证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程

合数对”是真正被 p3 首次筛掉的，但在其双筛计算中，还隐含着它对 5+39 和 35+9 这两对
“双合数对”的再次筛除。显然这种“双合数对”都会被多筛一次，从而使“1+1”的双筛
计算值更小于其真值。如上例中，用双筛计算式
1 2
× (2a
⋅
p1 −1 p1
⋅
p2 −2 p2
⋅
) p3 −2 p3
计算，“1+1”对数
的双筛计算值为 2.2，而真实存留的“1+1”的对数是 3，它们分别是 13+31、7+37、1+43。
3.新证明方法的难点和解决方法
2/5
（1）难点之一：建立起在[0, x] 区间上筛掉合数后、所存留的素数数目之通用计算式
解决方法：建立新的数学模型——准素数模型、利用其周期性、对称性完成计算 显然，证明猜想命题，就是要证明任意偶数都存在“1+1”，而新证明方法，是要用排 除法筛掉那些有合数存在的整分割对（即非“1+1”），显露出“1+1”。所以需要建立能筛除
的数成了“孤寡素数”，在计算“1+1”数目时，它们会“滥竽充数”充大“1+1”数目。
因此再用奇素数
pi 筛时，要采取“翻倍双筛”，即给筛除率
1 pi
乘
2
变为
2 pi
，从而使存
留率由
pi −1 pi
变为
pi −2 pi
。幸好用
p1 筛时只需单筛无需双筛！而需要双筛的奇素数
pi 筛网的
pi
≥
3 ，使“双筛存留率”
示它们唯一的同相位重叠点位置；依据同相位相长叠加原理完成证明.
误差 δn (x) 界值的证明，是该课题最大难点，有利因素在于 δn (x) 具有周期性、反对称 性，只需研究清楚半个周期即可；不利之处在于 δn (x) 是由 2n 个锯齿波叠加而成的极复杂 函数。好在每个周期上，仅周期端点是这 2n 个波公共的 2π 相位重叠点（也即 2n 个波峰重
该命题问世以来，其证明一直被喻为是摘取“数学皇冠上的明珠”。所以，1920 年以来， 全世界数学家展开了一场 “逐步逼近”、无限缩小包围圈的战役，依次证明出了“9+9” “7+7”…“1+2”。“1+2”是我国数学家陈景润于 1966 年证明出来的，被誉为“陈氏定理”， 其结论是：充分大的偶数，可表示为一个素数和一个不超过 2 个奇素数乘积数之和。
证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程
1. 该课题的研究历史
上文中，哥德巴赫猜想的证明，涉及到数轴上不同属性自然数之分布规律。自然数除 “1”之外，其余是位置互补的两类数：第一类是素数，也称为质数，它指那些大于 1、且 只能被 1 和自身整除的数；素数从唯一的偶素数 2 起始，存在无穷多个，但其分布是无章 可循的。第二类是合数，它指那些两个以上素数之乘积。所以，素数只含本身一个素数因
叠点）。虽因 2n 个波的幅值相等、其中正波与负波数目也相等，在公共的波峰重叠点之上
δn (x) 的正、负分量平衡、相消为 0。但在稍微偏离波峰公共重叠点处，分别以 p1 、 p2 … pn 为周期的这 n 个周期最短、周期差最小、且幅值同为正 1 的波，率先走完了各自的第一个 周期，纷纷回落到其波谷 0 点，造成了δn (x) 的正分量锐减，而此处绝大多数负波还正在向 其波峰值“ −1” 靠近，负分量幅值仍较大，所以在波峰重叠点正、负分量平衡的状态、 被最大程度地打破了，出现了最大负峰值。由于最大峰值是由 n 个峰值为 1 的正波、密集 回落造成的，所以最大负峰值的幅度不会大于 n 。或者说是 n 个 pi 的第一个筛点在 (1, pn+1)
但在人们庆幸该成果诞生之余，却无奈地发现终极目标“1+1”距我们并非只剩下“一 步之遥”，而是还“远在天边”！因为从“9+9”到“1+2”的证明过程中，一直使用的这种 “逐步逼近”的办法，似乎已走到了尽头，无法再继续下去、抵达终极目标“1+1”了！
