无理根式的不定积分

2
p1 x q1

1
x
s t i 1
2
pt x qt

t
其中 b0 1, i , j i 1,2,
j 1
, t 均为自然数，而且
2 2 m ; p i j j 4q j 0, j 1,2, , t .
第二步 根据分母的各个因式分别写出与之 相应的部分分式：
8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为有理 函数.其一般形式为
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 dx 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
2 1 t 解法一： 2 dt I 1 t 1 2 1 t x dt t c tg c 2
t tg
x 2
解法二： ( 用初等化简 ) 1 dx x x 2 x I sec d ( ) tan c 2 cos 2 x 2 2 2 2 解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )
(1 )
ln x a C , k 1, dx 1 ( x a )k C , k 1. k 1 1 k x a
(2)

Mx N dx ; 2 k ( x px q )
2
2 p p 2 x px q x q , 2 4 p 令 x t 记 x 2 px q t 2 r 2 , 2 Mx N Mt b, 2 p Mp 2 则 r q , b N , 4 2
2 1 1 2 ln 1 2 x ln( 1 x ) arctan x C . 5 5 5
例6 求积分

x 6
1 1 e e e
x 2 x 3 x 6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 2x 3x 6x dx 1 t 3 t 2 t t dt 1 e e e
2 2 2
1 1 t2 2 I k 1 2 2 2 k dt r r (t r )
1 1 1 2 I k 1 2 td ( 2 2 k 1 ) r 2r (k 1) (t r )
1 1 t 2 I k 1 2 I k 1 2 2 k 1 r 2r (k 1) (t r )
第三步 确定待定系数 。 一般方法是将
所有部分分式通分相加， 所得分式的分母即 为 原 分 母 Q x ， 而 其 分 子 亦 应 与 原 分 子
P x 恒等．
于是， 按同幂项系数必定相等， 得到一 组关于待定系数的线性方程，这组方程的 解就是需要确定的系数．
真分式化为部分分式之和的待定系数法
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
k 1,
2
0
k 1,
Mx N ( x 2 px q )k dx
b Mt 2 2 k dt 2 2 k dt (t r ) (t r )
t 1 (t 2 r 2 )k dt 2(1 k )(t 2 r 2 )k 1 c
令
dt 1 (t r ) t I k 2 2 k 2 2 2 k dt (t r ) r (t r )
1 x3 x 1 x 2 . 例 2 x 1 x 1
有理真分式必定可以表示成若干个部分分
式之和(称为部分分式分解)
有理函数化为部分分式之和的一般步骤：
第一步 对分母 Q x 在实系数内作标准分解：
Q x x a1
1
x as x
s
1 ln x ln x 1 C . x 1
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x ) 1 dx 解 2 (1 2 x )(1 x ) 4 2 1 x 5 dx 5 2 5dx 1 2x 1 x 2 1 2x 1 1 ln 1 2 x dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x
n
n 1
（ 1）
其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,, an 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且 a0 0， b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和.
1 cos x d sin x 2 I dx csc xdx 2 2 1 cos x sin x 1 cot x c csc x cot x c sin x
x tan c . 2
sin x dx. 例9 求积分 1 sin x cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x 2 1 u 1 u2 2 cos x dx du, 2 2 1 u 1 u 2u sin x 1 sin x cos x dx (1 u)(1 u2 )du
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; k 1, 分解后为 2 特殊地： x px q
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
1 A Bx C , 例3 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
例7

dx x ( x 10 1)
x9 ＝ 10 10 dx x ( x 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
dx x( x 10 1)
10 1 1 1 1 x 10 ( 10 10 )d ( x ) ln 10 C 10 x x 1 10 x 1
二、三角函数有理式的不定积分 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则 运算构成的函数称之为三角有理式． 一般记为 R(sin x , cos x ) 三角有理函数的积分，一般有如下规律 （一）
1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 3 d (1 t 2 ) 1 6 ln t 3 ln 1 t 3 dt 2 2 1 t 1 t 2
k ( x a ) （1）分母中若有因式 ，则分解后为 A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa 其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数. A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa 2 k （2）分母中若有因式 ( x px q ) ，其中 2 p 4q 0 则分解后为
Mt Mx N b dt 2 dx 2 dt 2 2 k k 2 k ( x px q ) (t r ) (t r )

1
0
p x M b 2 C; ln( x 2 px q ) arctan 2 a a
Mx N x 2 px q dx
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
所以 结论
t 2k 3 Ik 2 2 I k 1 2 2 k 1 2r (k 1)(t r ) 2r (k 1)
有理函数的原函数都是初等函数.
注 用求有理真分式的最简分式分解式的方 法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有 理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其 它更简便的解法。
3 6 ln t 3 ln 1 t ln( 1 t 2 ) 3 arctan t C 2
3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e ) 3 arctan( e ) C . 2
x 6 x 3 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只 出现两类情况： A Mx N (1) dx ; （2） dx ; k 2 k ( x a ) ( x px q ) 对于
（万能置换公式）
（二）万能代换
1 u 2 2u , du sin x , cos x 2 2 dx 2 1 u 1 u 1 u
2
R(sin x ,cos x ) dx
2u 1 u 2 2 R , du. 2 2 2 1 u 1 u 1 u dx 例8 1 cos x 2
R(sinx)cosxdx R(cosx)sinxdx R(tanx)sec xdx
2
令t sin X 令t cos X 令t tan X
x x 2 tan 2 tan x x 2 2 , sin x 2 sin cos 2 2 sec 2 x 1 tan 2 x 2 2 x x 2 2 cos x cos sin , 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2, 2 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x x 2 arctanu 令u tan 2