和圆有关的线段成比例题的证明

和圆有关的线段成比例题的证明

和圆有关的线段成比例的证明题，是平几中常见而又重要的题型，本文就这类问题的证题思路作些介绍，其中最常用的方法是通过相似三角形来证明．

一、利用相似三角形来证

把欲证的比例式中的线段置于两个三角形中，通过证明这两个三角形相似，求得对应边成比例，从而获证。

例1如图1．P是⊙O外的一点，PA与⊙O相切于点A，PC与⊙O相交于点B和C，弦BD∥PA，AC与BD相交于点E．

由BD∥PA，可知∠P=∠3，且∠4=∠3．所以∠P=∠4，故有△PAB∽△ADE．从而问题获证．

二、利用等量代换来证

有的题目中，比例式里的几条线段都在同一直线上，不可能组成相似三角形，针对这种情况，往往采用先“等量代换”，然后再找相似三角形的方法进行分析．

例2如图2，⊙O与⊙A相交于B、C两点，且⊙O过圆心A，过A的直线交BC于F，交⊙A于D，交⊙0于E．

求证：AD2=AE·AF．

三、利用圆幂定理来证

如果比例式中的四条线段有一个公共端点且相乘的两条线段又都在同一直线上，那么可以设法证明这四条线段中除公共端点外的另四个端点共圆，就能利用相交弦定理或切割线定理及其推论证出比例式．

例3．如图3，PA是△ABC的外接圆O的切线．PD∥AC，与弦AB和BC分别相交于点E和D．求证：EA·EB=ED·EP

分析：要证EA·EB=ED·EP，只要证A、P、B、D四点共圆，因为∠1=∠C，且PD∥AC，又有∠2=∠C，所以∠1=∠2．故有A、P、B、D四点共圆，于是问题获证．(当然有∠1=∠2以后，也可以通过△EAP∽△EDB 获证)

四、利用“中间比”当媒介来证

当欲证的比例式的线段不是两相似三角形的对应线段时，需紧扣已知条件寻找中间比当媒介，从而获证．

例4如图4，两圆内切于A，自外圆圆上一点P引内圆的切线PT，T 为切点，外圆半径为R，内圆半径为r．

分析：