2021年高中数学 三垂线定理及其逆定理教案 人教版
三垂线定理()教案 新人教A版必修
实用文档 精心整理1课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程： （一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体中，求证：（1）；（2）． （二）新课讲解：例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ∵，且 ∴（三垂线定理逆定理） 同理，∴为的垂心， ∴， 又∵， ∴（三垂线定理）【练习】：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，求证：点在内的射影是的垂心．例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．1AC 111BD AC ⊥11BD B C ⊥A BCD ∆O A BCD ,AC BD AD BC ⊥⊥AB CD ⊥,,OB OC OD AO BCD ⊥平面AC BD ⊥BD OC ⊥OD BC ⊥O ABC ∆OB CD ⊥AO BCD ⊥平面AB CD ⊥BCD ∆A BCD O BCD ∆B ACD ∆P ACD ∆S ABC -,SA ABC ABC ⊥∆平面H A SBC H SBC ∆DCBAD 1C 1B 1A 1O DCBA实用文档精心整理 2 证明：假设是的垂心，连结，则，∵∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又∵，是在平面内的射影∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又∵，∴取中点，连结，∵，∴为在面上的射影，又∵正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又∵，∴．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，求证：平面．2．已知是所在平面外一点，两两垂直，H SBC∆BH BH SC⊥BH SBC⊥平面BH AB SBCSC AB⊥SA ABC⊥平面AC SC ABCAB AC⊥ABC∆ABC∆H SBC∆1111ABCD A B C D-E1CCF,AC BD1A F BED⊥平面1AA ABCD⊥平面AF1A F ABCDAC BD⊥1A F BD⊥BC G1,FG B G111111,A B BCC B FG BCC B⊥⊥平面平面,B G1A F11BCC B11BCC B,E G1,CC BC1BE B G⊥1A F BE⊥EB BD B=1A F BED⊥平面P ABC∆,,PA PB PC H ABC∆PH⊥ABCP ABC∆,,PA PB PCHCSBAGFED CBAD1C1B1A1。
三垂线定理及逆定理的应用
三垂线定理及其逆定理的应用教案教学目的(1) 使学生初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律.(2) 进一步培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力.教学过程一、复习师：三垂线定理及逆定理的内容是什么？怎样证明？(在学生回答时，教师画出图1,并强调指出：a在a内的位置不一定过点O.)怪11生：(三垂线定理的证法，要求学生用双剪头的书写格式. )师：对于三垂线定理要注意以下三点：(1) 三垂线定理包含三个垂直关系. PAL a, AC L a, PC L a,且(2) 三垂线定理及其逆定理是判定直线和直线垂直的重要命题.(3) 在论证直线和直线垂直的问题中，常常要考虑应用三垂线定理及其逆定理.、应用(教师根据复习时的小结引出课题：三垂线定理及其逆定理的应用. )1第一类练习题目的：进一步使学生加深对三垂线定理的理解. 复习应用三垂线定理的基本规律. 从题目条件的变更中，增强学生对三垂线定理的认识以及应用能力.教法：教师提出问题，利用投影机将图形映在屏幕上，全班学生思考，个别学生回答.题目：如图2,已知矩形ABCD中，2BC=AB M是DC的中点，PA!平面ABCD求证PML MB学生回答后，教师作简要讲评•然后，对题目的已知条件进行变换，让学生回答.(1)如果将题设中2BC=ABt掉，其他条件都不变，那么PM和MB是否垂直?(教师随即在屏幕上映出图3,让学生思考议论、回答.)J M⑵ 如果题设中的 M 不是DC 的中点，其他条件都不变，那么 PM 和MB 是否垂直?(教师在屏幕上映出图4,让学生思考议论、回答.)(3) 如果将题设“ PU 平面 ABCD 改为“ PA 为平面ABCD 勺斜线”，其他条件不变, 那么PM 和MB 的位置关系将会怎样？①一定不垂直?②不一定垂直？在什么情况下垂直?图5 耕(根据学生回答，分别在屏幕上映出图5、图6、图 7.)图4J MB教师讲评后指出，从题目题设的变化中可以看出应用三垂线定理的要点是：平面内的一条直线垂直于这个平面的斜线在平面内的射影（特别强调“垂直”、“射影” ）•小结：（师生共同完成.）（1）欲证直线和直线垂直，要考虑应用三垂线定理.（2）应用三垂线定理时，必须满足定理的条件.2•第二类练习题目的：通过图形位置的变化，使学生能够在不同情况下，正确地应用三垂线定理，克服思维定势给证题带来的消极影响.教法：教师先在黑板上写出第（1）题的题目，让学生思考，并画出图形，写出证法要点，教师巡视，个别指导•然后，让一位学生板演，教师讲评•教师再在黑板上写出第（2）题的题目，画出图形，让全班学生思考，回答.（1）已知：在Rt△ ABC中，/ A=Rt Z, PA!平面ABC BDLPC,垂足为D.（图8）求证：ADL PC⑵在正方体ABCD-A1B1CD中，求证BD丄平面ABC.（图9）U9E；小结：（学生回答教师归纳.）应用三垂线定理及其逆定理证明直线和直线垂直时，不能受图形形状的影响，要细心观察直线与平面的内在关系，只要符合定理的条件便可得出垂直的结论.3.第三类练习题目的：通过三垂线定理证明直线和直线垂直，从而计算点到直线的距离，让学生初步掌握立体几何计算题的解题思路.教法：教师提出问题，画出图形，师生共同研讨.教师写出解题要点.⑴已知：等腰三角形ABC中，Z A=120°, AB=AC BC=6 PB丄平面ABC PB=3.（图10）求点P到AC的距离.團ID（注意引导学生确定点D的位置.）②已知：Rt△ ABC中，Z C=90 , AC=a BC=b点P到平面ABC的距离为h,且PA=PB=PC （图11）求点P到Rt△ ABC三边的距离.图11（引导重点是：确定P在平面ABC内射影0的位置，直角三角形外心的性质.）讲完以上两题后，教师引导学生看书，讲解课本的例题，不作板书.（课本例题：道旁有一条河，彼岸有电塔AB高15m只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？）4.例题在教师引导下，启发学生积极思考，教师根据思路写出解题的全部过程，力求简明 扼要、规范，给学生作出示范，以培养学生解题能力和文字表述能力.［例1］已知：PA PB PC 两两垂直.求证：P 在平面ABC 内的射影0是厶ABC 的垂心.（教师画出如图12或图13的图形，可任选其一.）师：欲证0为厶ABC 的垂心，需知垂心定义.根据垂心定义，只需证出直线 AO 、BOCO 分别垂直于BC CA AB.如何证出AC L BQ 要考虑应用三垂线定理的逆定理.PO PA 与平面ABC 是什么关系？ AO 与PA 有什么关系？ PA 与BC 有什么关系？（教师边问、边根据学生回答写出证明过程. ）证明 因为P 在平面ABC 内的射影为O,所以POL 平面ABC 连结AQ 延长AO 交BC 于D,贝V AO 是PA 在平面ABC 内的射影.••• AP 丄 PB API PC 二AP 丄平面PBC.又BCu 平面PBG••• AP 丄 BC根据三垂线定理的逆定理，得 ADL BC 所以，人。
