第五节振型向量正交性

第五节振型向量正交性

对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。

一、耦合与解耦（教材6.7和6.8）

举例说明什么是耦合与解耦。

D

y

如图所示是一刚性杆AD，用刚度分别为

1

k和

2

k的弹簧支承与A、D两端。

（1） 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得

12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θ

θ

θ+⎧=⎪=-+⎧⎪

⇒⎨

⎨

=+-⎩⎪=⎪+⎩

由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为

121122

C A D

A D my k y k y J k y l k y l θ=--⎧⎨

=-⎩ （a ） 式中m 是刚性杆AD 的质量，J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。整理式（a ），得

()()()()12221122

221111220

C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=⎧⎪⎨+-++=⎪⎩ （b ） 写成矩阵的形式

12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎧⎫

⎡⎤+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-+⎩⎭⎣⎦⎩

⎭⎩⎭⎣⎦ （c ） 在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度）C y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵，反映在

方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标C y 和θ，这种坐标之间有耦合的情况，称之为弹性耦合（静力耦合）。

（2）如果在杆上另取一点B ，令31AB l l e ==-，

42BD l l e ==+，其中e BC = ，且令

1324

k l k l =

以B 点的纵坐标B y 和杆的转角θ为广义坐标，则系统的振动微分方程为

12222

1324()0

()()0

B B B my me k k y mey J me k l k l θθθ⎧+++=⎪⎨++++=⎪⎩ 写成矩阵形式

1222213240

000

B B y k k m

me y k l k l me J me θθ+⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫

+=⎨

⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎩⎭

⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎣⎦ 在新的坐标写出的方程中，刚度矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标B y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标θ，这种坐标之间没有耦合的情况，称之为弹性解耦（静力解耦）。而质量矩阵是非对角矩阵，反映在方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标的二阶导数C y 和θ，这种加速度（惯性力）之间有耦合的情况，称之为惯性耦合。

（3）若以弹簧支承处的位移A y 和D y 为广义坐标，则振动微分方程为

2111221211212122()()0

()()0

A D A D A D A D ml y ml y k l l y k l l y Jy Jy k l l l y k l l l y +++++=⎧⎨

-+-+++=⎩ 写成矩阵形式

1122122111212122()

()0()()0A A D D y k l l k l l y ml ml y k l l l k l l l y J J ++⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-++-⎩⎭

⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎣⎦由此可见此时，刚度矩阵和质量矩阵都不是对角矩阵，即方程组中同时存在着惯性耦合和弹性耦合。

有以上分析可以看出，同一个振动系统可以选择不同的广义坐标来建立它的运动方程。但若选择的坐标不同，系统的运动方程的形式和耦合情况也不同。这表明：运动方程的耦合并不是振动系统所固有的本性，而完全取决于坐标的选择。即[]k 和[]M 与选取的坐标系有关。换句话说，描述系统的坐标系不同，则[]k 和[]M 也不同。

我们知道，求解一个耦合的运动方程是十分复杂的，尤其是实际工程问题，有的系统自由度多达上百数千，因此即使利用计算机求解这样一个耦合的方程组，也是十分困难的。但如果选取的坐标恰好使系统的运动微分方程组的耦合项全等于零，既无弹性耦合，又无惯性耦合，也就是使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，那么n 个联立的微分方程就成为n 个独立的微分方程了，于是求解就很容易了。

二、振型正交性（教材6.12）

一个n 个自由度系统具有n 个固有频率和n 组对应的振型向量。设第i 阶固有频率为ni ω，对应的振型为{}i u ，则有如下的关系

[]{}[]{}2

ni i i k u M u ω= （a ）

同样nj ω和{}j u 也满足

[]{}[]{}2nj j j k u M u ω= （b ）

用{}T j u 前乘以（a ）两端，用{}T

i u 前乘以（b ）两端，得 {}[]{}{}[]{}2

T

T

ni j i j i u k u u M u ω

= （c ）

{}[]{}{}[]{}2T T

nj

i j i j u k u u M u ω= （d ）

因为[]k 和[]M 都是对称矩阵，则将（d ）式两边转置，得 {}[]{}{}[]{}2T

T

nj

j i j i u k u u M u ω= （e ）

（c ）－（e ），得

{}[]{}2

2()0T

ni

nj

j i u M u ωω-= （f ）

在一般情况下，当i j ≠时，ni nj ωω≠，所以有

{}[]{}0T

j i u M u = （4-45）

将上式代入（e ）式，得

{}[]{}0T

j i u k u = （4-46）

式（4-45）和（4-46）表示，对应于不同固有频率的两个振