第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章曲线积分与曲面积分

第三节 Green公式及其应用

1．利用Green公式，计算下列曲线积分：

(1> ，其中为正向圆周；

解：由Green公式，得

，

其中为。

(2> ，其中为以及为顶点的三角形负向边界；

解：由Green公式，得

。

*(3> ，其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧；

解：连直线段AB，使L与围成的区域为D，由Green公式，得

*(4> ，其中为正向圆周.

解：因为，。作足够小的圆周:,取逆时针方向，记与围成的闭区域为，由Green公式，得，故

2．计算下列对坐标的曲线积分：

，其中为曲线上由点到点的一段弧；

解：，，

故积分与路径无关，取经x轴到点的一条路径，从而

原式=。

*3．设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有.

证明：，记L围成的闭区域为D,由Green公式，得

.

第四节对面积的曲面积分

1．填空题：

(1> 设为球面，则；

(2> 面密度的光滑曲面的质量.

2．计算下列对面积的曲面积分：

(1> ，其中为平面在第一卦限的部分；

解：，，

(2> ，其中为的部分；

解：，

*(3> ，其中为围成四面体的整个边界. 解：，其中

，

，

，

。

第七节 Stokes公式 *环流量与旋度

1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

(1> ，为面内圆周逆时针方向；

解：取为平面的下侧被围成的部分，D为在面上的投影区域。由Stokes公式，得

(2> ，为平面在第一卦限部分三角形的边界，从轴正向看去是逆时针方向；

解：取为平面的上侧被围成的部分，的单位法向量。由Stokes公式，得

第十一章综合练习题

1．填空题：

(1> 已知为椭圆，其周长为，则

12a；

(2>已知为直线上从点到点的直线段，则1；

(3>设是以点,,为顶点的三角形正向边界，则0；

(4>曲线积分与路径无关，则可微函数应满足条件；

*(5>设为平面在第一卦限的部分，取上侧，则

0.

2．求下列曲线积分：

(1> ，其中为球面被平面所截得的圆周；

解：在的方程中，由于x, y, z循环对称，故，于是

*(2> ，其中是以为圆心，为半径的正向圆周；

解：，。作足够小的椭圆，取顺时针方向，由格林公式，得

。

所以

*3．在过点和的曲线族中，求一条曲线，使该曲线从到积分

的值最小.

解：令，则

。

所以所以得驻点。又，故

在取得最小值，从而为。

*4．设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的导数, 且,计算. 解：，，由于积分与路径无关，

所以，即，从而。由，知，所以。于是

。

5．计算下列曲面积分：

(1> ，其中为圆柱面介于与之间的部分；

解：在的方程中，由于x与y循环对称，故，于是

*(2> ，其中为下半球面的上侧；

解：设平面，取下侧。

和围成的下半球体为。由格林公式得：

近三年考研真题

<2018年）1. 设, ,

, 为四条逆时针方向的平面曲线，

记，则< ）

(C>

<2018年）2. 设，则

<2018年）3. 设L是柱面方程与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

<2018年）4. 已知L是第一象限中从点<0，0）沿圆周到点<2，0），再沿圆周到点<0，2）的曲线段，计算曲线积分。

近三年考研真题解读

<2018年）1.解读：由格林公式：

，在内，因此。

而在在外，因此。

可得。<利用极坐标分别计算出和）

<2018年）2.解读：由曲面积分的计算公式可知：

，其中，

故原式=。

<2018年）3.解读：由斯托克斯公式得：

<2018年）4.解读：设圆为, 圆为，所补的直线为，由格林公式得：

原式