高中数学三垂线定理及其逆定理教案人教版
《三垂线定理及其逆定理》教案知识目标：1、掌握三垂线定理及其逆定理；2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力。
3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。
教学重点、难点：重点：1、三垂线的分析和证明；2、三垂线定理及其逆定理的应用。
难点：正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。
教学过程：一、回顾与思考：1、回顾直线与平面垂直的相关性质；2、阅读课本，找出射影、斜线段等概念；3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不（用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下，引起学生思考）（还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子， 用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢？当且仅当草料与刀座垂直就行。
） 二、新课讲授：1、由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO ⊥α，PA 与α斜交于点A ，AO ⊥a ，问PA 与a 所成的角；显然PO ⊥α POα⊂a OA a 平面POA PAPOOA=O PA 平面POA即：PA 与a 所成的角为900由此可以得到： 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（说明：三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO 才是抓住了定理的实质与关键）2、让学生说出三垂线定理的逆命题，并说明其真假，如果是真命题，能否证明这个命题。
PO ⊥α POα⊂a PA a 平面POA OAPOPA=P OA 平面POA由此可以得到：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。
说明：⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为：斜线（PA ）、射影线（OA ）和直线a 之间的垂直关系。
⑵、如果把PA 、OA 、a 之间的垂直关系作整体思考，三垂线定理及其逆定理的“一致性” 描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。
三垂线定理示范课教案
三垂线定理示范课教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生理解三垂线定理的内容及其实际应用。
2. 学会使用三垂线定理解决几何问题。
过程与方法：1. 通过观察模型，引导学生发现三垂线定理的规律。
2. 培养学生运用几何推理和证明的能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作学习的良好习惯。
二、教学重点与难点重点：三垂线定理的内容及其应用。
难点：三垂线定理的证明和运用。
三、教学准备教具：三角板、直尺、圆规、模型等。
学具：笔记本、笔、三角板、直尺等。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对三垂线定理的思考。
2. 新课讲解：（1）引导学生观察模型，发现三垂线定理的规律。
（2）讲解三垂线定理的内容，让学生理解并掌握。
（3）举例说明三垂线定理的应用，让学生学会运用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成一些有关三垂线定理的练习题。
（2）引导学生相互讨论，共同解决问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固三垂线定理的知识。
2. 选取一道有关三垂线定理的综合题，进行深入研究和思考。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂练习环节，观察学生对三垂线定理的理解和运用情况。
2. 课后作业的完成情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 对学生进行访谈，了解他们对三垂线定理的理解和兴趣。
七、教学反思课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对三垂线定理的理解和掌握程度。
2. 教学方法和教学内容的适用性。
3. 学生的参与度和积极性。
八、拓展与延伸1. 引导学生探索三垂线定理在实际生活中的应用。
2. 介绍与三垂线定理相关的数学历史故事，激发学生的兴趣。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，提高他们的数学能力。
九、教学评价1. 学生对该节课的理解和兴趣。
2. 学生对三垂线定理的掌握程度。
3. 学生参与课堂活动和合作学习的情况。
十、教学计划本节课的教学计划如下：1. 导入：10分钟2. 新课讲解：20分钟3. 课堂练习：15分钟4. 课堂小结：5分钟5. 课后作业布置：5分钟教师应根据实际情况灵活调整教学计划，确保教学目标的实现。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题内容问题: 运用三垂线定理及逆定理有哪些要素课程标准（本单元所针对的课程标准或内容大纲）：三垂线定理及其逆定理是现行立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影垂直的关系。
一、教学目标：立足学生现状，结合教学大纲，制定以下教学目标：1、知识与技能1）熟练掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并会证明。
2）会运用定理解简单题。
3）培养学生的识图能力及空间想象力，提高对知识的应用能力。
4）通过探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，提高学生的多向思维能力。
2、过程与方法自主合作探究，指导法、讲练结合法3、情感态度价值观通过数学严密的逻辑推理教学使学生感受到数学的严谨性，体会数学美。
二、教学重难点：重点：熟练掌握并区分三垂线定理及其逆定理内容。
难点：真正弄清定理中复杂的线线关系。
三、教学用具：电脑、大屏幕、实物投影仪四、教学过程：（一）复习提问：我先用电脑结合大屏幕依次提出如下问题：（二）讲授新课1、三垂线定理的证明及简单应用。
1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
（首先，通过问答法由学生说出命题的已知、求证，然后让学生思考证明过程，接着让学生互说证明过程，最后请一名同学讲出证明过程。
）已知：P A、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影。
a在平面α内，a⊥AO。
求证：a⊥PO命题正确得出这便是三垂线定理。
2)分析定理：①定理中元素：一面四线三垂直一面——平面α（基础平面）四线——PA(α的垂线)，PO（斜线），AO（射影），a(α内的直线)三垂直——PO⊥a ，A0⊥a ，PA⊥a (故称三垂线定理)，由一垂、二垂得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件。
.2.3.5三垂线定理(1)教案新人教A版必修2
