 圆外解析, 则有:
lim e * (t ) lim( z 1) E ( z )
t z 1
自动控制原理
蒋大明
举例
例: 已知 e(t)=te-at，求E（z）。
三.
采样定理
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.
香农采样定理：
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，并且最高角 频率为 Wmax ,则只要采样频率满足Ws≥2Wmax，则采样后的脉 冲序列中将包含了连续信号的全部信息。
自动控制原理
蒋大明
第三节 信号复现与零阶保持器
例：炉温采样控制系统
连续控制方式：由于炉温上升有惰性，阀门敏感, 造成炉温大幅度震荡。 采样控制方式：只有检流计指针与电位器接触时，电动机才旋转。间隔T时
间, 接通τ时间, 等待炉温变化, 避免振荡。
自动控制原理 蒋大明
采样系统典型结构图
误差 信号
离散误 差信号
T
τ
误差信号 离散误差信号
给定炉温
-
自动控制原理
蒋大明
二.采样过程的数学描述
τ 非常小，通常为毫秒到微秒级，一般远小于采样周期T。 e*(t) = e(t) δ T(t） 其中: T (t ) (t nT ) δ (t-nT)是时刻t=nT时强度为1的单位脉冲
e* (t ) e(t ) (t nT )
第七章
连续系统：
采样系统分析
控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数。 离散系统：
控制系统中有一处或几处信号是间断的脉冲或数码。
采样控制系统(脉冲控制系统)： 系统中的离散信号以脉冲序列形式出现。 数字控制系统(计算机控制系统)： 系统中的离散信号以数码形式出现。
自动控制原理 蒋大明
第一节 采样基本概念
n 0
e (t ) e(nT ) (t nT )
* n 0
n 0
e(t)只有在采样瞬间才有意义.
连续信号
理想采样器(单位脉冲序列) 自动控制原理 蒋大明
幅值调制过程
采样过程的拉氏变换
E ( s) L[e (t )] L[ e(nT ) (t nT )]
自动控制原理
蒋大明
二. Z反变换
Z反变换 [ 已知Z变换表达式 E(z)，求相应离散序列 e(nT) 的过程 ]
的闭合形式为:
E( z)
(级数求和法)
自动控制原理
蒋大明
举例
设 E ( s) 解：
E (s) 1 1 s s 1
1 s( s 1)
, 求e*(t)的Z变换。
e(t ) L1[ E(s)] 1(t ) et
E ( z ) Z [1(t ) e t ]
(t kT )
k 0
z ( z 1) z 1 由此可见，只要e*(t)相同，E(z)就相同，无论e(t)是否相同。
（4）单位斜坡序列
E( z) Tz ( z 1) 2
e(t)=t
常用Z变换可查表。
自动控制原理 蒋大明
举例
例1:求指数函数 e 解： 指数函数采样后所得的脉冲序列如下所示
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称 保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
自动控制原理
蒋大明
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。 2. 名称由来：处在每个采样区间内的信号值为常数，导数为零，故得名。
蒋大明
举例
设 解：
E ( s) e(nT )e
* n 0 nTs
e(t ) et e2t (t 0) ，试求采样拉氏变换E*(s)
(e nT e 2 nT )e nTs
n 0
e
n 0
nT
e
nTs
e 2 nT nTs
s2 2
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sin T z 2 2 z cos T 1
自动控制原理 蒋大明
1
jT
2 j 1 e
z
1
1 1 e
jT
z
1
]
3.
（1）线性定理
Z变换的基本定理
E2 ( z ) Z[e2 (t )]
E1 ( z ) Z[e1 (t )]
则： Z [a1e1 (t ) a2e2 (t )] a1E1 ( z ) a2 E2 ( z )
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0
T 2T
3T 4T 5T 6T
t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
图7-11 一阶保持器输出特性
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自动控制原理
蒋大明
第四节
同拉氏变换一样, 拉氏变换为:
E ( s)
*
Z变换理论
离散信号e*(t)的
是一种数学变换.
e(n T )e
n 0
nTs
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
n 0
1 1 e
T ( s 1)
1 1 e T ( s 2)
(e T e 2T )eTs Ts (e e T )(eTs e 2T )
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
自动控制原理 蒋大明