北大.群论.讲义.王宏利.第4章

r R3 ， Or Or r O Or r r
故有 O O =E，E 为恒等变换。


故 r ， r R 3 ，有 Or Or r O Or r Er r r
－ 101 －
G+≡K∪K+，其中 K Ig g G, g K ，即
即 G SO(3)，为第一类点群，此为第 1 种情形 （b）G≠K，则 g G ， det g 1 故 G 与 Z2= 1,1同态，K 为同态核
G K g 0 K ，g0 G \ K ，为一转动反演元素， g0 K G \ k g | g G, g K
故 OO1O 1 SO(3)
－ 97 －


·系 3
O(3) SO(3) E, I ，E 为恒等变换，I 为空间反演。
故 O(3) ~ 1,1 同态，
证明：由于 det O 1
由 SO(3)的定义知，同态核为 SO(3)。 O(3)的陪集分割：O(3) = SO(3)∪I SO(3) SO(3)→1，ISO(3)→－1 故 O(3)中元素可以唯一分解为 SO(3)中元素与 Z2 E , I 中元素的的乘积； 而显然 Os SO(3) ,有 IOs Os I 可交换，满足直积分解条件， 故 O(3) SO(3) E, I ， E, I O(3) 。 ◆定理 4.1◆ 转动轴。
群的一个元素。故 SO(3)群又称转动群，其元素的迹仅与转角 有关。 · 系 2 SO(3)中所有具有相同转角 的转动元素构成一个共轭类。 ( )k k ，考虑其共轭元素： Ck
－ 98 －
g SO(3) ，有 [ g Ck ( ) g 1 ]g k g Ck ( )k g k 共轭元 g Ck ( ) g 1 的转轴为 g k ，
m
－ 100 －
( ) 由于 Ck 1


mi
( ) G ，故 C ( ) G 。 G ， Ck i i k
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因 1 为最小正转角，而 0≢ i ＜ 1 ，故必有 i ＝0。 因此有： i mi1 ，i = 0，1，2，…，n – 1 而 mi m j ，故有 mi 0,1,2,..., n 1 ，知该群为循环群
②若 O I SO(3) ，则有 O = I Os， Os SO(3)
( )O 1 I O C ( )( IO ) 1 则: OCk s k s
( )O = Os C k s （利用了 I 与任意元素可对易） 1
COs ( )
k
－ 99 －
C IOs ( )
( ) g 而 Tr g Ck

1
TrC ( ) 2 cos 1
k
由于 SO(3)中元素的迹在不同坐标系下相同，相当于相似变换，仅与转角有
( ) 与其共轭元 g C ( ) g 1 有相同转角 。 关，故 Ck k
( ) g 1 = C ( ) ，即相互共轭转动有相同转角； 故： g Ck g k
第四章
点群
点群是物理学中有限群的重要例子， 在分子光谱和晶体能带结构的研究中有重要 应用，在分子物理、固体物理、化学及工程结构力学中有广泛应用。
§4.1 三维实正交群 O(3)
本节讨论三维欧氏空间 R3 中的正交变换。 【定义 4.1】 (三维欧氏空间 R3) 定义了内积的实数域上的三维线性空间，记为 R3。 ·系 1 选定一组正交归一基（ i , j , k ） ，
·系 3 对于任意 O和r , r 与 Or 处于以原点为球心以 r 为半径的球面上。
【定义 4.3】 三维实正交群 O(3) R3 中所有实正交变换构成一个群，称为实正交变换群，认为 O(3,R)或 O(3)，其 中群元的乘法 O1O2 定义为先实行 O2 变换后实行 O1 变换。 ·系 1 构成群: O1 , O2 O(3) ，有
k
( ) COk
（－I = E）
( )O 1 C ( ) ， det O 1 ,即 O(3) 综合①，②有： O O(3) ， OCk Ok
中所有具有相同转角的转动元素是一类。
( ) I SO(3) （二）考察转动反演元素的共轭元，任何转动反演元素可以表示为 ICk
2 n 1 =2л, 1 , n
( 由 Ck
故
( ) Ck i
2m 2 Ck ( ) C k n n
m
2 ) 生成的群称为 Cn 群，固定轴 k 称为 n 阶转轴， n
1 2 n1 n Cn 群 = C n , Cn ,, Cn , Cn e , 为 n 阶循环群。
对任意 g SO(3) ，可在 R3 中找到向量 k ，使 g k = k 。该 k 称为 g 的
证明：即证方程（g - E） k =0 有非零解 k ，而方程有非零解的条件为 det (g - E)=0。
由于对任何实方阵 A 有 det A = det A+, 故 det (g-E)= det (g-E)+ = det (g+-E) = det (g-1-E) = det (g-1(E-g)) = det g-1 det (E-g) =-det (g-E) 故必有 det (g-E)=0，即（g-E） k =0 恒有非零解。
(O1O2 r O1O2 r ) r (O1O2 ) (O1O2 )r


r O2 O1 O1O2 r r r （利用 O1 O1 O2 O2 E ）
故 O1O2 O(3) ·系 2 O(3)群中全部行列式取值为+1 的实正交变换，构成 O(3)的一个不变子群，称 为三维实特殊正交群，记为 SO(3,R)或 SO(3):