••• a 平面 POA , ••• a PA .课题：223.5三垂线定理(尖刀班)(1)课 型：新授课一、 课题：三垂线定理二、 教学目标：1 •掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；2 •掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线 垂直问题。
三、 教学重、难点：三垂线定理及其逆定理； 三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系.四、 教学过程：(二)新课讲解：1 •射影的有关概念：(1 )点的射影：自一点P 向平面 引垂线，垂足P 叫做P 在平面 内的正射影(简称 射影)。
(2)图形的射影：如果图形F 上所有点在一个平面内的射影构成图形F ，则F 叫做F在这个平面内的射影.2 •斜线的有关概念：(1)斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线;(2)斜足：斜线和平面的交点；(3 )斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段.由此，斜线段 AB 在平面内的射影仍为线段，即为线段A o B • 3 .三垂线定理：定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO, PA 分别是平面的垂线和斜线， OA 是PA 在平面 内的射影，a 且a OA求证：a PA ；证明：•••PO PO a ，又••• a OA, PO I OAP说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;PO ,O(2)推理模式：PAI Aa , a OA4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（证明略）P0,0推理模式：PAI A a A0a ,a AP,CD AB于点D，请指出图形中的练习：Rt ABC 在平面内，C 90o, PC直角三角形。
Rt ABC, Rt ADC,Rt BDCRt PDA, Rt PDBRt PCA, Rt PCB, Rt PCD三.例题分析：例1.已知：点0是ABC的垂心，PO平面ABC，垂足为0 ,求证：PA BC .证明：•••点0是ABC的垂心，••• AD BC又••• P0 平面ABC，垂足为0 , PAI平面ABC所以，由三垂线定理知，PA BC .例2 .如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上.已知：BAC在平面内，点PE,F,0,PE PF ,求证：BA0 CA0.证明：••• PE AB,PF AC,P0 ,• AB 0E, AC 0F （三垂线定理逆定理）•/ PE PF ,PA PA ,• Rt PAE Rt A0F ,••• AE AF，又••• AO AO, /. Rt AOE Rt AOF••• BAO CAO •例3 •如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和A尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点C ,使BC与道路边所成的水平角等于90°, J再在道路边取一点D，使水平角CDB 45 , *测得C,D的距离等于20m ,•/ BC是AC在平面上的射影，且CD BC • CD AC (三垂线定理) 因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，CDB 45o,CD BC,CD 20m, • BC 20m,在Rt ABC 中得|AC| 、AB2 BC2 1 52 2(f 25(m),答：电塔顶与道路距离是25m •四、课堂小结：1•射影和斜线的有关概念；2•三垂线定理及其逆定理.五、作业：1 .在正方体AC1中，求证：正方体的对角线A|C垂直于平面ABQ1•2 •如图，ABCD是矩形，PA 平面ABCD，点M , N分别是AB, PC的中点，求证：AB MN •3 .已知：如图若直角ABC的一边BC//平面，另一边AB和平面斜交于点A，求证：ABC在平面上的射影仍为直角。
三垂线定理教案
三垂线定理（人教版）一、设计理念本教学设计以师生互动教学为指导，以信息技术融入学科教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标。
在教学过程中，注意与学生所学数据知识的衔接，突出三垂线定理的思想，强调三垂线定理的应用。
人人学习有价值的数学。
二、教材分析“三垂线定理”是在研究了空间直线和平面直线关系的基础上来研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为后续学习奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新精神能力都有重要意义。
三、学情分析对处于该学习阶段的学生来说，空间观念才初步形成，学生在认识和理解的上都会存在困难，为了加深印象并说。
明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生通过亲自动手操作，提高感性认识，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可以由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教学目标1. 知识与技能1)理解、掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达。
2)掌握运用三垂线定理或逆定理解决数学问题。
2. 过程与方法通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观激发学生学习兴趣，激发学生不断发现、探索新知的精神；渗透知识相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
五、教学重、难点重点：启发学生去发现三垂线定理,证明三垂线定理,正确运用三垂线定理及其逆定理去解决实际问题。
难点：理解三垂线定理及其逆定理的本质,掌握运用两个定理证题的一般思路和步骤。
真正弄清定理中复杂的线线关系。
六、教学方法与手段以老师的讲授法、学生的讨论法和师生之间的问答法相结合。
《三垂线定理及其逆定理》教案
高邮市菱塘民族中等专业学校备课纸（首页）
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、三垂线定理逆定理证明（利用线面垂直的判定定理）
内容：平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，则平面内的这条直 线一定垂直与该斜线在平面内的射影。
符号表述：
证明：
四、定理分析
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五、例题分析
复备： 例一：如图，V-ABC 为空间四边形（四个顶点不在同一平面上），VA 、 BC 为两条对角线，设VA 与
所在平面垂直。
证明：VD 是
边BC 上的高
AD 是
边BC 上的高。
例二：如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
PB⊥AC．
六、课内练习
如图正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A.
求证：BD1
平面AB1C.
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七、知识总结
复备：
1、本节我们学习的内容是？
2、本节学习的两个定理证明方法是？
八、作业设计
如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
最新人教A版必修2高中数学 2三垂线定理教案
