工程力学-力系的等效与简化
工程力学03力系等效简化
B
•
空间平行力系的中心
y
z
FR F1 F2 rC r1 r2 zC C F3 Fn r3
定义： 空间平行力系，当它有合力时， 合力的作用点C 就是该力系的中心。 平行力系的中心坐标公式
O x yC
rn
y z
xC
1）矢量形式
由合力矩定理： MO (FR ) MO (Fi )
rC FR r1 F1 r2 F2 rn Fn
i 1 i 1
•主矩 M O M i ri Fi
i 1 i 1
力系的主矢和主矩
主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢。 F FR 主矢与简化中心选择无关。只有大小和 方向,没有作用点概念. 思考:力系的主矢与合力的区别? 主矩 力系中各力对简化中心之矩的矢量和 称为力系对简化中心的主矩。 M O M O ( F ) 力系对简化中心的主矩和简化中心的选择有关。 力系的主矢和主矩是决定力系对刚体作用 效应（移动和转动）的两个基本特征量。
MO (F) M MO (F1 ) MO (F2 ) 10j 10k
FR F2i F1 j 100i 100j
FR Mo 0
力螺旋
•
。
例：在边长为 a 的立方体的A、B顶点上作用有大
小均为 F 的力F1和F2,试讨论此力系的最后合成结果 a
F1
A
F2
Fn'
Mn
O
FR
F2
M2
F1'
F1
M1 F ' 2
O
MO
{F1 , F2 ,, Fn } {F1 ' , F2 ' ,, Fn ' , M1 , M 2 ,, M n } {FR , M O }
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学(材料力学)2-2工程力学-静力学知识 物体受力分析
C FCy CD P
D RD
A FAX
FAy
B RBC 整体D RD例qA
B
C
P D
q
q
P
A
B
C F/CxFCX
FAy
RB AC
F/Cy q
C FCy CD P
D RD
A FAX
FAy
B RB
C 整体
D RD
例P
C
A
B
C
C
NC
NA A
P
C NC NC*
NC* NB
P C C
B
NC NA
NC NB
（1）选铰C为研究对象； （2）取分离体画受力图，如图所示； （3）列平衡方程为
X 0 FAC cos 45 FBC cos 45 0
Y 0 P FAC sin 45 FBC sin 45 0
（4）解平衡方程，得
FAC
FBC
P 2sin 450
15 2
2
kN
工程力学-静力学知识
物体的受力分析和受力图
静力学研究物体受力平衡的规律； 静力学包含物体受力分析、力系简化和力系平衡
条件；
1、物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力， 每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。 2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代 替一个复杂力系。
物体受力分析步骤
P B
F
FAy A FAx
FBy P
FCy
FCx C FCy
C
B FBx
C FCx FC （附销钉）
Q
Q FDy
FC
C
FBx B F FBy
FDy D FDx
工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
二、力系简化的最终结果 根据力系主矢和主矩的性质，力系可最终简化为下列四种情形 1 2 3 4 平衡力系 即与零力系等效。其条件为主矢F′R=0，主矩M 该力偶称为力系的合力偶。力系存在合力 该力称为力系的合力。
O=0 单一等效力偶 单一等效力 力螺旋 偶的条件为主矢F′R≠0，主矩MO≠0。 在最一般的情况下，力系的主矢和主矩不垂直
三、平面力系的简化结果
（1）沿直线路面行驶的汽车，若不考虑由于路面不平引起的
左右摇摆和侧滑，则由汽车所受的重力、空气阻力及地面对车 轮的约束力构成的空间力系将对称于汽车的纵向对称面。将该 力系向汽车的纵向对称面简化，就可得到一个平面一般力系， 如图3-11 （2）工厂车间里的桥式起重机，梁的自重、起重机小车的自 重和起吊物的重量均作用在梁的纵向对称面内。梁两端四个车 轮的约束力也对称于该平面，故该力系可简化为梁纵向对称面 内的一个平面力系，如图3-12所示。
图3-3
力的平移定理
可以把作用于刚体上点A的力F平行移动到任一
点O，同时附加一个力偶，其力偶矩矢M等于力F对点O的力矩
矢，即M=MO（F），则平移后得到的新力系与原力系等效， 如图3-4 力的平移定理可以直接用等效力系定理来证明。反之，作用于 同一刚体的同一平面内的一个力和一个力偶（即力偶矩矢和力 矢垂直时），可以用一个力等效代替。
（一般）力系，这是力系的最一般的形式。当力系中各力的作 用线位于同一平面内时，称为平面（一般）力系，这是工程实 际中常见的重要情形。有些空间力系通过等效转换的方法也可 以变为平面力系。如果力系中各力的作用线交于一点，则称为 汇交力系。如果力系全部由力偶组成，则称为力偶系。汇交力 系和力偶系也有空间和平面两种情形，汇交力系和力偶系是两