这种结局的积极意义是：它促使人们摆脱陈旧的定势思维、重起炉灶、另辟蹊径、建 立新的数学模型、创新数学方法，使该课题峰回路转，闯出了柳暗花明的又一片新天地； 但其消极影响也很严重，它挫伤了一些人的自信心，从而引发了许多悲观的、无所作为的 论点。当时，某权威媒体曾刊文说：“大批中外数学家成年累月地努力尚未解决的难题，如 果可以靠加加减减和微积分去解决，那么近百年的数学发展不是等于零吗？大批数学家的 努力不是等于零吗？”这种棉里藏针且极为情绪化舆论压力，使得再也无人敢正视该课题 的新研究成果，将其一概斥之为“胡说八道”。这就是 1966 年至今又过去了半个世纪！该 课题仍然推不出更新的研究成果的主要原因之一！
pi −2 pi
≥
1 3
不会成为
0！否则就无法用“双筛法”完成该课题！
“双筛法”将传统筛法中的“筛一个”转换成了“筛一双”，从而有过之而无不及地删
掉了所有的“孤寡素数”，使其“1+1”数目计算值，只能小于或等于其真值！而绝不会大
于其真值！比如在上例中，在用 p2 双筛的基础上再用 p3 (= 5) 双筛时，只有 25+19 这种“单
δ δ p 例图（5）： 4 阶前半周期上的误差曲线 4 ( x) 的示图 {为使纵坐标整数化，图上纵坐标等于 35 × 4 ( x) }
4.哥德巴赫猜想命题的证明结论.
猜想证明所针对的对象，是大偶数而非小偶数，而大偶数的真实情况是：偶数 2a 越大，
例图（4） p3 阶全周期上的误差曲线 δ 3 ( x) 的示图 {为使纵坐标整数化，图上的纵坐标等于 30 × δ 3 ( x) }
4/5
---------------112223344455665544433222118426048260482600480628406284062
27
0 -8
23 26
解决方法：用准素数平均密度 ωn 与 x 乘积ωn x 及其误差界值表示素数数目下界. 准素数是离散分布的，其数目是随 x 阶梯性变化的阶梯函数，不可能写成 x 的连续函 数，所以无法利用连续函数已有的丰富成果、证明猜想命题。因此需要构造一个 pn 阶准素
数数目的线性近似函数ωn x ，用它及其误差来表示 pn 阶准素数数目。当然这个函数并非是
数与素数的关系，确定素数数目。下面例图（2）是 p3 阶准素数模型一个周期的示意图。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
（2）难点之二：建立沟通连续与离散数学问题的桥梁，借用连续函数解决离散问题.
凭空想象出来的，它实际可称为真值阶梯函数之伴随函数。因为该 ωn x 在周期两端点、中
点的值都与真值相等，真值阶梯函数曲线，就像藤绕树那样缠绕着ωn x 直线，除周期端点、
中点之外，二者还存在着更多的交叉点。原文证明 ωn x 相对真值的最大误差小于 n 。比如
说n
=
4 （ω4
=
8 35
）时，用ω4 x
区间内纷纷密集出现，造成了极大的准素数空白区、和因空白区形成的最大负误差。
周期中点，则是 2n−1 个周期为奇数锯齿波的 2π 相位重叠点。因此在其邻近区域，也出
现了近相位相长叠加，也产生了较大的负误差峰值，但其幅度小于端部。下面的例图（4）、
（5），分别是δ3 (x) ， δ4 (x) 的示图，可以看出，阶次越高，其最大负误差峰值便越突出。
40
30
3 0 * δ3( x )
20
22
10
16
14
28
26
0 -10 -20
0 -8
4
2
-2
-4
-14
-16
-30
-26
-28
8
x
0
-22
-40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
由例图（1）可知，整分割对就是关于 a 点对称的两个整数 (a − j) 和 (a + j) 。在用偶
素数 p1(= 2) 筛除时，由于其筛点关于 a 点也是对称分布的，所以筛掉和存留的整分割对都
是完整的。它筛掉了所有的偶分割对；保留下所有的奇分割对。奇分割对的对数至少有
a 2
对。
进而，用奇素数 pi 筛除时，由于其筛点关于 a 点一般是不对称的，所以一般筛掉的只
计算小于
121
的素数（注意
2、3、5、7
暂且不记，但要记
1）数目，其误差不超过 4.下面例图（3）是线性近似函数 ω3x 与真值阶梯函数之关系图：