证明：连结AO并延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影。 又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA。 小结：使用三垂线定理证题的一般步骤是： 一定——定平面及平面内的一条直线；二找—— 找平面的垂线、斜线及射影；三证——证明平面内一直线与射影垂直。 由于逆定理与原定理的实质相同，结构相似，因而使用 时也可以按以上步骤进行，这对我们在复杂图形中使用定理 很有好处。 例2：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证： （1）A1C⊥BD； （3）A1C⊥平面BDC1。 4、探究：如图，直四棱柱 AB C D ABCD （侧面与底面垂直的棱柱称为 直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时， AC B D ？ 解：连结 AC ，因为 AA 平面 ABC D ，所以 AC 为 AC 在平 面 ABC D 内的射影，由三垂线定理知，当 AC BD 时，有
O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。
（四）揭示定理 上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影 这三者之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理，下面请大家根据已知条件 和结论，把三垂线定理完整 地表达出来。
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三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理。这个定 理之所以著名，不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法，为研究计 算空间角、空间距离奠定了基础，而且这个定理的证明方法—— “线面垂直法”，也是一种非常重要的方法。 刚才我们由a与PA、AO垂直得到了a与平面PAO垂直，现在我们再看，由于PA 与a总垂直，那么当a与PO垂直时还会有a⊥平面PAO吗？进一步可得到什么结论 ？（a⊥AO）这样我们又得到了一个重要定理： 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜 线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 请同学们写出证明过程，并与原定理进行对比。 （五）原、逆定理的比较 相同点：（1）结构相同：都是由线线垂直推证线线垂直； （2）证明方法相同：都采用了线面垂直法。 不同点：（1）用途不同：原定理是用来证空间两直线垂直；逆定理是用来 证平面上两直线垂直。 （2）条件与结论不同：原定理：“与射影垂直” “ 与斜线垂直”；逆定理：“与斜线垂直” “与射影垂直 ”。 （六）定理的应用 例1：如图，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA， 求证：BC⊥PA。 分析：PO是平面的垂线，PA是平面的斜线，BC在平面ABC上，所以，欲证BC ⊥PA，只需证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。 4
三垂线定理教学设计
《三垂线定理》教学设计许平一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、对象分析：对高中学生来说，空间观念正在形成，因此本节课的重点是要学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理及其逆定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握用“线面垂直法”研究空间直线垂直关系的思想方法。
本节教学的难点是准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理及其逆定理证题的一般步骤。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义五、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此在教学中要不断指导学生学会学习。
根据立体几何教学的特点，本节课主要是教给学生“动手做、动脑想、大胆猜、严格证、多训练、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。
高中数学时教案三垂线定理(一)
三垂线定理（一）一、素质教育目标（一)知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法(线面垂直法）;3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．(三）德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点(1）掌握三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法（1)三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影)垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具,或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．(3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO,再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题,引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考,不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时,本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单,但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展,从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系,学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义?2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？（板书)l∩α＝A，作出l在平面α上的射影(二）猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线,学生容易看出它们不一定互相垂直．)师:是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？（教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系-—垂直．）师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？（学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置,使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明,这些直线都与斜线垂直．）师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？