指数型生成函数

xn n1! xn n2
1 2 k
x2 xn 2! nk !
1 2 k 1 2 k
m m m m m xm x x x 上述式子乘积的每项： m1! m2! mk ! m1!m2!mk !
下面证明
r! m1 m2 mk r m1! m2 ! mk !
设S={· a1,· a2, · a3}，要求a3出现偶数 次，a2至少出现1次。求满足上述要求的 r-排列数。
作业:P253:3,4,7,8,12

1, r ) y r
1 (1 y ) k
收敛于初等函数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
而对于集合{a1,a2,…,an}的r-排列数为p(n,r), 数列{p(n,r)}的生成函数
r 0 r p ( n , r ) y
其收敛和函数不能表示为初等函数，因此 无法直接应用。 但因为C(n,r)=p(n,r)/r!，所以
x2 x4 x4 x4 1 3 ( ) 2! 2 4 4! x2 1 1 1 x4 1 3 4!( ) 2! 2 4 4! 4!
所以p4=4*3+3*2+1=19
例：设有6个数字，其中 3 个数字 1,2个 数字6,1个数字8，问能组成多少个四位数? 解：这实际上是求 S={3· x1,2· x2,1· x3} 中取 4个的多重集排列数问题。 其指数型生成函数为： g(x)=(1+x+x2/2!+x3/3!)(1+x+x2/2!)(1+x) =1+3x+8(x2/2!)+19(x3/3!)+38(x4/4!)+60(x5/ 5!)+60(x6/6!) 由此可得a4=38，即可组成38个四位数。
下面考察gn1(x)· g n2(x)·…·gnk的展开式中 项xr/r!的情况。
gr ( x) 1 x gr ( x) 1 x r x 来源 gr ( x) 1 x
1 2 k
x2 2! x2 2!
x2 x2 x3 x3 x3 x4 x4 x5 2 1 2x ( x ) ( )( ) 2! 2! 3! 2! 2! 3! 2!2! 2!3! 7 3 5 4 1 5 2 1 2x 2x x x x 6 12 12
p4=? 要注意标准形式: pr是xr/r!的系数。 所以 x2 x3 x4 因此p4=10。
xn f e ( x ) g e ( x ) cn n! n 0 其中cn
k 0
C (n, k )ak bn k
n
对于an=1的数列{1}，它 的指数型生成函数为：
ex xr x2 xn 1 x r! 2! n! r 0

现在用指数型生成函数来解决多重集的排列 问题。 定 理 1 2 . 3 ： 设 有 限 多 重 集 { n1· a1,n2· a2,…, nk· ak}，且n=n1+n2+…+nk，对任意的非负整 数 r，ar 为 S 的 r- 排列数，则数列 ar 的指数型 生成函数为： g(x)=gn1(x)· g n2(x)· …· gnk，其 中gni(x)=1+x+x2/2!+… +xni/ni!,i=1,2,…,k。 证 明 ： 要 证 ar 的 指 数 型 生 成 函 数 为 gn1(x)· gn2(x)· …· gnk， 关键是证明 gn1(x)· gn2(x) · …· gnk(x) 的展开式 中项xr/r!的系数就是ar。

称f(x)是数列a0,a1,,an,的指数型生成函数 为什么要称指数型生成函数?
因为
e ax ( ax) r r! r 0

与上述幂级数类似。
根据定义知，指数型生成函数与幂级数 型生成函数的一般项仅相差一个因子1/n! 只要令 a'r=ar/r!，则 a'r 的幂级数型生成 函数就是 ar 的指数型生成函数，因此由 定理12.1易得指数型生成函数的性质。 定理 12.2 ：设 an,bn 的指数生成函数分别 为fe(x)和ge(x)，则：

m1! m2 ! mk !
即gn1(x)· g n2(x)·…·gnk=g(x)。
例：S={1· a1,1· a2,…,1· ak},求r-排列数 解：设排列数为{pr}, gri(x)=1+x，则
g ( x ) (1 x ) k n! xr r 0 r!( n r )! n! x r r 0 ( n r )! r!
k k r 0
C ( n, r ) x r
k
所以pr=n!/(n-r)!=p(n,r)

例：S={· a1,· a2,…,· ak}，求S的r-排列数 解：设排列数为{pr}, gri(x)=(1+x+x2/2!+…+xr/r!+…)，则 g(x)=(1+x+x2/2!+…+xr/r!+…)k=(ex)k=ekx
r ( kx ) r x k r r! r 0 r! r 0
所以pr=kr。
例：S={2· x1,3· x2}，求4-排列数。 解：设 4- 排列数为 p4, 数列 {pr} 的指数型生成函 数为 g(x)=(1+x+x2/2!)(1+x+x2/2!+x3/3!)
r x (1 x ) n C (n, r ) x r p(n, r ) r! r 0 r 0 n n
对排列数的生成函数可考虑用这样的幂级数
xr ar r! r 0
n
指数型生成函数
定义12.2:设a0,a1,,an,是一个数列，构 造形式幂级数
an n ar r a2 2 f ( x ) x a0 a1 x x x 2! n! r 0 r!
mi 0
就是S的r-排列数ar。
而 对 于 S 的 每 个 r- 排 列 ， 其 确 定 了 ai(i=1,2,…k)的个数，因此是某个r元子集 的一个全排列。 S 的 r- 排列数不会多于 S 的所有r元子集的全排列数之和。 所以S的r-排列数ar就是 r!
m1 m2 mk r mi 0
12.2 指数型生成函数
用生成函数可以解决组合计数问题，那 么是否可用来解决排列问题？ 注 意 到 组 合 计 数 问 题， 多 重 集 S={· a1,· a2,…, · ak} 的 r- 组 合 数 是 C(r+k-1,r)，数列{C(r+k-1,r)}的生成函数
r 0
C (k r
x5 g ( x ) 1 2 x 4 7 2 5 10 2! 3! 4! 5!
3!=6, 4!=24, 5!=120
例： S={2· x1,3· x2,4· x3}，求 4- 排列数，且各 元素均出现偶数次。 解：设 4- 排列数为 p4, 数列 {pr}的指数型生 成函数为 g(x)=(1+x2/2!)(1+x2/2!)(1+x2/2!+x4/4!)