第6章几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简

单的半群．

6.1 半群

6.1.1半群的概念

定义6.1.1 设是代数结构，若∙是可结合的二元运算，即：

∀a ，b ，c ∈S ，(a ∙b)∙c=a ∙(b ∙c)

则称为半群;

定义6.1.2 设是半群。若关于运算∙有单位元e ，则称为含么半群，有单

位元半群或独异点，记为。

定义6.1.3 若半群的运算∙满足交换律，则称是可交换半群。

［例6.1.1］

(1)，都是含么半群；不是半群；

(2)设A 为任一集合，则<ρ(A)，⋃，Φ>，<ρ(A)，⋂，A >都是可交换的含么半群；

(2)设∑是个字母表， 是∑*上的连接运算，则空串ε就是∑*中关于连接运算 的单位元

且该运算满足结合律，故<∑*， ，ε>是一个独异点。

6．1．2子半群

定义6.1.4 半群的了代数叫子半群 ，即设是半群，T 为S 的非空子集。若T 关于运

算∙封闭，则称是的子半群。

定义6.1.5 设是独异点，T 为S 的非空子集。若T 关于运算∙封闭，且e ∈T ，

则称是的子独异点。

［例6.1.2］ 和都是的子半群；是的子独异点，但

不是的子独异点,因为0不在N +中。

定义6.1.6设V 1=, V 2=是两个半群，V 1与V 2的积代数V 1⨯V 2

= 其中S=S 1⨯S 2，,,,,2211><><∀y x y x 对于

>*>=<<∙><21212211,,,y y x x y x y x

也是半群，叫，V 1与V 2的积半群。

6．1．3半群的同态

定义6.1.6 设和是半群，函数f ：S 1→S 2。若∀a ，b ∈S 1，有 f (a *b)=

f (a) ∙h (b)，则称f 是到

，∙>的半群同态。若f 是双射，则称f 为半群同构。 ［例6.1.2］ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∙=<⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)00(,,,00a b a S V R b a b a S ϕ 证明：ϕ是V 上的自同态，但不是独异点的自同态。

定义6.1.7 设和是群，函数f ：S 1→S 2时同态映射，f(S 1)={f(x)|x ∈S 1

}叫f 的同态像，Ker(f)={x| x ∈S 1且f(x)=e '} 叫同态映射f 的核。像

6.2 群

6.2.1群的定义

定义6.2.1 设是半群点。若G 含有幺元且G 中每一个元素都是可逆的，则称

是群。

注： 是群： (1) ∙满足结合律；(2) 存在么元；(3) G 上每个元素有逆元;

定义6.2.2 若群中的二元运算∙是可交换的，则称为可交换群或Abel 群。

［例6.2.1］ (1)，，是群;

<2>，，不是群。

<3>是群。

<4>Klein 四元群G={e,a,b,c}。

①②e是单位元；②是可交换的；③a,b,c任意两个的运算结果等于第三个.

说明：（1）交换群（Abel群），有限群，无限群

（2）设为群，a∈G，则a的整数次幂可定义如下：

①a0=e；②a n+1=a n a，n∈N；③a-n=(a-1)n，n∈N+。

6.2.2群的性质和元素的阶

定理6.2.1设为群，则

(1)∀a∈G，(a－1)－1=a；

(2)∀a，b∈G，(ab)－1=b-1a-1；

(3)∀a，b∈G，方程ax＝b，ya＝b在G中都有惟一解；

(4)G中消去律成立。即

若ab=ac，则b=c;

若ba=ca，则b=c.

(5)对∀m，n∈N，a m∙a n=a m+n，(a m)n=a mn。

定义6.2.3 设是群，a∈G，则使a n=e成立的最小正整数n称为a的阶(周期)，记为|a|，且称a的阶是有限的，否则称a的阶是无穷的。

单位元是群中阶为1的惟一元素。

［例6.2.2］(1)在群中，任一非零整数的阶是无限的；(2)在群中，｜0｜＝1，｜1｜＝｜5｜＝6，｜2｜＝3。

定理6.2.2 设是有限群，｜G｜＝n，则∀a∈G，｜a｜≤n。

6.2.3子群

定义6.2.4 设是群，H是G的非空子集。若也是群，则称是的子群，记作H≤G。若H是G的非空真子集，则称是的真子群，记作H ≤ ≤ 。

定理6.2.3(子群判别法1)设H是群的非空子集，则H≤G当且仅当

(1)∀a，b∈H， a∙b∈H；

(2)∀a∈H，a－1∈H。

定理6.2.4(子群判别法2) 设H 是群的非空子集，则H ≤G 当且仅当

∀a ，b ∈H ， a ∙b －1

∈H 。 定理6.2.6 (子群判别法3)设H 是群的非空有限子集。若H 关于∙封闭，则H ≤G 。

［例6.2.4］ 设是可交换群，H={a ∈G ｜∃k ∈I ，使a k

=e}，则H ≤G 。 6.2.4循环群

定义6.2.6设是群，a ∈G ，记(a)={a i

|i ∈Z}。(a)称为由a 生成的子群; 设是群。若∃a ∈G ，使得(a)=G ，则称G 是循环群，又并称G 是由a 生成的，a 称为G 的生成

元。

［例6.2.5］

(1)1是m 阶循环群的生成元；

(2)是无限阶循环群，其生成元只有1和－1。

说明: 每个循环群是可交换群。

定理6.2.8 设G ＝(a)，

(1)若|a|无限，则G ≌；

(2)若|a|为n ，则G ≌。

推论6.2.1 设G ＝(a)，

(1)若G 为无限群，则|a|无限，且G={…,a -1,a -1,e,a,a 2,…}；

(2)若|G|＝n ∈N ，则|a|＝n ，且G={e,a,a 2,…,a n －1 }。

推论6.2.2 设G 为n 阶循环群，a ∈G ，则G=(a)当且仅当|a|=n 。

6.2.5置换群

定义6.2.7有限集合S 到其自身的双射称为S 上的置换，｜S ｜称为置换的阶。

定义6.2.8一个有n 个元素的集合上的所有置换在函数的合成运算下构成的群称为n 次对称

群，记为S n 。S n 的子群称为n 阶置换群。

注：｜S n ｜＝n ！。

设S ＝｛1,2，…，n ｝，则∈πS n 可记为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=)(...)2()1(...21n n ππππ 置换的轮换表示法：