（学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的,但无多大用途;这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．)（三)层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？(若用幻灯或投影仪,可以节省板书时间．）已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师:这个平面你找到了吗？生:是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明:说明：1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法;2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系,这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．4．定理中包含了三个垂直关系:PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系,都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看,三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．（四）初步运用，提高能力1．(见课后练习题1．）已知:点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．(学生先思考，教师作如下点拨）（1)什么叫做三角形垂心？（2）点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？（3)可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中,应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素?生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD,∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师:他的回答是否有缺漏？生:应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．）证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直,有这条直线和斜线垂直(定理）；平面内的一条直线和斜线垂直,有这条直线和射影垂直（逆定理），同学们必须理解掌握．2．（见课本例1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证:∠BAO＝∠CAO．(学生思考，教师作适当的点拨．)（1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？（2）PE＝PF给我们提供了什么结论？（3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗?证明:3．(课堂练习，师生共同完成．）如图1—91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC,PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线,垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）．同理可证CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）．(五）归纳小结，强化思想师：这节课,我们学习了三垂线定理及其逆定理,定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求,完成以下两个补充练习：1．如图1—92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10,PA ＝5,求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D,连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC,∴PD⊥BC．即PD的长度就是P到直线BC的距离．而PD＝13．2．（课后练习题2略作改变）如图1—93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线,B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°,∠BOC＝45°,求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定(或构造）一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此,我们还验证了∠AOC ＞θ．。
(必修二)三垂线定理及其逆定理-教案
教案：三垂线定理及其逆定理（复习课）（教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下A））课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）教学目的：1、知识目标：进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。
2、能力目标：（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律；（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力．3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．教学重点：进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养授课类型：复习课教学模式：讲练结合教学过程：环节1：复习导入教师给出三垂线定理及其逆定理，然后提出问题：三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？（引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考，分析三垂线定理及其逆定理的内容）环节2：三垂线定理及其逆定理的剖析1、认识三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
问题：正定理研究的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？设置目的：让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系，即线射垂直 ⇒ 线斜垂直（平面问题） （空间问题）从而让学生体会三垂线定理中蕴含的降维思想：把空间问题转化为平面问题。
2、认识三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
问题：逆定理研究的又是哪两条直线的垂直关系？它又是如何解决的？ 设置目的：让学生类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论： 线斜垂直 ⇒ 线射垂直（空间问题） （平面问题）教师再引导学生分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面中，这在解题中是非常重要的，把已知条件相对集中是解题的第一步。