图3-4
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 力系的等效与简化
工程力学（静力学与材料力学）习题第2章力系的等效与简化2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。
已知F、d1和d2。
试求产生最大弯曲变形的角度 。
习题2－1图2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。
已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。
试求此力系对刀架固定端点O的力矩。
习题2－2图2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。
习题2－3图习题2－6图2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。
试求合力偶。
2－6 槽钢受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－8 平行力（F ,2F ）间距为d ，试求其合力。
2－9 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图习题2－5图习题2－7图 习题2－8图75习题2－11图2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。
试求此力系向点O简化的结果。
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。
试求此力系向点A简化的结果。
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。
习题2－9图习题2－10图习题2－12图z2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F k（k = 1,2,...,6）是否平衡。
假定各力F i（i = 1,2, (6)的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
《工程力学》力系的简化
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
工程力学试题
2015安徽专升本安徽工程大学土木工程专业《工程力学》专升本冲刺辅导资料2015安工程内部资料土木工程（专升本）专业课考试大纲及参考教材（一）《工程力学》考试大纲第一部分：静力学1．静力学的基本概念与物体受力分析静力学模型，物体受力分析的基本方法；2．力系的等效与简化平面力系的主矢与主矩，力偶及其性质，平面力系的简化，固端约束的约束力；3．力系的平衡条件与平衡方程，平面力系的平衡条件与平衡方程；4．空间力系和摩擦问题简介。
第二部分：材料力学1．材料力学概述材料的基本假定，弹性体受力与变形特征，应力、应变及其相互关系；2．杆件的内力分析与内力图简单杆件的轴力图、剪力图与弯矩图的作法；3．拉压杆件的应力、变形分析与强度设计拉伸与压缩时杆件的应力与变形分析，拉伸与压缩杆件的强度设计；4．圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计扭力图的作法，圆轴扭转时的强度设计；5．弯曲强度问题，截面图形的几何性质，平面弯曲时梁横截面上的正应力计算及其应用；6．弯曲变形的计算，弯曲刚度条件。
（二）《工程力学》参考教材《工程力学》（第二版）范钦珊等主编清华大学出版社目录冲刺模拟卷（一） (1)冲刺模拟卷（二） (5)冲刺模拟卷（三） (9)冲刺模拟卷（四） (13)押题卷 (17)2011年真题 (21)2012年真题 (25)2013年真题 (29)2014年真题 (34)参考答案 (38)安徽省2015年普通高校专升本安徽工程大学土木工程专业课试题冲刺模拟（一）评卷人（签名）____________ 复核人（签名）____________注意：请将解答写在答题纸上，并标清题号，否则无效。
总分：150分时间：150分钟一、填空题（本大题共10小题，没小题2分，共20分）1、在两个力作用下，使刚体处于平衡的充要条件是这两个力等值、反向、________2、作用在刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，其中两个力汇交于一点，则第三个力的作用线________________________3、力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的___________4、轴向承受拉伸或压缩的杆件，EA越大，轴向变形越小，因而EA称为__________5、梁发生平面弯曲时，其纵向纤维既不伸长也不缩短的一层称为_________6、从弯曲变形的计算公式可以看出，梁的变形大小与抗弯刚度成_____比。
