史树中金融经济学十讲部分答案

证券的收益率的组合的相互关系。 解：证券组合 y 的收益率为 ry 为
ry
y1 y 2 y1 y2 p ( y1 y 2 ) p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y 1 ) p ( y 2 )
p ( y1 ) y1 p( y 2 ) y2 p ( y 1 ) p ( y 2 ) p ( y 1 ) p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y 2 )
2(V11 V12 ) w1 （ 2 V11 V12）w1 V11
当 w1
2
2
2(V11 V12 ) 1 时， 4(V11 V12 ) 2
8(V11 V12 )V11 4(V11V12 ) 2 1 (V11 V12 ) 8(V11 V12 ) 2
令
w1
p ( y1 ) p( y 2 ) , w 2 p ( y1 ) p ( y 2 ) p ( y1 ) p ( y 2 )
( w1 w2 1)
则
1 ry w1ry w2ry2
设 x1 , x2 ,..., xn 的收益率分别为 r1 , r2 ,..., rn ，则
用拉格朗日乘子法求解，
L( w, 1 , 2 ) wTVw ( wT e 1) ，求偏导，得
1 w eV 1 2 1 wT u V 1eT u u 2 代入计算，得 （ 2 1 2 1 2 1

2 1
... 1
1

2 n
) 1 1
2 n
2 w V 1eTV eV 1

2 1
...
以上为最小方差的表达式，其有效组合为 ( w , uw ) ，由于其中 w , uw 均为常数，所以 有效组合为一个点，即一种证券。
（王正旭） 4. 设证券 p 和证券 q 有同样的收益（期望收益率）和风险（收益率标准差） 。试讨论这两种 证券的组合，并指出其前沿组合和协方差 Cov[rp , rq ] 之间的关系。 解：设 p=1，q=2，马科维茨问题为
'
(( ' ) T V 1 ' ))1 / 2
一般情况下， 有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点( m , m ) ) ， 因此， 在这条射线上的每一点所对应的期望收益μ1 都有下列形式：
W r f W ( M r f )
（1）
其中 W W / M 。这一等式也有资本资产定价模型的形式，但它并不是资本资产定价 模型，而只是说，对应各种有正β的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合。如果 把（1）式理解为 W 与 W 之间的关系，那么它的图像也是一条直线，这条直线通常称为证 券市场线，其表达式就是（1）式。
1 ry wi' ri , ry2 wi'' ri i 1 i 1 n n
其中
wi' 1, wi'' 1
i 1 i 1
n
n
(彭先慧) 2.设 p 和 q 为两种证券，且它们的收益率
r
p
和
r
q
满足
E[r p] E[r q] ，那么这两种证券
组合前沿是什么？证明，证券 p 是这两种证券的前沿组合的充要条件为
r , r ] Var[r ] 。
p q p
（彭喆） 3.如果 n 种证券的期望收益率都相等，但收益率方差可能不同。同时，它们又都是互不相关 的。试求出其有效组合，并写出其最小方差的表达式。
2 w min wT Vw T 解： w e 1 ( w1 w2 ... wn )u u
w (w01 w02 )rf w11 w2 2 K wn n
K wn ( n rf ) w ( rf 而组合的方差则 ) 从而 w r f w 1 ( 1 rf ) w 2 ( 2 rf )
T
显然仍为 w w Vw .此问题也就变成了证券集中含有一种无风险证券的情况 .则由 4.4
2 2 w 11 1 12 1 2 22
2 2
将
w
2
1 w1 代入可得

2 w
(V 11 V 22 2V 12) w1 2(V 12 V 22) w1 V 22
2
所 以 当
w
1
V V V V 2V
22 12 11 22
时
12