《三垂线定理》教学设计
《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．认知目标：掌握三垂线定理及其逆定理(1) 定理的*(2) 定理的应用2．能力目标：(1)能够利用"线线垂直"→"线面垂直"及"线面垂直"→"线线垂直"(2)能够熟练的想象出"线线"、"线面"间的位置关系3．情感目标：(1)通过自己发现,探索,找出结论,激发学生学习兴趣;(2)培养学生主动探求、发现的精神。
二、重点、难点：本节课重点是三垂线定理及逆定理的*及初步应用本节课难点是三垂线定理及逆定理中各线、面的作用三、对象分析及教学设计：该班学生基础中等，有一定的分析问题、解决问题的能力，但积极*不够。
同时解决问题的能力有限,对于一些问题需要及时强化巩固。
考虑用多媒体技术来激发学生的主动*，使他们能够积极的投入到学习中去，自主去感受。
使学习者个体自我潜能得到真正有意义的开发和发展。
四、网络教学环境设计：在多媒体网络教室实施教学,学生机上都装有《几何画板》4.03及本课件，使得每个学生都能通过自己的*作体会到线线、线面之间的位置关系。
同时教师又能控制学生的电脑，能够进行课件的演示。
五、教学过程设计与分析：教学过程设计思路及多媒体应用分析[复习]线线垂直的定义及线面垂直的定义在计算机上，学生自己浏览和复习演示斜线及斜线在平面上的*影[提出问题、引入］已知一平面α和平面的一斜线pa，在平面内有没有直线与已知直线垂直,如果没有,请说明理由;如有,找出其中一条.由于前面复习时演示了斜线及斜线在平面上的*影,在计算机上演示直线和平面,通过线面之间图形的旋转,让学生体会线面之间的关系,学生很容易发现结论[学生回答][学生1]在平面内和斜线在平面上的*影垂直的直线是满足条件的直线[学生2]一定吗?学生2提出疑问,可以让学生自己在电脑上拖动直线a,观察是否始终和直线pa垂直.[教师演示]显示平面的垂线,斜线在平面上的*影,旋转平面的位置,移动直线a 的位置.在整个动态变化过程中,让学生体会它们之间的关系[提问]如何进行*此结论呢?[学生分析完成*]在电脑上打出*过程.[讲解]此定理为三垂线定理,。
人教版高中数学必修2教案课题：三垂线定理(2)
课题：三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习： 已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理） 【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心．例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥D CBAD 1C 1B 1A 1O DCBAHCSBAGFEDCB A D 1C 1B 1A 1取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥， ∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =I ，∴1A F BED ⊥平面． 五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形， 求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：HPC B AAB C ED F。
2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习： 已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ，∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心，∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面， ∴AB CD ⊥（三垂线定理）【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心．例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影，∴SC AB ⊥（三垂线定理） 又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心． 例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥D CBA D 1C 1B 1A 1O D CB A HC S BA G F E D CB A D 1C 1B 1A 1取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面，∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥，∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直， 求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形，求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
《三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案一、教学目标：1.理解垂线的概念和性质，了解垂线与直线的关系。
2.掌握三垂线定理的内容和应用。
3.培养学生的推理和证明能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点：1.理解垂线的定义和性质。
2.掌握三垂线定理的证明和应用。
三、教学难点：1.掌握三垂线定理的证明方法。
2.运用三垂线定理解决问题。
四、教学过程：Step 1 热身导入（10分钟）1.引入垂线的概念：请同学们举出日常生活中垂线的例子，并解释什么是垂线。
2.引导学生讨论垂直直线的特点，并总结垂直直线的性质。
Step 2 三垂线定理的引入（15分钟）1.展示一个三角形ABC，并画出三条垂线，分别过顶点A、B、C和对边BC、AC、AB，请学生观察并发现三条垂线的共同特点。
2.提问：你们能总结出三条垂线的特点吗？3.引入三垂线定理的概念：三垂线定理是指在任意三角形中，三条垂线的交点是唯一的，并且与三个顶点分别相连的线段交于一个点。
Step 3 三垂线定理的证明（30分钟）1.让学生根据已有的知识和思考，尝试给出三垂线定理的证明方法。
2.展示三垂线定理的证明过程，并逐步解释每一步的原理和推导过程。
3.提醒学生要注意观察和利用已有的定理和性质，使证明更加简洁和直观。
Step 4 三垂线定理的应用（20分钟）1.给学生一些实际问题，并引导他们利用三垂线定理解决问题，如：已知一个三角形的两条边和一个角度，求第三条边的长度。
2.引导学生在解决问题的过程中，要充分利用已有的定理和性质，运用逻辑推理进行分析和解决问题。
Step 5 总结与拓展（10分钟）1.让学生总结三垂线定理的内容和证明方法。
2.提醒学生要将所学的知识与生活实际相结合，灵活运用于解决实际问题。
3.引导学生拓展思考，探究其他与垂线相关的定理和性质。
五、教学作业1.完成课堂练习和习题。
2.思考并准备一个与三垂线定理相关的实际问题。
六、教学资源1.三角板和粉笔。
2.幻灯片展示课件。
第一章直线和平面 三垂线定理
