高三数学总复习——第三章三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形

第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[知识能否忆起]

1．任意角 (1)角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：

终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l

r ，l 是

以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l

r 与所取的r 的大小无关，仅与角

的大小有关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1

2|α|r 2.

2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标

比值为函数值的函数．

(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，

其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

[小题能否全取]

1．－870°的终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三

D ．四

解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π

3 B.11π6 C.5π

6

D.3π4

解析：选B ∵sin α＝－12＝－1

2，且α的终边在第四象限，

∴α＝11

6

π.

3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．

4．若点P 在2π

3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．

解析：因tan 2π

3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.

答案： 3

5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34

π，

由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34π＝4，面积S ＝1

2

lr ＝6π.

答案：4 6π

1.对任意角的理解

(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0° <α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α

(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．

2．三角函数定义的理解

三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x ，但若不是单位圆时，如圆的半径

为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x .

典题导入

[例1] 已知角α＝45°，

(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；

(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k

4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系． [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，

从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.

(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集

合；

而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .

由题悟法

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．

以题试法

1．(1)给出下列四个命题：

①－3π4是第二象限角；②4π

3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象

限角．其中正确的命题有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－

3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π

3

是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

(2)由已知π

2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，

则－π－2k π<－α<－π

2－2k π(k ∈Z )，

即－π＋2k π<－α<－π

2＋2k π(k ∈Z )，

故2k π<π－α<π

2＋2k π(k ∈Z )，

所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一

典题导入

[例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12

D. 2