一致收敛判别法

n 1 n 1


(2) M判别法是绝对收敛的判 别法, 凡是能用M判别法判别函数项级数 一致收敛的, 此函数项级数一定是绝对收敛.
例6 讨论函数项级数
的一致收敛性
例7
定理12 狄利克雷判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调减少，且lim an 0.
i 1 n 1
y
a1 a2
3
ai bi
i 1
5
表示以bi 为底,以ai 为高的所有 竖条矩形面积之和 .
a a
a5
4
1 2
3
(ai ai 1 ) i a5 5
i 1
51
b1 b2 b3 b4
4
b5
5
x
推论(阿贝尔引理) 若 (i)a , a ,, a , 是单调数组
定理3 狄利克雷判别法
若函数项级数 an ( x)bn ( x)满足下列两个条件,
n 1
则函数项级数 an ( x)bn ( x)在区间一致收敛 .
n 1
(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的， 且在区间I一致收敛于0(an ( x) 0).
( 2)函数项级数 bn ( x) 的部分和函数列
u n ( x ) an ,
n 1
则称函数项 级数 un ( x)在 区间I上一致收敛.
注:魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法
注 : (1)满足不等式un ( x) an的数项级数 an ,
n 1

称为函数项级数 un ( x)在 区间I上的
n 1

优级数
或称 an 在 区间I上优于 un ( x).
i 1 i 1
n
n 1
(a1 a2 ) 1 (a2 a3 ) 2 (an1 an ) n1 an n .
an n (a2 a1 ) 1 (a3 a2 ) 2 (an an 1 ) n 1 an n (ai 1 ai ) i
(2)级数 bn收敛.
n 1

引理(分部求和公式，也称阿贝尔(abel)变换)
设a 与b (i 1,, n)是两组实数 ,
i i
若令 b b b b (k 1,, n), 0,
k i 1 i 1 2 k 0
k
则有如下分部求和公式 成立：
ai bi (ai ai 1 ) i an n
例5 பைடு நூலகம்明: 函数项级数 ne
n 1
- nx
在(0,)上非 一致收敛.
证明 :
只需证明它的通项un ( x) ne 在(0,)上非一致收敛于0.
nx
1 即1 0, N N , n0 N , x0 (0,), 有 n0
1 un ( ) n0 e n0
n 1
(2)函数项级数 bn ( x) 在区间I一致收敛，
由(2)函数项级数 bn ( x) 在区间I一致收敛，

即 0, N N , n N , p N , x I , s.t.
n 1
bn1 ( x) bn p ( x) .
一致收敛判别法
柯西一致收敛准则 M判别法 狄利克雷判别法 阿贝尔判别法
定理1 函数项级数一致收敛的柯西准则
函数项级数 un ( x)在区间 I一致收敛
n 1


0, N N , n, m N , x I , s.t.
S n ( x) S m ( x) .
或 0, N N , n N , p N , x I , s.t.
S n p ( x) S n ( x) .
函数项级数一致收敛的必要条件
在定理中令P 1的得 函数项级数收敛的一个 必要条件. 0, N N , n N , p 1, x I , s.t. un1 ( x)
(2)级数 bn的部分和数列 {Bn }有界，
n 1
n
即M 0, n N , 有 Bn b1 b2 bn M
定理13 阿贝尔判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调有界；
1 2 n
(a a a 或a a a )
1 2 n 1 2 n
(ii )M 0, k (1 k n), 有
k
b
i 1
k
M,
i
则
a1b1 anbn ai bi M ( a1 2 an )
i 1
n
3Ma a max{ai }

推论 : 函数项级数 un ( x)在区间 I一致收敛
n 1
必要条件
它的通项函数列 {un ( x)}在I上
一致收敛于 0

逆否命题 : {un ( x)}在I上非一致收敛于0, un ( x)在区间 I非一致收敛的
n 1
注 : 这个必要条件常被用来判断函数项级数的 非一致收敛性, 非常方便.
n 1

{Bn ( x)}在区间I一致有界，
6
6
定理4 阿贝尔判别法
若函数项级数 an ( x)bn ( x)满足下列两个条件,
n 1
则函数项级数 an ( x)bn ( x)在区间一致收敛.
n 1
(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的， 且在区间I一致有界.
由(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的，且在区间I一致有界. 及阿贝尔引理可得
0
n0
1 n0
n0 e 1.
1
于是,函数项级数 ne-nx在(0,)上非 一致收敛.
n 1

定理
定理2 (M判别法)(优级数判别法)
设有函数项级数 un ( x)定义在 区间I上,
n 1
an为收敛 的正项级数，若n N , x I , 有
n 1