高中立体几何教案第一章直线和平面三垂线定理教案教学目标1．使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理；2．通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想．具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上；3．能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用．注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力．进一步提高学生的空间想象能力．教学重点和难点1．三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力；2．变异位置下三垂线定理的应用．教学设计过程师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？（思维从问题开始，点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续）生：相交、平行或异面．师：对．我们可把上述三种情况表述为其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了．两条直线相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直，值得作深入的研究．而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况．（进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题）我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定．即如果两条异面直线所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直．师：回答得很好．实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的．这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法．但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？（进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法）生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定．即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了．师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法．要证线线垂直，只需证线面垂直．（为三垂线定理的证明埋下伏笔！）于是，新问题是：如何找出这样一个平面——过l且与a垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l当然不在其内）都与直线a垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l相交的直线又与a垂直呢？（启而不发，由学生思考）生：过l上一点P（异于点O），作PA⊥α于A，则由线面垂直的性质有a⊥PA．师：很好！在图3中，作出PA⊥α于A（此时不连结AO），并板书生：不对，首先应刻画“在平面内”的一条直线．师：对！这非常重要（板书三垂线定理）．试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述．如图4，PA⊥α于A，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．a α，若a⊥AO，则a⊥PO．请写出条件和结论．（板书）已知：PA⊥α于A，PO∩α＝O，（这里已隐含AO为斜线PO在平面α上的射影）a α，a⊥AO．求证：a⊥PO．（请学生完成证明过程．事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了．只要请学生到黑板板演，并订正即可）师：你能给这条定理起个名字吗？生甲：我从条件中发现有两个垂直关系．我给他起名叫“两垂线定理”．（生哄笑）师：好！如果是你第一个发现这条定理的，可能今天就叫两垂线定理了．结论中还有一个重要垂直呢？生乙：最好叫三垂线定理吧！师：好！这就是立体几何中重要的三垂线定理．它是证明空间线线垂直的重要定理．两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面α的垂线PA是关键！我们如何记忆这条定理呢？生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直．生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系．师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆．实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA⊥α于A的前提条件和a α内的关键词语．要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了．师：请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗？生：不止一条，因为在平面α内，只要与a平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的直线是一组平行直线．师：演示一组抽拉投影片．如图5，只需将动片（含直线a的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线．当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系．（图中框片1为固定不动，片2可以抽拉，a画在2上，左、右抽拉可显示a的运动过程为一组平行直线）师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明．（前面在三垂线定理的探求过程中，已把它的大前提、小前提及结论分析清楚，故在这里学生可比较顺利地构造出它的逆命题）生：只要把三垂线定理中的小前提a⊥AO，与结论中的a⊥PO互换一下就可以了．（师把板书中的条件a⊥AO与结论a⊥OP互换）是真命题吗？生：是！与三垂线定理的证明思路一样．例1 如图6，PA垂直于以AB为直径的圆O平面，C为圆O上任一点（异于A，B）．试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由．（这是立体几何中一个重要图形．既有线面垂直问题，又有线线垂直，既有三垂线定理的应用，又有平面几何知识的运用）生甲：两个．分别是Rt△PAC，Rt△PAB．生乙：三个．还应有Rt△PCB．师：谁是直角？理由是什么．生乙：∠PCB，由三垂线定理可证．师：你能叙述一下吗？根据三垂线定理的操作程序叙述清楚．生乙：因为PA⊥⊙O平面，PC∩⊙O面＝C，因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥PC．师：生乙证明中，什么地方还应再强调一下．生丙：BC 平面⊙O．师：除这三个直角三角形外，还有吗？生：还应有一个Rt△ABC，因为直径上的圆周角为直角．师：好！这样才全面认识了这个空间图形．事实上图形P-ABC是一个三棱锥．原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形，请同学思考：你能再构造一个三棱锥，使它的四个面全是直角三角形吗？（课下继续思考）师：通过例1，作出判断的关键是什么？生：平面的垂线PA是关键，有它就能保证前三个Rt△．例2 如图7，PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB＝3，AD＝4，PA＝3，求点P到CD，AB和BD的距离．（此例的关键是用三垂线定理．作出它们的距离，再化归为解Rt△的问题．可能有如下典型错误）1．