·系 1
2 2 2 ( ( ) ，当 a 为无理数时，则包含 C k ) 或 ICk ) 的群不是有限群； a a a 2 2 ( ( 而当 a 为有理数时，含 C k ) 或 ICk ) 的群可以是有限群，且可以化为由 a a
( Ck
( Ck
2 2 2 故点群作为 O(3)的有限子群， 只可能含有由 C k )， ICk ( ) 生成， n n n
故 O 保持内积不变。


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d e tO ( O) ( d eO t ) ( de Ot) ( d eO t )2 1
故 det O = ±1, O-1 = O+ ·系 2 实正交变换保持 R3 中矢量夹角不变。 r r Or Or cos r r Or Or
( ) 的共轭元 OC ( )O ， 证： （一）考察转动元素 Ck k
1
由 O(3) = SO(3)∪I SO(3), 故 O O3 ，有 O SO(3) 或 O I SO(3) ：
( )O 1 C ( ) ①若 O SO(3) ，则 OCk Ok
O O(3) ，有:
( ) O 1 I OC ( )O 1 IC ( ) I SO(3) ， det O O ICk Ok k




故 O(3)中所有具有相同转角的转动反演元素属于同一共轭类。
§4.2
点群
【定义 4.4】 (点群) 三维实正交群 O(3)的有限子群称为点群，只含转动元素的点群称为第一类点群， 第一类点群也是 SO(3)群的子群。含转动且含转动反演的点群称为第二类点群。 ◆定理 4.3◆ 设群 G 是绕固定轴 k 转动所生成的 n 阶第一类点群， 则 G 由转动元素
r R3 ，
r x1i x2 j x3k ， x1, x2 , x3 R
x2 x2 x3 x3 ·系 2 内积(点乘)： r ， r R3 ， (r | r ) x1 x1
2 2 2 ·系 3 向量长度： r R3 ， r x1 x2 x3
·系 1 取归一化后的转轴 k 为 Z 轴的基矢，则 g SO(3) ，g 有矩阵形式（即
SO(3)自身表示的表示矩阵） ：
cos g sin 0
sin cos 0
0 ( ) 0 , 记为 Ck 1
它同转轴 k 的方位角θ、 为绕轴 k 沿逆时针方向的转角， 共同确定 SO(3)
反过来，具有相同转角的元素一定共轭：
( ), C ( ) （ k , k ' 为任意单位矢） 对于任意 Ck ，显然存在转动元素 g， k' ( ), C ( ) 可通过 g 元素共轭。 使得 gk k ' ，于是 Ck k'



因此 SO(3)中所有相同转角的转动属于同一共轭类。 （注意： 此结论对于 SO(3) 的有限子群不成立） ◆定理 4.2◆ O(3)群中，所有具有相同转角的转动元素是一类，所有具有相同转角 的转动反演元素是一类。 （此结论对于 O(3)的有限子群不成立）
Ck (2 / n) 生成（即 Ck (2 / n) 为群 G 的生成元） 。
( ), i 0,1,2,n 1 , 其中 = 0， C (0) 为单位元。 证明：假设 G Ck 0 i k


设 i , i 0,1,2,n 1 中的最小正角度为 1 ，则所有 i 可写为如下形式：
所生成的元素，其中 n=1，2，……。 ◆定理 4.4◆ 设 G 是 O(3)的点群，K 是 G 的转动子群，即 K=G∩SO(3)，则群 G 只 能有下面三种情况: 1．G = K（即 G 为第一类点群） 2．G = K∪IK（即 G 为第二类点群） 3．G ≠ K，I G，而 G G+ , K+=I G\K。 证明：存在同态映射：det: G → det G, g1 , g 2 G , det(g1g2 ) det(g1 ) det(g2 ) , 分两种情形： （a）G = K，则 G ~ 1
·系 4 向量 r 和 r ' 的夹角 满足 cos r r / r r
【定义 4.2】 （实正交变换）
保持 R3 中向量长度不变的线性变换称为实正交变换，记为 O，即 r R 3 ，有
Or Or r r 。
·系 1 实正交变换是幺正变换。
i mi1 i ，其中 mi = i mod 1 ，0≢ i ＜ 1
( ) C (m ) = C ( ) 于是有： Ck i i 1 i 1 k k


mi
Ck (i )
故
Ck ( i ) Ck (1 ) i Ck ( i )
O O(3) det O 1 SO(3)=
① SO(3)是群， O1 , O2 SO(3) ，
det(O1O2 ) det O1 . det O2 1 1 1 ,故 O1O2 SO(3)
② SO(3)是不变子群： O1 SO(3),O O(3) ，
det(OO1O 1 ) det O det O1 det O 1 d e tOO 1 d e O t 1 1