《工程力学》课程教学大纲
《工程力学》Engineermechanics一、课程基本信息学时：40学分：2.5考核方式：考试,平时成绩占总成绩的百分比30%,考试占总成绩的百分比70%.中文简介：工程力学作为高等工科学校的一门课程，是其最基础的部分，它含盖了工程静力学和弹性静力学两门课程的主要内容。
工程静力学是工程构件静力设计的基础。
弹性静力学主要涉及力和变形之间的物性关系，以及弹性体的失效、与失效有关的设计准则。
同时，随着时代的发展，也增加了新的内容。
工程力学不仅与力学密切相关，而且紧密联系广泛的工程实际，在人民的实际生活也离不开工程力学的运用。
二、教学目的与要求刚体静力学部分第一章工程静力学的基本概念•物体受力分析目的与要求1 .学会受力分析2 .了解力系的等效与简化3 .力系的平衡条件与应用第二章力系的等效与简化目的与要求1 .会求力系的主矢和主矩2 .学会力系的等效与简化3 .力偶的性质与应用第三章力系的平衡目的与要求1 .求力系一般情况下的平衡方程2 .力系的平衡方程用于各种特殊情形3 .平面的力系平衡方程的应用第四章刚体静力学专题目的与要求1 .学会平面静定桁架的静力分析2 .会求有摩擦的问题，掌握库仑定律的应用弹性静力学部分第五章静力学基本原理方法应用于弹性体目的与要求1 .掌握弹性变形的内力变化2 .将刚体静力学的等效，简化以及平衡的概念和方法应用与弹性体3 .掌握弹性体的应力分析第六章弹性静力学的基本概念目的与要求1 .学习弹性静力学的基本概念，研究方法2 .了解弹性静力学对于工程设计的重要意义第七章简单的弹性静力学问题目的与要求1 .会求拉伸、压缩杆件的基本受力与变形情况2 .会求拉伸、压缩杆件的内力与应力3 .材料在拉伸、压缩时的强度设计第八章弹性杆横截面上的正应力分析目的与要求1 .了解材料受力与变形之间的关系2 .得出横截面上的内力分布规律的特征3 .计算横截面上的内力分布第九章弹性杆横截面上的切应力分析目的与要求1 .学习材料扭矩和剪力对应的切应力方法的不同点2 .得出横截面上的切应力分布规律的特征3 .计算横截面上的切应力分布第十章压杆的平衡稳定性与压杆设计目的与要求1 .学习弹性体平衡构件稳定性的基本概念2 .微弯的屈曲平衡构形下得出的平衡条件和小挠度微分方程3 .确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力三、教学方法与手段本门课的教学方法与手段主要是运用课堂教学，课堂讨论的方法，通过举例,讲解习题，检查作业，发现问题，解决问题，回答学生的难点和疑点。
力系的简化.ppt
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
r
r
r
r
Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
r
r
r
r
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x
物体的受力分析
静力学主要研究： 力系的等效替换（或简化）
建立各种力系的平衡条件
静力学主要内容
❖ 静力学基本概念 ❖ 力系的简化 ❖ 力系的平衡 ❖ 强度设计与刚度设计
第一章
力系的简化
§1-1 力 力矩 力偶
一： 力的概念
1．定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以使物 体的运动状态发生变化。
信息来源
• 教材 资料 网络
要求
• 1、学习必须分组，分工合作共同完成
2、要求做好记录 3、各小组代表展示学习结果，展示
方法不限 4、提出学习中遇到的困难
5、学生评优各组的展示结果
学习步骤
• 1、通过教材学习，对该学 科有所认识。
• 2、知道力系的简化。
讨论问题
• 1、工程力学的内容和任务，研究对象 • 2、力的认识，力矩和力偶的概念 • 3、力系的简化
衡状态， 我们称这个力系为平衡力系。
工程力学教程
6 力的合成
力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，其合力 也作用在该点上，合力的大小和方向则由以 这两个力为边所构成的平行四边形的对角线 来表示，而该两个力称为合力的分力。
F1
FR
F FF
R
1
2
工程力学02-力系的简化
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
力系的等效
力系的基本特征
力的平移 力系的简化
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
O Mo x
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
举
求此三力的合力 解： 建立直角坐标系
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
举
求此三力的合力
