优化方案·高中同步测试卷·北师大数学选修-：高中同步测试卷六 含答案

高中同步测试卷(六)

章末检测 变化率与导数 (时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．一做直线运动的物体，当时间从t 到t ＋Δt 时，物体位移的改变量为Δs ，那么lim

t →0Δs

Δt 为( )

A ．从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度

B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度

C ．在Δt 时刻时物体的速度

D ．在t ＋Δt 时刻时物体的瞬时速度

2．f (x )＝ax 3＋2x ，若f ′(1)＝4，则a 的值等于( ) A.1

2

B ．1

3

C.2 D ．1

3．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为( )

4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22

D ．ln 2

5．过曲线y ＝x ＋1

x 2(x >0)上横坐标为1的点的切线方程为( )

A ．3x ＋y －1＝0

B ．3x ＋y －5＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y －1＝0

6．若曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( )

A.3366

B ．－

3366

C.23

D ．23

或0

7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )

A ．－14

B ．2

C ．4

D ．－12

8．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2

＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范

围是( )

A ．[－2，2]

B ．[2，3]

C ．[3，2]

D ．[2，2]

9．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则( ) A ．f (0)f (6)

D ．无法确定

10．如果函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝( ) A.1＋7

3

B ．1－73

C.1±73

D ．不存在

11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋π

6)－ω(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的最大值为

( )

A ．0

B ．1

C ．－2

D ．－1

12．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有交点，则k 的最大值是( ) A ．e B ．e 2 C.1e D ．1e

2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．曲线y ＝2x

x 2＋1

在点(1，1)处的切线方程为________．

14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．

15．已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________．

16．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －1的切线中，斜率最小的切线方程为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)曲线f (x )＝x (1－ax )2(a >0)且f ′(2)＝5，求实数a 的值．

18．(本小题满分12分)求下列函数的导数(其中f (x )是可导函数)． (1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；(2)y ＝f (x 2

＋1)．

19．(本小题满分12分)求曲线y ＝8sin 3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π

6，1处的切线方程．

20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a >0)为奇函数，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．

21.(本小题满分12分)设曲线y ＝x n (1－x )(x ∈N ＋)在x ＝2处的切线斜率为a n ，求数列

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n ＋2的前n 项和．

22．(本小题满分12分)如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．

参考答案与解析

1．解析：选B.结合导数的物理意义知lim t →0Δs

Δt

表示瞬时速度．

2．[导学号68070038] 解析：选D.f ′(x )＝3ax 2＋1

x

，所以f ′(1)＝3a ＋1＝4，所以a ＝1.

3．解析：选C.根据题意得g (x )＝cos x ，所以y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数． 又x ＝0时，y ＝0，故选C.

4．解析：选B.f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选B.

5．解析：选B.因为y ′＝x 2－2x （x ＋1）

x 4

＝－x 2－2x x 4

，

所以该切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3，

则所求的切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0，故选B. 6．[导学号68070039] 解析：选A.因为y ＝x 2－1，所以y ′＝2x . 因为y ＝1－x 3，所以y ′＝－3x 2.

所以2x 0·(－3x 20)＝－1，所以x 30＝

16，所以x 0＝3

366

.