2 w
取 最 小 , 所 以 此 时 可 以 得 到
(胡小英) 9.什么是资本市场线？什么是证券市场线？请用证券的收益率来写出它们的表达式， 并指出
它们的不同含义及相互关系。 答： 假设 n 种证券中包括有误风险证券， 则组合的收益 （μ） 和组合的风险 （σ） 之间在 （σ， μ）平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条射线，其中上面的一条射线是有效前沿， 通常称为资本市场线，其表达式为：
第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型 ——习题解答
（葛乐乐） 1. y 1 x1 2 x2 ... n xn , p 1,2 为 两 个证券 组合 的未来 价格 。试指 出证 券组 合
p p p p
y y1 y 2 的收益率 ry 与 y1 , y 2 的收益率 ry1 和 ry2 之间的关系。特别是指出，他们作为 n 种
2
与市场风险无关的非系统风险 Var[ ] 。非系统风险是与 2 正交的 所造成的风险。所谓系 统风险和非系统风险是风险的一种“正交分解” 。 系统风险是与市场的具体情况有关的， 非系统风险是所有市场共有的特征， 是随机因素。
（杨丽） 11．怎样看待资本资产定价模型与马科维茨证券组合选择理论之间的关系？ 答：资产定价模型以证券组合理论为基础的，而且它们是等价的。因为证券组合选择理论 是关于风险控制和增加收益的理论， 应用标准差和期望值进行组合配置， 以实现在风险程度
(V11 ( w 2 ) V12 ( w 1 )) 2 (V11V22 V12 2)( w 1 ) 2 ， V11
2 将 V11 12 ,V22 2 ,V12 1 2 r12 , 1 2 , r12 1 代入上式，化简得
2 2 w 12 2 ，即为常数。
且不是总体极小风险组合，那么一定存在另一个极小风险组合 wq ，使得 Cov[rp , rq ] 0 。 （大家都不会，请老师多指教）
（骆挺挺） 8.什么是资本资产定价模型中的市场组合？怎样来论证市场组合是有效组合， 并且它不包含 无风险证券？ 答：所谓市场组合是指市场上所有投资者的证券投资的总和所形成的组合。 在市场组合不包含无风险证券的前提下， 要论证市场组合是有效组合， 首先假设所有投 资者都是“理性投资者” ，并且他们的投资策略都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那 么每个投资者的证券选择都形成一个有效组合。 再由定理 4.2 的结论， 两个有效组合中的证 券合在一起， 一定也是一个有效组合。 由此继而导得有限个投资者的所有证券合在一起所形 成的证券组合也是有效的，由市场组合的定义，即市场组合是有效的。
（曾浩娥） 12． 本讲导出的资本资产定价模型与上一讲中的资本资产定价模型有什么不同？它们之间有 什么关系？ 答：不同之处在于：当 ru 和rv 都是风险证券收益时，本讲中没有 Erv 0 的要求，但是对 于 i 多了与 rv 的联系。由于 Eru Erv ，它们两者中至少有一个不为零。因此，当
2 2 min Vij wi w j w i , j 1 s.t.w1 w2 1 w w 1 1 2 2 w
由题知： V11 V22
w 2 V11 w1 2 2V12 w1 w2 V22 w2 2
V11 w1 2V12 w1 (1 w1 ) V11 (1 w1 ) 2

2 w
V 11
11 22
即

2 w

(V 11 V 22 2V 12)V 22 (V 12 V 22) 2
V V
11
22
2V 12
2V V V V
11
22
2V 12
V 12
2
V 11
V 11 V 12
即 p 是这两种证券的前沿组合的充要条件为 Cov[
Cov[r p , r q] Var[r p] 。
解：设 p 1, q 2 ,及 E[
r ] E[r ]
p q
T min w VW w 由 w1 w2 1 w1 w2
所以可得
V w 2V w w V w 因为

2 w
Байду номын сангаас
(V 11 V 22 2V 12)V 22 (V 12 V 22) 2
V V
11
22
2V 12
2V V V V
11 11
22
22
2V 12
V 12
2
为一个常
数值，而 ，所以此时的组合前沿为一个点。 （2）证明：当证券 p 是这两种证券的前沿组合时即
w 2 min w 2
从而其前沿组合和协方差 Cov[rp , rq ] 之间的关系为：
w 2 (Var[rp ] Cov[rp , rq ])
1 2
（罗华环）
5 .对于任意的证券集,有效前沿是否一定存在?试讨论有两种同样风险,不同收益的证券的组
合.当他们的相关系数为1 时,它们的有效前沿存在吗? 解:由二次规划问题,
2 min w wTVw , w1 w2 1 w w 1 1 2 2 w
由后两个式子可得
w1
w 2 1 。 , w2 w 1 2 2 1
2 代入 w wTVw ，得
2 ( w 1 )2 w
(白娟娟) 10.什么是证券收益的系统风险和非系统风险？能不能把系统风险称为“系统风险”？ 答： Var[ri ] i Var[rii ] Var[ ] ， i Cov[ru , ri ] Var[ru ] ， ri 是市场收益率，
2
证券收益的风险可分为两部分，一部分是市场带来的系统风险 i Var[rii ] ，另一部分是
w01 w02 w1 w2 K wn 1的 w01 , w02 , w1 , w2 ,K , wn ,其中 w01, w02 为两种无风险证券
的 组 合 . 我 们 仍 记 w ( w1 , w2 , K , wn )T , 这 时 , 组 合 的 期 望 收 益 率 为
即两种组合取哪一种风险都一样， 而期望收益率不同， 这与有效前沿对应的风险与收益 的关系为“高收益对应高风险”这个结论矛盾，即有效前沿不存在。即对于任意的证券集， 有效前沿不一定存在。
(景丽星) 6,如果证券集中有两种收益不同的无风险证券,那么他们对该证券集的有效前沿有什么影 响? 答 : 若 证 券 集 中有 两 种 收 益不 同 的 无风 险 证 券 , 组 合将 定 义 为 满足
2 T
知.带无风险证券的有效前沿的证券组合是一条射线 .则证券集的有效前沿由双曲线的一支 变为一条射线.
1 2 n T 1 2 n T 7.设证券组合 w p ( w p , w p ,..., w p ) , wq ( wq , wq ,..., wq )
， 那么它们的收益率的协方差
Cov[rp , rq ] 该怎样用 n 种证券的协方差阵来表示？试由此证明如果 w p 是极小风险组合，并
一定的条件下期望收益最大化， 或是期望收益一定的条件下风险程度最小。 而资本资产定价 模型是在理想的条件下在给定的风险组合中如何确定其中单项风险资产的收益率， 所以从理 论发展进程来看，证券组合理论在前，资本资产定价理论在后，资产定价模型以证券组合理 论为基础的。另外，通过定理 4.4 的证明可知资产定价模型与证券组合选择理论是等价的。