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示 Fx = -1000N Fy = - 1732N 求合力和方向 F = Fx2+Fy2 = (-1000)2+(-1732)2 = 2000N = 2kN Fy tana= F = -1732 = 1.732 -1000 x
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
工程力学第1章(静力学基本概念与物体受力分析)
五、光滑球形铰链
1.约束性质 1.约束性质 限制物体在空间上任意移动，不限制绕此点任意转动。 限制物体在空间上任意移动，不限制绕此点任意转动。 2.约束力特点 2.约束力特点 通过接触点和球心指向物体，通常用互相垂直的分力F 通过接触点和球心指向物体，通常用互相垂直的分力 x、 Fy 、Fz表示。 表示。
公理5告诉我们： 公理5告诉我们：处于平衡 状态的变形体， 状态的变形体，可用刚体静 力学的平衡理论来求解问题。 力学的平衡理论来求解问题。
§1-3
约束和约束力
自由体：位移不受限制的物体。 自由体：位移不受限制的物体。 非自由体：位移受限制的物体。 非自由体：位移受限制的物体。 约束：限制非自由体某些位移的条件或装置。 约束：限制非自由体某些位移的条件或装置。 约束力：约束施予被约束物体的力。 约束力：约束施予被约束物体的力。
第一章 静力学基本概念与 物体受力分析 §1-1
一、刚体的概念
在力的作用下不变形的物体。理想的力学模型。 在力的作用下不变形的物体。理想的力学模型。
静力学基本概念
二、平衡的概念
物体相对惯性参考系静止或作匀速直线平移。 物体相对惯性参考系静止或作匀速直线平移。 相对性、暂时性） （相对性、暂时性）
三、力和力系的概念
注意： 对刚体来说， 注意：①对刚体来说，上面的条件是充要条件 ②对变形体（或多体)来说，上面的条件只是必要条件 对变形体（或多体)来说，
③二力体：只在两个力作用下处于平衡的刚体叫二力体。 二力体：只在两个力作用下处于平衡的刚体叫二力体。
二力杆
二力杆
公理2 公理2
加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系， 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变 原力系对刚体的作用。该公理是力系简化的理论基础。 原力系对刚体的作用。该公理是力系简化的理论基础。 推论1 推论1：力的可传性原理 作用于刚体上的力可沿其作用线滑移到同一刚体内的任 一点，而不改变该力对刚体的作用效应。 一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
工程力学-第一章
第一篇 静力学
第1章 静力学基本概念与物体的受力分析
本章首先介绍静力学的基本概念， 包括力和力系概念、力对点之矩与力 对轴之矩的概念、约束与约束力的概 念。介绍受力分析的基本方法， 包括隔离体的选取与受力图的画法。
第1章 静力学基本概念与物体的受力分析
静力学模型 力与力系的基本概念 力对点之矩与力对轴之矩 工程常见约束与约束力 受力分析方法与过程 结论与讨论
力与力系的基本概念
力与力系 静力学基本原理
返回
力的基本概念
力与力系
力是物体间的相互作用，这种作用将 使物体的运动状态发生变化－运动效应 （静力学），或使物体发生变形－变形效 应（材料力学）。
力是矢量；当力作用在刚体上时，力可以 沿着其作用线滑移，而不改变力对刚体的作 用效应，这时的力是滑动矢量；
力的基本概念
静力学基本原理
推论Ⅰ：力的可传性原理 (principle of transmissibility of a force) 作用 于刚体上的力可沿其作用线滑移至刚体内 任意点而不改变力对刚体的作用效应。
F F
F
F
F'
F =－F'
力的基本概念
F
静力学基本原理
F
F
F
F'
推论表明，对于刚体，力的三要素为：力 的大小、方向和作用线。 可沿方位线滑动的矢量称为滑动矢量。 作用于刚体上的力是滑动矢量。
约束与约束力
滑动轴承与止推轴承
滚珠(柱)轴承 机器中常见各类轴 承，如滑动轴承或径向 轴承等。这些轴承允许 轴承转动，但限制与轴 线垂直方向的运动和位 移。轴承约束力的特点 与光滑圆柱铰链相同， 因此，这类约束可归入 固定铰支座。
工程力学-力系的简化
A xC
q(x)
xB
FR q(x)dx
Bx
xA
合力作用线：
xB
q(x)xdx
x xA
C
xB
对面分布载荷，积分元改为dA
q(x)dx
xA
32
工程上常见的分布载荷：
qF
xC
l
F
xC l
q1
F
xC l
（1）均布载荷q(x)=q=常数
F=ql , xC=l/2 （2）三角形载荷
F=ql /2 , xC=2l/3
FRx FRy FRz
(力的作用线)方程: x xB y yB z zB
B(xB , yB , zB )
为合力的作用点 15
小结 力系简化的步骤：
（1）任选矩心O，求出力系 的主矢和主矩。
FR Fi MO MO (Fi )
若主矢和主矩全为零
平衡力系(零力系)
若主矢和主矩不全为零，则进一步计算(2)：
FRO
原一般力系简化为一个作用于O点的合力 FR
——最简力系
9
4.