学生往往还是应用直角三角板，用平面几何方法过P作PH⊥CD于H，使∠PHC＝90°，如图8．通过此例进一步说明用概念指导作图的重要性．进一步阐述空间图形中保平行不保角的规律，经启发学生可发现只要连结PD，由三垂线定理可保证PD⊥CD 于D，于是PD就是点P到直线CD的距离．2．连结BD，AC，令AC∩BD＝O，连结PO，则PO是P到BD的距离．这里误认为ABCD为正方形了！对第三个问题的分析，可说明既可利用三垂线定理构造点P到BD的距离．又可先作出距离PH．如图9，再用三垂线定理的逆定理证明AH⊥BD．再通过解Rt△ABD，求出斜边上的高AH，最后可解PH．师：请给出完美的简答．生：如图10，连结PB．因为PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，且BC 平面ABCD所以PB⊥BC，于是PB为点P到直线BC的距离．生丙同学能在变异形式下应用三垂线定理，这种能力我们要有意识地进行培养和训练．师：D1B和AB1的位置关系呢？生丁：还是垂直位置关系，这里D1A1⊥平面ABB1A1，连A1B，则由三垂线定理可证D1B和AB1垂直．师：很好！这里基础平面是ABB1A1，而面的垂线是D1A1，A1B是D1B在平面ABB1A1上的射影．于是构造出应用三垂线定理的条件，使问题得到解决．那么D1B与B1C呢？生：当然还垂直了！依据的还是三垂线定理，这里基础平面是BCC1B1，面的垂线是D1C1．师：通过一组投影片，演示变异形式下三垂线定理的应用．（以正方体为载体）（1）如图12，换一个角度看问题．试判断正方体对角线A1C和面对角线BD的位置关系．显然A1A⊥平面ABCD，A1C∩平面ABCD于C，则AC为A1C在平面ABCD上的射影，又BD⊥AC，所以BD⊥A1C．（三垂线定理）（2）如图13，试判断正方体对角线B1D与面对角线AD1的位置关系．演示投影片，将正方体中局部旋转成图12下部分，于是问题就化归为（1）的问题结论．最后再覆盖上含辅助线与字母的图形，如图14，即化归为三垂线定理的常规图形．对变异形式下三垂线定理的应用，是立体几何中一个重要能力要求．例4 有一方木料，右侧面上有一点M，要经过点M在右侧面画一条直线和AM的连线垂直，应该怎样画．（如图15）（在前三个例题的基础上，例4可较顺利地得到解决）生：连结BM，AM，因为AB⊥平面BCC1B1，所以BM为AM在平面BCC1B1上的射影．因此只需在平面BCC1B1上，过点M作BM的垂线EF即可，其理论依据是三垂线定理．课堂教学小结这节课我们通过对“平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线”问题的探讨．具体方法是把问题转化为“平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一的直线——射影”的位置关系的研究，而得出三垂线定理．这充分体现了研究立体几何的基本思想方法——降维转化的思想方法，将空间问题转化为平面问题来解决．对三垂线定理本质的理解有如下四点：（1）从证明思路看布置作业1．课本p．30 练习1；2．课本p．31～p．32 习题四11，12，13．课堂教学设计说明三垂线定理是空间图形中直线和平面位置关系的关键性定理，它起到承上启下的作用，涉及到与“垂直”有关的几乎所有领域，是立体几何问题平面化，降维转化思想方法的具体体现．因此，教学过程中特别注意问题的引入与线线垂直，线面垂直相关联，进而将其纳入证明线线垂直与线面垂直的逻辑结构中．突出渗透化归转化的数学思想方法．同时对变异形式下三垂线定理应用的训练给予充分的重视，这样才能为灵活运用三垂线定理打下坚实的基础．。
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2021年高中数学三垂线定理及其逆定理教案人教版
知识目标：
1、掌握三垂线定理及其逆定理；
2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力。
3、正确运用这两个定理分析和解决实际问题。
教学重点、难点：
重点：1、三垂线的分析和证明；2、三垂线定理及其逆定理的应用。
难点：正确运用这两个定理并建立空间三线垂直的模型。
教学过程：
一、回顾与思考：
1、回顾直线与平面垂直的相关性质；
2、阅读课本，找出射影、斜线段等概念；
3、平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但
呢？
（用演示大木三角板在桌面上随意摆放一下，引起学生思考）
（还可以引入日常生活中用铡刀铡草的例子，
用铡刀铡草怎样才能保证草料与铡刀的刀刃垂直呢？
当且仅当草料与刀座垂直就行。
） 二、新课讲授：
1、由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
PO ⊥α，PA 与α斜交于点A ，AO ⊥a ，问PA 与a 所成的角； 显然PO ⊥α
PO
OA a 平面
POA PA POOA=O PA 平面POA 即：PA 与a 所成的角为900 由此可以得到：
三垂线定理：在平面内的一条直线，
如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。
（说明：三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO ， 才是抓住了定理的实质与关键）
2、让学生说出三垂线定理的逆命题，并说明其真假，如果是真命题，能否证明这个命题。
PO ⊥α
PO
PA a 平面POA OA POPA=P OA 平面POA 由此可以得到： a
α
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。
说明：⑴、三垂线定理及其逆定理所描述的“三线”为：斜线（PA）、射影线（OA）和直线a之间的垂直关系。
⑵、如果把PA、OA、a之间的垂直关系作整体思考，三垂线定理及其逆定理的“一致性”描述就是斜线及射影同垂直于射影面内的直线。
⑶、三垂线定理及其逆定理的应用，关键在于找出平面的垂线，至于射影是由垂足和斜足来确定的，那就处于次要位置。
三垂线定理及其逆定理的应用程序为“一垂、二射、三证”，一垂：即找已知平面的垂线；二射：即找斜线在平面内的射影；三证：即证明射影与直线a垂直。
3、例题选讲：
例1、如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中
⑴、BD1与AC成角
⑵、BD1与A1D成角
⑶、BD1与A1C1成角
⑷、BD1与B1C成角
⑸、BD1与DC1成角
例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
A B
C
D
A1
C1 D
P
已知：∠BAC 在平面内，点P ，PE 于点E ， PF 于点F ，PO 于点O ，PE=PF ；
求证：∠BAO=∠CAO
证：
PE=PF OE=OF
PO
PO OEAB ∠BAO=∠
CAO
PEAB
PFAC OFAC
（说明：⑴、平面POA 称为∠BAC 的平分面，这个面上的每一个点到∠BAC 的两边相等； ⑵、本例可以作为一个结论，在解选择题与填空题时用。
）
变式训练（例题预案）
从点P 引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条射线的夹角为600，求直线PC 和平面APB 所成的角
的余弦值。
（）
4、课堂练习：
课本P27 1、2、3
（教师巡视课堂，让学生回答问题，发现问题及时纠正。
） 5、课堂小结：
C
F
A
B
C
P
E
F
Q D
⑴、本节课是在学习了直线和平面垂直的基础上引入的，它的实质还是直线与平面的垂直；
⑵、三垂线定理及其逆定理是描述斜线（PA）、射影线（OA）和直线a这“三线”之间的垂直关系，同学们下去以后还要结合课本去落实巩固。
⑶、三垂线定理及其逆定理应用的六字诀“一垂、二射、三证”同学们要牢记在心。
6、布置作业：课本P28 4、6。