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（3）难点之三：证明 pn 阶线性近似函数ωn x 的计算误差之界值，即证明： δn (x) < n 解决办法：发掘出叠加误差 δn (x) 的 2n 个周期各异、幅值为 ±1的锯齿波函数；揭
合数的通用计算式。那么，若用 p2 (= 3) 筛除时，可从数轴原点起每隔 3 个数、筛掉一个、
存留两个，在通用计算式中，存留率计为
2 3
即可。但这样做却存在一个问题，就是素数“3”
被筛掉了。因此传统筛法中，各 pi 的筛点都是从 2 pi 点开始的，这样做有利之处仅仅是留
住了 pi 这个素数；但其弊却远大于利。各 pi 筛网仅因起始点不同，而破坏了整个筛网的完
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成 a 对整分割对，再用 p1 筛掉其中的偶分割对，最后再用奇素数筛网 p2 … pi … pn 成双成
对地筛掉
a 2
对奇分割对中的那些“双合数”及“单合数”分割对，剩下的就只有“1+1”了。
要分割 2a ，只要绕 a 点将数轴右半段旋转 180 度，在数轴重叠段上，位置重叠的每一 对整数，就是偶数 2a 的一对整分割对。如例图（1）中，偶数 44 分割、筛选示意图所示：
子；而合数至少含有两个素因子。由此可推知，任意合数 b 的最小素因子，不可能大于 b 。
那么，不大于任意偶数 2a 的合数之最小素因子，不可能大于 2a ；筛掉了不大于 2a 的 所有素数之整倍数、就筛掉了不大于 2a 的全部合数，就暴露出了小于 2a 的素数。
哥德巴赫猜想命题，是 1742 年德国数学家哥德巴赫提出来的。其内容可表述为：凡是 大于 4 的偶数必为两个奇素数之和。所以又将其简记为“1+1”，“1+1”可被形象地理解为 一个只含“1”个素数因子的奇数、再加上一个只含“1”个素数因子的奇数。
32
41 44 19 22
31
37 18
46 24 27
33 36
23
14 -12 -9-18来自13 -3-22
69 -16 -13
2 -4
-17
11 -11 -8
-2 1
-12
16
-6
-3 0
-19
x
-34 -31
-41 -38
-53
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112
为了暴露偶数 2a 的素分割对“1+1”，设小于 2a 的素数共有 n 个，并用 pi 表示其中
任一个 (i = 1, 2, 3...n) 。那么，在[0, 2a]上，只需筛掉所有 pi 的整倍数，存留下来的整数就 都是素数了。为了只存留能构成“1+1”的素数，可先分割、后筛选。即先将偶数 2a 分割
整性、周期性、对称性。因此必须改造传统筛法，建立新的数学模型——准素数模型。
新模型只是让 n 个 pi 筛网的筛点、都从原点起始，仍保持每隔 pi 个整数筛掉一个。但
它却使筛网具有了完整性、周期性、对称性。其唯一的缺点是在[0, pn ] 上筛掉了 p1 — pn 这 n
个素数、且保留了“1”，除此之外与传统筛法完全相同。所以新模型的利远大于弊，可利用 它的周期性、对称性建立准素数数目的线性近似计算式；并证明出其误差界值；再根据准素
2.该课题研究的新思路和新证明方法
摆脱了旧有定势思维的禁锢、和逐步逼近的思想方法的束缚，思路便豁然开朗了。
如前所述，素数的分布是无章可循的；而小于 2a 的合数则是可以依据小于 2a 的素
数确定的，是有章可循的。所以，用原来“逐步逼近”的方法、直接探寻无章可循的“1+1”， 不如另辟蹊径、淘汰所有有章可循的非“1+1”，间接暴露出“1+1”。这就如同直接观察求 索不可见之黑洞，不如根据周围可见天体的运动状态，去推测黑洞之存在位置一样。
是奇分割对的半边，还保留着另半边。比如上例中再用 p2 (= 3) 筛时，筛掉了 3、9、15、21、27、
33、39 这七个数；还残留着与其成对的 41、35、29、23、17、11、5。这些残留数中，除 35 和 5
等个别数在后面再用 p3 (= 5) 筛时还能被筛掉，其他都是素数，不会再被筛掉的。这些残留