FR 0, MO
MO 0,
FR
FR MO 0
即 FR MO
MO
FR
O
O
原力系简化为过O点的合力
FR
及合力偶，且 FR MO
B (xB,yB,zB) 合力作用线
——不是最简力系
根于据B点力的的合平力移逆FB定 理FR，，二B者点可位进置一为步简OB化为F一R F个R2M 作O 用
简化后的合力作用点B的位置为
OB
F1 M
F12
即将即F1力O平B行于F1其,O作B用线M移, 动OBO距B 离 成MF1为F
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
工程力学(李卓球) 第3章 力系的简化和平衡
∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：
工程力学02
作用于 点O 的 F R’
力偶
MO
主 矢
RO＝F1′+ F2′+…+Fn′ ＝F1 +F2 +…+Fn＝ΣF＝ FR′ FR′称为该力系的主矢，它等于原力 称为该力系的主矢， 该力系的主矢
系各力的矢量和， 系各力的矢量和，与简化中心的位 置无关。 置无关。
主 矩
各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对 简化中心O 之矩， 简化中心 之矩，即 m1＝mo(F1)，m2＝mo(F2) ，…， mn ＝mo( Fn) 则： ， ， MO＝m1+m2+…+mn＝mo(F1)+mo（F2）+…mo (Fn ) ＝ΣmO（F） ） 原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原 力系对简化中心的主矩 主矩。 力系对简化中心的主矩。 可见在选取不同的简化中心时， 可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶 的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简 的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简 化中心的位置有关。 化中心的位置有关。
第2章 力系的等效和简化 章
平面力系 空间力系 等效力系
l平平力力力 平平平平 空空平平
平平平平平平 平平平平平平 平平平平平平 平平平平平 空空平平平平 空空平平平平 空空平平平平 空空平平平
2.1 力系等效和简化的概念
2.1.1 力系的主矢与主矩 主矢的概念： 由任意多个力所组成的力系 F1 , F 2 , ..., F n 中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称 为主矢，用 F R 表示，即：
力偶的作用效果取决于三个因素：构成力 偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。 故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如 图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力 偶矩的大小。
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正数 十位数 万 亿
负数 百位数 十万 十亿
个位数 千 百万 万亿
偶数
基数 百分数
奇数
序数 千分数
（数的） 幂
近似数 有效 （位)数
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§1.2： Reading Skill on Numbers
101: One (a) hundred (and/oh) one, 200: two hundred, 503: five hundred and one, 964: nine hundred & sixty-four 2346: two thousand (,) three hundred and forty-three 23343: twenty-three thousand (,) three hundred and forty-three. (read: the) third 第3: 第5: (the) fifth, (the) ninth 第9: 第12: (the) twelfth : (the) sixteenth 第16: 第20: (the) twentieth, 第22: (the) twenty-second 第56: (the) fifty-sixth 第100 : one hundredth 第123: one hundred and twenty-third 第365: three hundred and sixty-fifth 第2000: two thousandth 四舍五入: round(-ing)-off three point five six seven 3.567: zero point four five 0.45: 2050.0438: two thousand and fifty point zero four three eight one hundredth (point zero zero one) 0.01: 0.001: one thousandth (point zero zero one, point two zeroes one)
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§1.2： Reading Skill on Numbers (Cont.)
1 : a (one) half 2
1 7
: one-seventh,
1 : one-hundred oh fourth 104
2 : two-thirds 3
6 3 10
: three and six-tenths
3. Read: 4. Read:
3 7
= 0.428571428571…= 0.428571
百分位：percentile
35.6078: after ? To the ? Its ? =35.61
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吕广庆教育教学工作室
LU Guang-qing’s Education & Teaching Studio
For：1st Term of Year 2010-2011 Students
UIC 吕广庆
吕广庆教育与教学工作室
数学教学辅助资料
课堂教学软件(1)
2018年12月14日
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English Expressions on Basic Mathematical Nomenclatures (基本数学术语的英文表达)
§1.1： Words of Numbers
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33 87 : thirty-three over eighty-seven (thirty-three divided by eighty-seven)
123 567
: one hundred and twenty-three (,) five hundred and sixtysevenths (one hundred and twenty-three over five hundred and sixty-seven)
5.7%: five point seven percent (or per cent) 6%o: six permille (or per mille)
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§1.3： Identifying & Reading Skill on Numbers
1. What’re the following groups of numbers?
§1.1： Words of Numbers
Chinese 整数 实数 English integer real number positive number tens ten thousand hundred million even number cardinal number percent Chinese 分数 虚数 English fraction （pure） imaginary number negative number hundreds hundred thousand billion odd number ordinal number per-mille Chinese 小数 复数 English decimal complex number units or ones thousand million trillion power approximate number significant digit
0, 3,
2 -4 3
1 7
0.3, -4.5
0.3i, -4.5i
3-4.5i
1,3, 5,7,9,11,… 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
2. Read the digits’ name and tell how much of theenth, hundredth, thousandth, ten thousandth, hundred thousandth, millionth